Том 1 (1113039), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

2 . Разностпь двух вектпоров линейного многообразил принадлеэкита направляющему надпространству. Теорема 18.2. Два линейных многообразия Нт = хт + Ь| и Нг = хг+ Ьг совпадают тогда и только тогда, когда Ьт = Ьг = Ь и хт — хг Е Ь. Следствие 1. Вектором сдвига может быть любой вектор линейного многообразия. Следствие 2. Линейное многообразие может бытпь полу~сна сдвигом единстпвенного направлятощего подпространства.

Размерностью линейного многообразия называется размерность его направляющего подпространства. Линейное многообразие размерности единица называется прямой в линейном пространстве, размерности 1п — 1), где и — алга 1т, — гиперплоскостью, а размерности к, 1 < к < и — 1, — к-мерной плоскостпью. 3 А Д А т1 И 18.1.

Образуют ли линейное подпространство арифметиче- ского пространства )и" все векторы х = (хг,х2,...,х„) Е К", компоненты которых: а) являются целыми числами; б) являются четными числами; в) являются нечетными числами; г) удовлетворяют условию х1+ хз +...

+ х„= О; д) удовлетворяют условию х1+ х2 +... + хп се 1? 18.2. Образуют ли линейное подпространство пространства Ъг все векторы плоскости, а) каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу; б) концы которых лежат на данной прямой (начало любого вектора, если не оговорено противное, предполагается совпада- юп1им с началом координат); в) начала и концы которых лежат на данной прямой; г) концы которых лежат в первой четверти системы коорди- нат; д) концы которых лежат в первой или третьей четверти си- стемы координат? 18.3.

Указать все линейные подпространства геометрическо- го пространства 1тз. 158 Глава Лт. Введение в теорию линейных пространств 18.4. Образуют ли линейное подпространство пространства х а) матрицы А, у которых сгА = 0; б) все симметрические матрицы порядка и; в) все кососимметрические матрицы порядка и; г) все невырожденные матрицы порядка и; д) все треугольные матрицы одинакового вида; е) все верхние ступенчатые матрицы; ж) все матрицы с нулевой главной диагональю? 18.5. Образуют ли линейное подпространство пространства многочленов М„все многочлены р(г) е М„, для которых а) р(1) = 0; б) р( — 1) = рЯ ~й с К; в) р( — с) = — р(с) И Е К; г) р(1) = 1; д) 2р(0) = Зр11); е) р(а1) = ар(с) для любого 1 е К, где а е К вЂ” некоторое фиксированное число; ж) р(1) > 0 при й Е ]О; 1]; з) с = 1 является простым корнем? 18.6.

Образуют ли линейное подпространство пространства У а) все линейные комбинации заданных векторов ам..., аь Е Ъ'; б) все те линейные комбинации заданных векторов ам..., аь Е ~', коэффициенты ам..., аь е К которых удовлетворяют условию а~ +... + аь = О? 18.7. Что представляет собой линейное многообразие размерности нуль? размерности и в и-мерном линейном пространстве? 18.7.1. Доказать, что множество Х векторов линейного пространства образует линейное многообразие тогда и только тогда, когда оно вместе с каждой парой векторов хм хз содержит все векторы вида а~х~ + азха, где ам аз е К, а~ + аз = 1. 18.7.2. Образуют ли линейное многообразие пространства Ъ' все те линейные комбинации заданных векторов ам., ., аь е 1', коэффициенты ам.,,, аь Е К которых удовлетворяют условию: а) а~+...+аь=1; б) а~ +...

+ аь = 2; в) а~ + 2а2 +... + /ссц, = 1? 18.7.3. Образуют ли линейное многообразие арифметического пространства К" все векторы х = (хм хв,..., х„) е К~, компоненты которых а) являются целыми числами; З18. Линейное подпространство и линейное многообразие 159 б) являются неотрицательными вещественными числами; в) удовлетворяют условию х1 + хз +... + х„= 1; г) удовлетворяют условию х1хз... х„= О; д) удовлетворяют условию х1хз... х„> О; е) удовлетворяют условию х1 = хз = ... = х„; ж) удовлетворяют условию х1+ 1 = хз + 2 =... = х„+ и? Если образуют, то является ли это многообразие линейным подпространством? 18.7.4.

Образуют ли линейное многообразие пространства Ъз все векторы: а) концы которых лежат на данной плоскости, при условии, что векторы отложены от начала координат; б) концы которых лежат на данной плоскости, при условии, что векторы отложены от некоторой фиксированной точки пространства; в) концы которых лежат на прямой 1ы при условии, что векторы отложены от точек прямой 1з, параллельной 11; г) концы которых лежат на прямой 1ы при условии, что векторы отложены от точек прямой 1з, пересекающей 11,. д) концы которых лежат на прямой 1ы при условии, что векторы отложены от точек прямой 1з, скрещивающейся с 11; е) концы которых лежат на прямой 1 при условии, что векторы отложены от точек плоскости л, параллельной 1; ж) концы которых лежат на прямой 1 при условии, что векторы отложены от точек плоскости л, пересекающей 1? Если образуют, то какова размерность этого многообразия? 18.7.5.

