Том 1 (1113039), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Системы линейных алгебраических уравнений /5хг+Зхг+4хз=О, 22 48 ~4хг — бхг+ 5хз=О, ~бхг+бхг+бхз=О. ' ' ~ бхг — 9хг+10хз=О. 2х~+Зхг+5хз+бх4=0, 4хг — 5хг — бхз+Зх4=0, 22.44. Зх~+4хг+бхз+7х4=0, 22.45. 2хз — хг — Зхз+2х4=0, Зхг+ хг+ хз+4х4=0. бхз — 7хг — 9хз+5х4=0. 22.46. При каких условиях в общем решении системы уравнений хг + ахз + Ьх4 = О, — хз + схз + дх4 = О, ахз + схг — ех4 = О, Ьх~ + дхг + ехз = 0 за свободные неизвестные можно принять хз и х4? 22.47. Известно, что для системы Ах = Ь с матрицей А размера т х и любой вектор х е К" является решением.
Что можно сказать о матрице А и векторе Ь в этом случае? 22.48. Пусть АВ = О, А Е К"'"", В Е К""". Доказать, что гбА+ гбВ < и. 22.49. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений 1с-е неизвестное было равно нулю. 22.50. Пусть А Е К~"". 1. Доказать, что множество решений матричного уравнения АХ =О, где Х Е К""", образует линейное подпространство пространства матриц Кп х и 2. Найти размерность подпространства решений этого уравнения. 22.51.
Пусть А е К"'"", В е К""~. 1. Доказать, что множество решений матричного уравнения АХВ= О, где Х е К""", образует линейное подпространство пространства матриц К""ь. 2. Пользуясь результатом задачи 20.15, найти размерность подпространства решений этого уравнения. Глава И. Векторная алгебра В этой главе рассматриваются пространства ум Ъг, Из векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
Предполагаются известными следующие факты (гл.1Ч): — 41т Уг = 1 и любой ненулевой вектор ег является базисом Ум — д!т'гг = 2 и любая пара неколлинеарных векторов ег, ег является базисом Уг, — ойт Ъз = 3 и любая тройка некомпланарных векторов ем ег, ез является базисом Ъз, — координаты вектора вычисляются согласно формулам (17.3), (17А), (17.5). 323. Аффинная система координат.
Координаты ТОчгКИ Пусть в пространстве гз (на плоскости Уг или на прямой уг) зафиксирована некоторая точка О, называеман полюсом. Для любой точки А вектор гл = ОА называется радиус-вектором точки А относительно полюса О. Задание точки ее радиус-вектором определяет, очевидно, биективное отображение. Тот факт, что точка А имеет радиус-вектор г, обозначают символом А( г). Если в пространстве Ъ~ зафиксированы точка О и базис ед, ег, ез, то говорят, что в пространстве задана аффиинал система координат (или общая декартова система координат) (О; ег, ег, ез). Точка О называется началом координат, оси, проходлщие через начало координат и определенные векторалзи ег, ег, ез, называются осями коордииагп и обозначаются Ох (ось абсцисс), Оу (ось ординат), Ог (ось аппликат) соответственно.
Плоскость, определяемая осями координат Ох и Оу (Ох и Ог, Оу н Ог), называется координатной плоскостью Оху (Охг, Оуг соответственно). В этой терминологии аффинная система координат обозначается также символол~ Охуг. Координатами точки Л в аффинной системе координат (О; еы ег, ез) называются координаты радиус-вектора гл этой точки в базисе ег, ег, ез. Тот факт, что точка А имеет координаты х, у, г, обозначают символом А(х, у, г), Итак, гл = хег 4-уев+ вез с=ь А(х,у,г). Такилг образом, любая точка пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем: 1) точки Аг(хм уг, гг) и Аг(хг, уг, гг) совпадают тогда и только тогда, когда х1 = хг, уг = уг, гг = гг; 2) если А(хм умгг) и В(хг,уг, гг) — точки пространства, заданные своими координаталги в системе координат (О; ед, ег, ез), то вектор а = Лсг в базисе ег, ег, ез имеет координаты а = (хг — хм уг — ум гг — гг); Глава Ъ7.
Векторная алгебра 190 3) если А(хг, уг, гг), В(хг, уъ гг), С(хз, уз, гз) и (АВС) = Л, то хг + Лхг уг + Луг гг + Лгг 1-;Л ' 1+Л ' 1+Л (рг„ а) у= ~ ег~ (рг, а) ) ег) (рг, а) )ез~ где рг, а, рг„а, рг, а — проекции вектора а на оси, определенные базисны- ми векторами ег, ег, ез (т.е. на оси координат Ох, Оу, Ог), параллельно координатным плоскостям Оуг, Охг, Оху соответственно. Базис ег,..., е, где и = 1, 2, 3, называется ортонормироеанным, если векторы базиса 1) имеют единичную длину и, в случае и > 1, 2) попарно перпендикулярны. Аффинная система координат (О; ег, ег, ез), соответствующая орто- нормнрованному базису ег, ез, ез, называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной системой координат. Пусть на плоскости Р даны две непараллельные прямые ! и В.
