Том 1 (1113039), страница 25
Текст из файла (страница 25)
17.10. х~ = (1, 1, 1, 1), 17.11. х~ = (1, 2, — 1, — 2), хз=(2,3, О,— 1), хз=(2,3, О,— 1), хз= (1,2, 1, 3), хз = (1, 2, 1, 4), х4 = (1, 3, — 1, 0). х4 = (1, 3, — 1, 0). 17.12. х~ = (1, 2, — 1), 17.13. х~ = (1, 2, — 1, 1), хз=(2,3, 0), хз=(2,3, 0,1), хз= (1,3, — 1). хз=(1,3, 1,0). 17.14. Доказать, что в пространстве М„многочленов степе- ни не выше и базисом является всякая система ненулевых мно- гочленов, содержащих по одному многочлену каждой степени 1с: 1с = 0,1,2,...,п. 17.15.
Доказать, что: а) любой ненулевой вектор пространства можно включить в некоторый базис этого пространства; б) любую линейно независимую систему векторов можно до- полнить до базиса пространства. 17.16. Пусть в пространстве Ъ' выбран некоторый базис ем..., е„. Тем самым, каждому вектору х Е У поставлена в со- ответствие строка его координат в этом базисе: х х, = (ам...,а„). 152 Глава 1К Введение в теорию линейных пространств Доказать, что: а) линейная зависимость (линейная независимость) системы векторов х, у,..., х равносильна линейной зависимости (соответственно линейной независимости) системы строк х„у„..., г, рассматриваемых как элементы соответствующего арифметического пространства К"; б) если вектор а линейно выражается через систему х,у,..., х, т.е. а = Лх+ ру+...
+ иг, то это же верно и для строк а„х„ уе ° ° 1 ве~ причем ве = Лхе + руе + ° ° + ухе ° 17.17. В пространстве К4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы е1 = (1, 1,0,0) и ез = (0,0, 1, 1). 17.18. Систему многочленов 1э + 1~, Фь — Згз, 1э + 2г~, гэ — 1 дополнить до базиса пространства Мь. ~2761 ~2111 ~4871 17.19. Дополнить систему матриц ~ до базиса пространства Кэ" з. 17.20. Доказать, что система матриц Е1 — — 2 1,Еэ= 2 1,Ез= 1 2 'Е4 1 1 образует базис пространства И~" э. Построить другой базис этого пространства так, чтобы ни одна из его матриц не была линейной комбинацией каких-либо двух матриц Еы Еэ, Ез, Е4.
17.21. Даны три вектора а = (1,2), Ь = ( — 5, — Ц, с = ( — 1, 3). Найти координаты векторов 2 а+3 Ь вЂ” с и 16 а+5 Ь вЂ” 9с. 17.22. Показать, что векторы а = ( — 5,— Ц, Ь = ( — 1,3) образуют базис пространства 12. Найти координаты векторов с = ( — 6, 2) и с1 = (2, — 6) в этом базисе. 17.23. Даны четыре вектора а = (3,0, — 2), Ь = (1,2, — 5), с = ( — 1, 1, Ц, с1 = (8, 4, Ц. Найти координаты векторов — 5 а+ Ь вЂ” бе+ й и За — Ь вЂ” с — д. 17.24. Показать, что векторы а = (4, 1, — Ц, Ь = (1,2, — 5), с = ( — 1, 1, Ц образуют базис пространства ~з. Найти координаты векторов х = (4,4, -5), у = (2,4, -10) и х = (0,3, -4) в этом базисе. 17.25.
При каких а, В, у е К векторы а = (1,а,аз), Ь = (1,~3, ф), с = (1, у, ?з) образуют базис пространства Ъз ? 17.26. Известно, что векторы а, Ь, с некомпланарны. Выяснить, компланарны ли векторы х, у, и, и если да, то указать линейное соотношение их связывающее: 153 ~17.
Базис н координаты а) х=2а — Ь вЂ” с, у=2Ь вЂ” с — а, с=2с — а — Ь; б) х=а+Ь+с, у=Ь+с, я= — а+с; в) х= с, у= а — Ь вЂ” с, я= а — Ь+ с. 17.27. В параллелограмме АВСР точка К вЂ” середина отрезка ВС и точка Π— точка пеуесечення диагоналей. Принимая за базисные векторы АВ и АР, найти координаты векторов ВР, СО, КР в этом базисе. 17.28. В треугольнике АВС точка М вЂ” середина отрезка АВ и точка Π— точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы АВ и АС, найти координаты векторов АМ, АО, МО в этом базисе. 17.29. В трапеции АВСР длины оснований А.Р и ВС относятся как 3: 2. Принимая за базисные векторы Ад и ВР, найти координаты векторов АВ, ВС, СР, РА в этом базисе.
17.30. В тетраэдре ОАВС точки К,Б,М,М,Р,Я вЂ” середины ребер ОА, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, Я вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы ОА, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты: а) векторов АВ, ВС, АС; б) векторов К1., РЯ, СХ, МР, КЯ; в) векторов ОБ, КЯ, 17.31. Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы ОА и ОВ, найти: а) координаты вектора ОМ, если точка М лежит на отрезке АВ и АМ: ВМ = тп: и; б) координаты вектора ОМ, если точка Ю лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и АМ: ВМ = т: п.
