Том 1 (1113039), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Указать все значения параметра Л, при которых система уравнений является неопределенной. (8 — Л)х1 + 2хг + Зхз + Лх4 = О, х1+ (9 — Л)хг + 4хз + Лх4 = О, х1 + 2хг + (10 — Л)хз + Лх4 = О, х1+ 2хг + Зхз + Лх4 = О. 176 Глава 1г. Системы линейных алгебраических уравнений (2 — Л)х1 + 4хз + 2хз + х4 = О, х1 + (2 — Л) хз + хз + х4 = О, (3 — Л)х1 + бхз + (3 — Л)хз — 4х4 = О, х1+ 2хз+ хз+ (2 — Л)х4 = О.
21.35. Проверить, что во всех решениях системы уравнений 2х1+ Зхз + хз+ хз = б, х1+ 2хз+ хЗ + х4 = 5, — х1+ хз + Зхз + 5х4+ хз = 8, 2х1 — хг + хз — 8х4 + 2хз = -б. значения неизвестных хз и хз постоянны и равны соответственно 1 и О. Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и линейной независимости столбцов расширенной матрицы систе- мы. Исследовать системы уравнений на совместность и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффици- енты параметров 1, ах+ у+ 3=1, д, 21.37.
х+Ьу+ 3=1, д~. х+ у+ох =1. х+ у+ 21.36. ах+ Ьу+ сх= азх+ Ьзу+ сэва = ах+ у+ в=а, 21.38. х+ Ьу+ ю = 6, х+ у+ох=с. 21.39. х + ау+ ~33 = аз, + 62 63 2 3 ах+ у+3=4, ах+ Ьу+ 3=1, 21.40. х+ Ьу+ 3 = 3, 21.41. х+ аЬу+ г = 6, х+2~щ+3=4. х+ Ьу+аз=1. х+ ау+ азг=1, сх+Ьу+сг=1 — Ь+ с, 21.42. х+ ау+ аЬз=а, 21.43. Ьх+ у+63=6, Ьх+азу+а Ьз=а~Ь. Ьх+су+6|=1+ Ь вЂ” с. ах+ у+ 3=1, ах+ Ьу+ 23=1, 21.44.
х+ау+ 3=6, 21.45. ах+ (26 — 1)у+ 33=1, х+ у+аз=с. ах+ Ьу+ (Ь+ З)3=26 — 1. 21.46. Установить, является ли вектор 6 линейной комбинацией векторов аы аз, аз, а4, и, в случае положительного ответа, найти коэффициенты этой линейной комбинации: ~21. Метод Гаусса исследования и решения систем 177 а) ал = (3, 7, 5), аг = ( — 5, — 4, 7), аз = (2, 1, — 4), а4 = (4, 3, — 6), Ь= (2,5,3); 6) ал = (2, 4, 2, 1), аг = (5, 3, 3, 8), аз = (8 9, 5 7), а4 = (1,1,1,Ц, Ь= (8,9,7,12); в) ал = (8, 3, 4, 3, 7), аг = (6, 3, 2, 5, 4), аз = (5, 2, 3, 1, 5), а4 = (2,1,1,1,2), Ь = (21,10,8,15,18); г) ал = (2,4,5,2,1), аг = (3,3,11,5,— 7), аз = (1,1,3,1, — 1), а4 = (2,1,2,1,2), Ь = (4,5,2,1,7). 21.47.
Решить системы Ах = Ь,, 4 = 1,2,3, с общей матри- 2 — 1 3 3 1 — 5 4 — 1 1 1 3 — 13 цей А = и разными правыми частями Ьл = (3 О 3 — 6)~ Ьг = (4 — 1 4 — 9)~ Ьз = (б~ — 3 б — 15)~. Пользуясь методом предыдущей задачи, найти обратные матрицы для следующих матриц. — 2 — 3 — 6 — 9 4 6 12 17 1 1 3 4 2 1 7 7 1 3 1 1 1 1 — 1 0 1 1 0 2 — 2 †— 1 1 21.50 21.51. 21.48.
