Том 1 (1113039), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(22.4) 0 182 Глава Ъ'. Системы линейных алгебраических уравнений Найдем Ф.С.Р. приведенной однородной системы 2х, -Ь хг + 7хз + Зхз + 2хз = О, хз— хз = О, гхз + 7хз = О. Так как количество неизвестных и равно 3, а ранг г основной матрицы системы равен 3, то Ф.С.Р. содержит п — г = 2 решения. Выразилз главные неизвестные хг, хз, хз через свободные неизвестные хг, хз: 7 хз = хз, 2 хз = хз, 1 1 3 хз = -(-хг — 7хз — Зхз — 2хз) = — -хг + -хз. 2 2 4 Во избежание дробных чисел придадим свободным неизвестным хг, хз сле- дующие линейно независимые наборы значений: (2, 0) и (0,4).
Тогда полу- чим; ЗАДАЯИ Найти фундаментальную систему решений для следующих систем уравнений. 22.1. Охз+Охг+Охз+Ох4=0. 22.2. ~12 9х1+21хг — 15хз+5х4=0, ' ( 12х1+28хг — 20хз+ 7х4 = О. 10х1+ бхг + 15хз — Зх4 — 18хз = О, 22.3. Зхз+ 2хг + 5хз — х4 — бхз = О, — 9х1 — 4хг — 10хз + 2х4 + 12хз = О. 2х1+ хг + 4хз + Х4 = О, Зхг + 2хг — хз — бх4 = О, 7х1 + 4хг + бхз — 5х4 = О, х1 + 8хз + 7Х4 = О.
2х1 — 5хг+4хз+Зх4 =О, Зхз — 4хг+ 7хз+5х4 =О, 4х1 — 9хг+8хз+5х4=0, Зх1 — 2хг+ 5хз — Зх4 =О. 22.4. Таким образом, решения ез = ( — 1,2,0,0,0), ег = (3,0,4,— 14,4) образуют Ф.С.Р. приведенной однородной системы. Найдем какое-нибудь частное решение исходной системы. Придадим сво- бодным неизвестным значения хг = О, хз = 2. Тогда из системы, соотает- стаующей правой расширенной матрице (22А), следует: гхз=12 — 7хз=-2 ~ хз=-1, хз = -2 4- хз = О, гхз = 1 — хг — 7хз — Зхз — 2хз = 0 ~ хз = О.
Таким образом, с = (О, 0,0, — 1, 2) — частное решение. Согласно (22.3) общее решение исходной неоднородной системы имеет аид х = (О 0,0, — 1,2) + аз(-1,2 0 0,0) + аг(3,0 4, — 14 4)т, аз, аг Е К. ° 183 З22, Геометрические свойства решений системы Х1 + 4хг + 2хз — Зхб = О, 22.6. 2х1 + 9хг + 5хз + 2х4 + хб = О, х1 + Зхг + хз — 2х4 — 9хб = О. 2х1 — хг хз х4 — хб = О, — х1+ 2хг — хз Х4 Х5 — О, 4х1+ хг — 5хз — 5х4 — 5хб = О, Х1+ Х2+ 2ХЗ+ Х1+ Хб = О, х1+ Хг+ хз+ 2х4+ хб = О. х1+ 2хг+ Зхз+ 2х4 — бхб = О, 2х1+ Зхг+ 7хз+бх4 — 18х5=0, Зх1 + 15хг + 11хз х4 + Зхб = О, 2х1+ бхг+ 7хз+Зх4 — 9хб = О, х1 + 4хг + 5хз + 2х4 — бхб = О. 22.7. 22.8. Найти базисы линейных подпространств решений следующих систем.