Проек- цией направленного отрезка АВ на прямую ! параллельно прямой В назы- вается направленный отрезок АгВг, где Аг, Вг — проекции точек А и В на прямую ! параллельно прямой В. Обозначение: рг~ АВ. Теорема 23.1. Проекции равных направленных отрезков равны. Проекцией вектора а = АВ на прямую ! параллельно прямой В назы- вается вектор, порожденный ргг~ АМ, Обозначение: ргг~ а. Теорема 23.2. Проекция век»пора на прямую ! параллельно прл- мой В обладает свойством линейности: !) рг~~(а+ Ъ) = рг~ а+ рг~~ Ь, га, Ь, 2) рг, (па) = а рг, а, гг'а, 'Фа Е К.
Пусть в пространстве заданы плоскость л и непараллельная ей пря- мая !. Проекцией направленного отрезка АВ на прямую ! (на плоскость гг) параллельно плоскости гг (соответственно пря.мой !) называется направ- ленный отрезок АгВг (АгВг), где Аг и Вг (Аг и Вг) — проекции точек А и В на прямую ! (плоскость к) параллельно плоскости к (прямой !). — — » Обозначение: рг,'АВ, рг, АВ. Для обеих проекций справедливо утверждение теоремы 23.1: проекции равных напраеленн х отрезков равны.
Проекцией вектора а = АВ на прямую ! (плоскость я) параллельно плоскости гг (прямой !) называется вектор, порожденный рг» АВ (рг' АВ). Обозначение: рг," а, рг' а. Обе проекции вектора в пространстве обла- дают свойством линейности. Во всех трех случзлх, если !!.1 или !3.я, проекции вектора называются ортогонаяьными проекциями. Форлгулы (17.5) для координат вектора а й *гз в базисе ег, ег, ег могут быть записаны в терминах проекций вектора на ось в виде у23. Аффинная система координат. Координаты точки 191 Теорема 23.3.
На плоскости (е пространстве) величина проекции еехгаара на оеь параллельно прямой (соотеетстеепно прямой или плОС- кости) обладает свойством линейности. Если (О; ен ег, ез) н (О'; е(, ег, ег) — две аффинные системы координат в пространстве ("старая" и "новая" ), (о, б, у) — координаты нового начала О' в старой системе координат, С = (со) — матрица перехода от базиса е„ег, ег к базису е',, ег, ег (217), (х, у, г) и (х', у', 2') — координаты точки а старой и новой системах коордннат,то ! х = о Ч-смх'+сггу'+сгзг', у = 22 + С у или у = 22+ сггх + с22у ч- с222, 7 2' 2 = 7+ сэгх'+сагу +сззг.
Эти соотношения называются уюрмулами преобразования координата. Этн формулы выражают старые координаты точки через новые. Ориентация в вещественном линейном пространстве. Два базиса е = (ен ..,,е„) н е = (е,,...,е„) вещественного линейного пространства Р называются одинаково ориентироеанными, если матрица перехода С от базиса е к базису е' имеет положительный определитель, и протиэоположно ориентированными — а противном случаЕ. Из определения следует, что даа базиса, получающиеся друг из друга — перестановкой двух их векторов или — умножением какого-либо вектора на отрицательное число, противоположно ориентированы.
Теорема 23.4. Отношение одинаковой ориентированности яеляется отлношением эквивалентности на множестве всех зисов пространстеа (2, Множество всех базисов пространства разбивается отношением одинаковой ориентированности ровно на два непересекающихся класса (класса эквивалентности) так, что всякий базис принадлежит одному и только одному классу, даа базиса одного класса одинаково ориентированы, а любые два базиса из разных классов противоположно ориентированы.
Один из классов назывюот классом праеых (или положительно ариентироеанных) баэисое, а другой — левых (отр2щательно ориентированных). Каждый из этих двух классов называется ориенпшцией пространстеа. Вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией называется ориентированным пространствам Так как класс эквивалентности порождается любым своим представителем, то для того, чтобы ориентировать линейное пространство, достаточно задать один какой-нибудь базис пространства и обьявить положительно ориентированными все одноименные с ним базисы. Класс правых базисов на плоскости (22 н в пространстве Рг обычно выбирают следующим образом: — упорядоченную пару неколлинеарных аектороа ен ег плоскости называют правой (положительно ориентированной), если кратчайший поворот от ег к ег выполняется против часовой стрелки, и левой (отрицательно ориентироеанной) — в противном случае (начала векторов считаются совмещенными); — упорпцоченную тройку некомпланарных векторов ем ег, ег пространства называют правой (положительно ориентаироеанной), если из конца вектора ег кратчайший поворот от ег к ег виден против часовой стрелки, и левой (отрицательно ориентироеанной) — а противном случае (начэла векторов тройки считаются совмещенными).
192 Глава л7. Векторная алгебра Преобразование прямоугольной декартовой системы координат иа плоскости. Если (О; ем ег) и (О'; е'„ез) — две прямоугольные декартовы системы координат на плоскости, то матрица перехода С от ортонормированного базиса е = (ем еэ) к ортонормированному базису е' = ( е(, еэ) имеет вид [ совр — э1п у ~ если базисы е и е' одинаково ориентированы, и [ совФ в1п'Р 1 если базисы е и е' противоположно ориентированы.
В первом случае новая система координат получается из старой переносом начала в точку О'(о, В) и поворотом на угол 1с (х — угол между е1 и е',), во втором случае — переносом начала в точку О~(а, В), поворотом на угол у с последующим отражением относительно е', (т.е. изменением направления еэ на противоположное). При этом формулы преобразовании координат имеют вид (:— х = о + х совф — у в1п1с, у = В+ х'эшу ау'сов~р в первом случае и х = о -Л х'соэф+ у'эш1э, (== у = В е х э1п ~о — у сов |р во втором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