Найти все значения параметра Л, при которых вектор Ь имеет единственное разложение по векторам ам аг, аз.. а) Ь = (1, Л вЂ” 4, 1), ал = (6 — Л,11 — 2Л,1), аг = (б — Л,б — Л,1), аз = (1,1,6 — Л); б) Ь = (-1,-2,-1), ал = (Л,6,3), аг = (3,2Л, Л), аз = (Л,З+ Л,З); ) Ь= (1,1,1), ал = (2 — Л,1,2 — Л), аг = (3 — 2Л,1,2 — Л), аз = (1,2 — Л,1); г) Ь = (1,2,1), ал = (3 + Л, — 2, — 1), аг = ( — 1, — 2, 3 + Л), аз = ( — 2, Л, -2). 21.49. Показать, что вычисление матрицы, обратной к дан- ной матрице порядка и, можно свести к решению и систем ли- нейных уравнений, каждая из которых содержит и уравнений с и неизвестными и имеет своей матрицей матрицу А.
173 Глава К Системы линейных алгебраических уравнений 21.52. Найти третий столбец А ', где 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 А= 21.53. Найти последнюю строку А ', где 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 21.54. Даны матрицы А = и вектор — 5 3 1 6 1 — 4 1 4 2 1 — 3 0 2 0 1 — 10 Ь = (1, 4, 7)т. Найти общее решение систем: а)Ах=Ь; б)Ах=Вх; в)Ах=Ву.
21.55. Пусть А е К™х". Доказать следующие утверждения или, если они не верны, привести контрпримеры к ним. 1. Если и > т и для некоторого Ь система Ах = Ь не имеет решений, то система Ах = 0 имеет бесконечно много решений. 2. Если п < т и для некоторого Ь система Ах = Ь не имеет решений, то система Ах = 0 имеет бесконечно много решений.
3. Если и > т и система Ах = 0 имеет бесконечно много решений, то система Ах = Ь не имеет решений для некоторого Ь. 4. Если и < гп и система Ах = 0 имеет бесконечно много решений, то система Ах = Ь не имеет решений для некоторого Ь. 21.56. Даны матрица 179 З22. Геометрические свойства решений системы и вектор Ь = (Ьм Ьз, Ьз, 64)г. Доказать, что система Ах = Ь име- ет единственное решение х = (хм хз, хз, х4), удовлетворяющее т условию х1 + хз + хз + х4 = 0 тогда и только тогда, когда Ь1 + 62 + Ьз + 64 = О.
21.57. Доказать, что система уравнений совместна при любой правой части тогда и только тогда, когда строки ее основной матрицы линейно независимы. 21.58. Доказать, что всегда имеет место одна из двух воз- можностей; либо система уравнений Ах = 6 совместна при любой правой части, либо однородная система Агу = 0 имеет ненулевое решение ~альтпернашива Фредгольма). 21.59. Выяснить, какие условия на основную матрицу А си- стемы необходимы и достаточны для того, чтобы при любой пра- вой части Ь система Ах = Ь а) не была неопределенной; б) не была определенной; в) была определенной; г) была неопределенной; д) была несовместной. 21.60. Доказать, что система Ах = Ь совместна тогда и толь- ко тогда, когда для любого решения у однородной системы Агу = 0 выполнено равенство Ьту = 0 (теорема Фредгольма).
21.61. Проверить совместность системы уравнений, пользу- ясь теоремой Фредгольма: Зх+5у=1, Зх+4у=2, а) 5х+9у=2, б) 5х+7у=3, 4х+ 7у = — 1; 2х+Зу= 1. 21.62. Доказать, что системы АТАх = 0 и Ах = 0 эквива- лентны. 21.63. Пусть Ах = Ь вЂ” произвольная (не обязательно сов- местная) система уравнений. Доказать, что система уравнений (АТА)х = АТЬ совместна. 822. Геометрические свойства решений системы Теорема 22.1. Мноокество всех решений однородной системы Ах = О с и неизвестнъили лвллетсл линейным подпростронством арифметического пространства К~.
Любой базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений называется 4ундвментвлъной системой решений (Ф.С.Р.). 180 Глана Ъ'. Системы линейных алгебраических уравнений Теорема 22.2. Размерность подпространства решений однородной системы Ах = О с и неизвестными равна п — г, где г = ей А. Общий принцип построения фуццаментзльной системы решений следует из теоремы 22.2: так как размерность надпространства решений однородной системы равна п — г, то для построенил фундаментальной системы решений достаточно найти любые п — г линейно независимых решений (317). Для этого достаточно свободным неизвестным придать п — г линейно независимых наборов значений, т.е.