Зх1+ 5хг+ 2хз = О, 4х1 — 8х2+ 17хз + 11Х4 = О. 2х1+9хг+бхз=О. Зх1+ 2хг+ хз+ Зх4+ 5хб = О, бх1+ 4хг+ Зхз+ 5х4+ 7хб = О, 9х1+ бхг+ 5хз+ 7х4+ 9хб = О, Зх1 + 2хг + 4х4 + 8хб = О. х1 — хз+хб = О, хг — х4+ хб = О, Х1 Х2+Х5 — Хб = О, Х2 — хз+хб = О, Х1 — Х4 + Хб = О. 5х1+ бхг — 2хз + 7х4 + 4хб = О, 2х1+ Зхг — хз+ 4х4+ 2хб = О, 7Х1+ 9хг — Зхз + 5х4 + бхб = 0 5х1+ 9хг — Зхз + х4+ бхб = О. 22.9 22.11 22.12 22.13 22.14. Для линейного подпространства векторов х = (х1, хг, хз, х4) я 54~, удовлетворяю1цих условиям х1 = хз, хг = х4, найти два различных базиса, содержащих общий вектор е1 = (1, О, 1, 0). Найти общее решение следующих систем уравнений через их фундаментальные системы решений. 184 Глава К Системы линейных алгебраических уравнений Зх1+ 5хг — 4хз + 2Х4 = 0> 22.15.
2хз+ 4хг — бхз+Зх4=0, 11х1 + 17хг — 8хз + 4х4 = О. Зх1+ 5хг + Зхз + 2х4 + хз = О, 5х1+ 7хг + бхз + 4х4+ Зхз = О, 7х1+ 9хг + 9хз + бх4 + 5хз = О, 4хз + 8хг + Зхз + 2х4 = О. 22. 16. 5Х4 + 7хг + бхз — 2Х4 + 2хз = О, 8хг + 9хг + 9хз — Зх4 + 4хз = О, 7Х1+ хг + бхз — 2х4 + бхз = О, 4х1 — хг + Зхз — х4 + 4хз = О. 22.17. Зхз + 4хг + хз + 2х4+ Зхз = О, 5Х1+ 7хг+ хз+Зх4+4хз=О, 4х1+ 5хг+2хз+ х4+5хз = О, 7х1+ 10хг+ хз+ бх4+ 5хз =О. 22.18. хз+хг=О, Х4+ хг+ хз = О, хг+хз+х4=0, 22.19. х„г+ х„з+ х„= О, х„з + х„= О. Найти общее решение следующих систем уравнений через фундаментальную систему решений приведенных систем.
22. 20. 2х1 Зх1 22. 21. — хз 22.22. Х4 Зх| зх1 2х1 Хз Зхз 2х1 Хз 2х1 — Зхг — бхг — 9хг — 2хг — бхг — бхг — 4хг + 9хг + 2хг + Зхг + 7хг + 2хг — Зхз — Зхз — 5хз — ХЗ вЂ” 2хз — 4хз + 4хз + 2хз + 2хз + бхз + Зхз — 14х4 = 8, — х4= — 5, бх4 = — 4. — 2х4 — Зхв — 4х4 — 5хз — 8х4 — 13хз Х4 — 2хз — 5Х4=1, +5х4= 3, +2х4=2, — Х4 = 7, + 4х4 = 5. — 2, — 3, — 9, — 1. 185 З22. Геометрические свойства решений системы 2хз + хз+ Зхз — 2х4+ хз = 4, бхь + Зхз + 5хз — 4ха + Зхз = 4, 2хз+ хз+7хз — 4х4+ ха=12, 4хз + 2хз + 2хз — Зх4 + Зхз = б. 22.23.
8хз + бхз + 5хз + 2х4 = 21, Зхз+Зхз+2хз+ х4 =10, 4хз+2хз+Зхз+ ха=8, Зхз+5хз+ хз+ х4=15, 7хз + 4хз + 5хз + 2х4 = 18 22. 24. 2х~ + бхз + 7хз + 2х4 + хз + Зхв = 4, 22.25. Зхз + 9хз — 5хз + Зх4 — бхз + 2хе = б, — хз — Зхз + 4хз — х4 + 7хз + хе = — 2. Найти размерность направляющего подпространства линейного многообразия решений следующих систем в зависимости от значений параметра Л. (5 — Л)хз — 2хз — хз = 1, 22.26. — 2х~ + (2 — Л)хз — 2хз = 2, — хз — 2хз + (5 — Л)хз = 1. — хз + (1+ Л)хз + (2 — Л)хз + Лх~ = 3, Лхз — хз + (2 — Л)хз + Лхя = 2, Лхз + Лхз + (2 — Л)хз + Лх~ = 2, Лхз + Лхз + (2 — Л)хз — х4 = 2.