Образуют ли линейное многообразие пространства матриц Клхл все матрицы А е Ивхл а) у которых след равен единице; б) для которых А + Ат = 1; в) для которых ВА = О, где В е И™" — заданная матрица; г) для которых ВА = 2В, где В е К""" — заданная матрица; д) для которых А~ = ВА, где В е К""" — заданная матрица; е) у которых ранг равен единице; ж) которые обратимы; з) для которых А~ = А; и) у которых ранг не превосходит двух? 18.7.6. Образуют ли линейное многообразие в пространстве многочленов М„все многочлены р(1) Е Мьс 160 Глава Пт. Введение в теорию линейных пространств а) для которых р(1) = 1; б) для которых р'(0) = р(0) + 1; в) для которых р(0)р(1) = 0; г) у которых степень равна и; д) для которых число 1 = 1 является корнем; е) для которых число 1 = 1 является кратным корнем; ж) остаток деления которых на 1 — 1 равен 1; з) остаток от деления которых на г' — 1 равен 1? 18.8.

Доказать, что линейное многообразие Р = те+ Л тогда и только тогда является подпространством, когда хо Е Л. 18.9. Доказать, что для того, чтобы линейное многообразие Р = хс + Ь было подпространством, достаточно, чтобы сумма каких-либо двух векторов х1 и хз из Р принадлежала Ь. 18.10. Доказать, что в линейном многообразии размерности к, не являющимся подпространством, можно найти линейно независимую систему, состоящую из Й+ 1 векторов. 18.11. Доказать, что в линейном многообразии размерности к всякая система, состоящая из 1+2 векторов, линейно зависима. 18.12.

Доказать, что для любых к+ 1 линейно независимых векторов существует и притом единственное линейное многообразие размерности Й, содержащее эти векторы. 18.13. Доказать, что линейное многообразие размерности Й, содержащее линейно независимые векторы хе, ты..., хы может быть описано как множество всех линейных комбинаций астс + а1х1+...+аьхы коэффициенты которой удовлетворяют условию ае + а1 +... + сц, = 1. Глава Ъ'. Системы линейных алгебраических уравнений Системой т линейных алгебраических уравнений с и неизвестными называется совокупность соотношений ч амхг + аыхг + ..

-~-ан,х„= Ьы аг1хг + аггхг +... +аг1х„= Ьг, а 1хг + а гхг +... + а „х„= Ь где ач, Ь, (г = 1, т, 7 = 1, и) — заданные вещественные числа, а хы..., х„— неизвестные величины. Числа ач называются коэффициентами системы, а Ь, — свободными членами. * Упорядоченная совокупность чисел сы..., с Е й называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных хы...,х соответственно каждое уравнение обращается в тождество. Система уравнений называется соеместной, если она имеет хотя бы од- но решение, и несоеместнои если не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. Исследовать и решить систему — это значит: ° установить, совместна она или несовместна, ° если она совместна, установить, является она определенной или неопре- деленной, при этом; — в случае определенной систелгы найти единственное ее решение; — в случае неопределенной системы описать множество всех ее решений.

Коэффициенты системы образуют матрицу А = (а.,) е )а'""", назы- ваемую основной матрицей системы, свободные члены образуют столбец Ь = (Ьы..., Ь ) Е К, называемый столбцам свободных членов или столб- цом правой части, а неизвестные — столбец х = (хы ..,, х„), называемый т столбцом неизвестных, В этих обозначениях система может быть записана в виде Ах = Ь х1аг+ . +х а„=Ь, где а,. (г = Т,п) — столбцы матрицы А. Две светелкам линейных алгебраических уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают, Теорема.

Умножение обеих частей системы Ах = Ь слева на нееырожденную матрицу приводит ее к зкеиеаленгпной системе. б — 427! 162 Глава 1г. Системы линейных алгебраических уравнений 319. Системы с квадратной невырожденной матрицей Т е о р е м а 19.1. Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение. Это решение имеет вид х=А 'Ь или,в покомпонентной записи, х, = )А,)ДА), г = 1,п, где А, получается из матрицы А заменой ее г-го столбца столбцом Ь свобод- ных членов. Эти формулы называют правилом Крамера. 3 А Д А т1 И Пользуясь правилом Крамера, решить системы уравнений.

Характеристики

Список файлов книги