наборов вида (си ы,...,сг ), ..., (с —, +и...,с гт), для которых сл гл ... с,„ ~ О. с,злг ... с„, „ Если для каждого из этих наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим и — г линейно независимых решений системы: ег = (сы, ..., сл„сц,+и ..., сл„) т ,и е„, = (с л,, с„, с„, +и, с, ) Фундаментальная система решений еы..., е, однородной системы линейных уравнений позволяет записать любое решение системы в общем виде: х = агег+ .. +а„,е„, уам...,а„, Е К.
Это представление решения называется общим решением однородной сисгпемы уравнений через 4ундаментаяьную систему решений. Пусть Ах = Ь (22.1) — неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Однородная система Ах = О, (22.2) полученная из системы (22.1) заменой свободных членов нулями, называется приведенной однородной системой для системы (22.1). Мелеву решениялги обеих систем существует тесная связь: 1) сумма решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением неоднородной системы; 2) разность двух решений неоднородной сисгаемы является решением приведенной однородной системы. Теорема 22.3. Множество всех решений неоднородной системы является линейным леногообразием, полученным сдвигом подпространства решений приведенной однородной системы на частное решение неоднородной системы. Итак, найдя одно (частное) решение неоднородной систелгы и прибавляя его к каждому решению приведенной системы, можно получить все решения неоднородной системы.
Это позволяет записать решение неоднородной системы в общем виде следующим образом: х = с+спел +... + а„,е„„'гам...,а, й й, (22.3) где с — частное решение (22.1), а еы..., е, — фундаментальная система решений (22.2). Представление (22.3) решения называется общим решением неоднородной системы уравнений через 4ундаментаяьную систему решений. 322. Геометрические свойства решений системы 181 П р и ме р 22.1. Построить фундаментальную систему решений системы уравнений хг + 2хг + 4хз — Зх4 = О, Зхг + 5хг + бхз — 4х4 = О, 4хг + 5хг — 2хз + Зх4 = О, Зхг + Зхг + 24хз — 19х4 = О.
Р е ш е н и е. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме: с 1 2 4 — 3 35 6 -4 4 5 — 2 3 3 8 24 — 19 0 0 — 3 — 18 150 000 00 Выберем свободными неизвестные хз, хз. Так как количество неизвестных и разно 4, а ранг т основной матрицы равен 2, то Ф.С.Р.
содержит и — т = 2 решения. Придалнм своболным неизвестным хз, х4 лва набора значений: (1, 0) и (О, 1) и найдем в каждом случае значения главных неизвестных из уравнений преобразованной системы: хг = 5х4 — бхз, хг = Зхз — 4хз — 2хг = — 7хз 4- Зхз. Результаты сведем в таблицу: хг хг хз хз 8 — 6 1 0 — 7 5 0 1 Итак, решения ег =(8,-6,1,0)т, ег=(-7,5,0,1) образуют фундаментальную систему.
° Пример 22.2. Найти общее решение неоднородной системы уравнений через фундаментальную систему решений: бхг + Зхг+2хз+Зхз+ 4хз =5, 4хз+2хг+ хз+2хз+Зхз =4, 4хг + 2хг + Зхз + 2хз + хз = О, 2х, + хг + 7хз 4- Зхз + 2хз = 1. Решение, Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой форме: 17321~ ~21 7 2321000 — 11 21234~ ~00 — 13 3234500 — 19 3 2 1 — 4 — 3 — 2 — 4 — 1 2 — 6 — 2 2 7 3 2 2 0 — 2 -13 — 4 — 1 — 19 — 6 — 2 2) (О О 2 1 — 1 — 2 14 24~ 21 36 ! 21732 0010 — 1 00027 00000 4232104 (: вычтем из 2 1 2-й строки 3-ю строку ) 2173 0010 ~0 0 0 4 0006 7 3 2 1 1 0 — 1 — 2 134 1 — 2 196 2 — 2 1 12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