22.28. Проверить, что система 2х~ + 4хз + бхз + 5хя + Зхз = О, 5хз + бхай+ 7хз + 9х4+ бхз = О, 4х~ + бхз + бхз + 7х~ + 5хз = О, 5х~ + 5хз+ 5хз+ 8х4 + бхз = О, Зхз + 4хз + 5хз + бх4+ 4хз = 0 имеет бесконечно много решений, причем в каждом ее решении х4 = хз = О. Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и линейной независимости столбцов матрицы системы. 22.29. Указать все группы неизвестных, которые могут быть 186 Глава 1Г, Системы линейных алгебраических уравнений объявлены свободными неизвестными системы 7х1 — 4хг + 9хз + 2х4 + 2хз = О, 5х1 + 8хз + 7хз — 4х4 + 2хз = О, Зх1 — 8хз + 5хз + 4х4 + 2хз = О, 7х1 — 2хз+2хз+ х4 — 5хз =О. 22.30.
Построить однородные системы уравнений, для которых следующие системы векторов являются фундаментальными системами решений; а) у1 = ( — 2,1,1,1)т, б) у1 = ( — 2,1,1,1)т, в) уз = ( — 2,1,1,1)т. уз (О 1 2 0)т уз (О 1 2 0)т. уз = (1, — 1,0,1)т; 22.31. Построить однородную систему линейных уравнений, состоящую; а) из двух уравнений; б) из трех уравнений; в) из четырех уравнений, — для которой система векторов у, = (1,4,-2,2,-1)т, (313 12Цт уз = (2,7,-8,4,-5)т является фундаментальной системой решений. 22.32. Построить неоднородные системы линейных уравнений, которые описывают линейные многообразия минимальной размерности, содержащие векторы: 1 2 1 1)т. б) (3,0 0,2,1)т уз = (О, 1, 1, О, 0) т; в) у1 = (1 1 2 0 З)т г) у1 = (2 1 3 0)т уз = (5, — 3, О, — 2, 1)т, уз = (3, 1, 3, 0)т, уз = (-1, О, 3, 1 4)т. уз = (2, 2 3 0)т у4 = (2,1,4,0) уз = (2, 1, 3, 1)т.
Выяснить, можно ли найти однородную систему уравнений, для которой указанные системы векторов являются двумя ее фундаментальными системами решений. 22 33 у1 = (1,0,0,0), г1 = (1,0,0,0) уз = (1, 1, О, 0), и хз = (1, 1, 1, 0)т, уз (1110)т аз=(2 110)т 187 222. Геометрические свойства решений системы (1,0,0,0)т, (1,1,0,0)т, н (1 1 1 0) (1,0,0,0)т, (0,1,0,0)т, и (0,0,1,0)т (г, 3, 1, 2)', 2 2)т (3421)т 21 = (О, О, О, 1)т, 22 = (0,0,1,1)т, зз = (О, 1, 1, 1)т. = (0,0,1,0)т, 22 = (О 1 1 0)т зз = (1,1, 1, 0)т. 21 = (1,0,2, — 5)т, и 22 = (О, 1, 8, 7)т, зз = (4 5 2 0)т 22.34. У1 = У2 Уз = У1 = У2 = Уз = У1 = У2 Уз = 22.
35. 22. 36. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти частное и общее решения систем уравнений. 22.37. Пусть строки матрицы А е Кг"" (р < п) образуют фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ранга т с п неизвестными (и = г+ р).
Доказать, что строки матрицы В е К""" образуют фундаментальную систему решений той же системы уравнений тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица С порядка р такая, что В = СА. 22.38. Доказать, что если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны, т.е. отличаются лишь числовым множителем. 22.39. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что если определитель квадратной матрицы А порядка п > 1 равен нулю, то алгебраические дополнения соответствующих элементов двух любых строк (столбцов) пропорциональны, 22.40.
Пусть ранг квадратной матрицы А и-го порядка (и > 1) равен и — 1. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что ранг ее присоединенной матрицы А равен 1. 22.41. Доказать, что если в однородной системе линейных уравнений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то в качестве решения этой системы можно взять набор миноров, полученных из основной матрицы поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го и т.д. столбцов, причем эти миноры берутся с чередующимися знаками. Далее показать, что если это решение не нулевое, то любое решение системы ему пропорционально. 188 Глава 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