17.32. В трапеции АВСР отношение длин оснований А.Р и ВС равно 4. Принимая за базисные векторы АВ и АВ, найти координаты векторов АС, АМ, АЯ, ЯМ, где М вЂ” точка пересечения диагоналей трапеции, а Я вЂ” точка пересечения ее боковых сторон. 17.33. Доказать, что матрицы 1 — 1 ' ~ 13 ' з 01 ' 4 57 образуют базис пространства Кэ" т, и найти координаты 154 Глава 1Ъ'. Введение в теорию линейных пространств ~5 141 матрицы А = ~ б ~ в этом базисе. 17.34. Доказать, что матрицы О 1 1 1 — 1.— 1 1 — 1 — 2~ =[ Ег = ,Еь= образуют базис пространства симметрических матриц порядка 3, и найти координаты матрицы А = в этом базисе.
17.35. Доказать, что многочлены 1, Ф вЂ” а, (г — сз)г,..., (г — о)" образуют базис пространства М„, и найти координаты произвольного многочлена р(1) е М„в этом базисе. 17.36. Доказать, что многочлены 21+гэ, гз — гэ, 1+гз образуют базис с пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координаты многочлена 51 — 1з + 2гв в этом базисе.
17.37. Доказать, что каждая из двух систем матриц 1 — 2] 2 1], [! ~] [ 1] "] 1 — 2] — 1 Π— 1 , — 2 О 3 О 1 Π— 1 Π— 2 О 2 О является базисом пространства Кох~, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты матрицы размера 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты ~6, ~г,..., ~е) во втором базисе. 17.38. Доказать, что каждая из двух систем матриц Я 7. Базис и координаты 155 является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты (5,С2,(3) во втором базисе. 17.39.
Доказать, что каждая из двух систем функций Х2 ХЗ ]+5Х» Х3 (]+Х)3 и ~1 + Х)3 ~1 Х)3 Х Х2 + Хз 1 + Х + Х2 + Хз является базисом пространства Мз. Найти координаты много- члена степени не выше 3 в первом базисе, если известны его координаты ф, (2,(3, (4) во втором базисе. 17.40. Доказать, что каждая из двух систем функций (1 + 12)2, (1 — Х2)2, 1 и Х2 + Х4 1 Х2 + Х4 Х4 является базисом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны координаты (~м(2, (3) во втором базисе. 17.41. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поменять местами Х-й и ~-й векторы первого базиса; б) поменять местами Х-й и 3-й векторы второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? 17.42. Матрица Б является матрицей перехода от первого базиса ем..., е„ко второму базису ~,..., Х„п-мерного пространства Ъ', а матрица Я вЂ” матрицей перехода от третьего базиса дм..., д„ко второму базису Хм..., Х'„.
Найти матрицу перехода: а) от второго базиса к первому; б) от первого базиса к третьему. 17.43. Как связаны между собой базисы Хм..., Х„и ем..., е„ пространства Ъ", если матрица перехода от базиса е к Х; а) диагональная; в) верхняя треугольная; б) скалярная; г) нижняя треугольная? 17.44. Доказать, что система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда она образует 156 Глава Гьг. Введение в теорию линейных пространств минимальную систему, порождающую все пространство. 17.45. В п-мерном линейном пространстве даны векторы еы...,е, причем гп > и + 2.
Доказать, что существуют такие числа оы, .., сг, не все равные нулю, что 2„™, сгге, = й и 2, зсг,=О. 17.46. Пусть еы ..,, еи и ~,..., Г"„— два базиса линейного пространства И и 1 < Й < и. Доказать, что из векторов второго базиса можно выбрать такие к векторов, что после обмена их с векторами еы ...,еь из первого базиса получатся снова два базиса пространства у'. 17.47. Векторы хп, .., хь я И линейно независимы, а базис еы ...,еи пространства Ъ' таков, что он остается базисом после замены вектора е, на вектор х, при любом 1 = 1, й.
Верно ли, что векторы хы...,хи ей гм ...,еи тоже образуют базис пространства И? 17.48. Известно, что матрицы Ап Аз,..., Ати образуют базис пространства И "", а матрицы Вы Вз,..., Вн — базис пространства Я'х~. Доказать, что их всевозможные кронекеровы произведения А; ® В, з' = 1, тп, з' = 1, з1, образуют базис пространства К 17.49. Матрицы Аы Аз,..., А „образуют базис пространства К'"х". Доказать, что матрицы ВАН ВАз,..., ВА „также образуют базис этого пространства тогда и только тогда, когда квадратная матрица В порядка т невырождена.
818. Линейное подпространство и линейное многообразие Непустое подмножество 1 пространства г' называется линейным иодпространстеом пространства г', если оно само является линейным пространством относительно законов композиции, действующих в р. Теорема 18.1. Неиустог иодмнозюестео 1 пространства я' является линейным подиространстеом отлого пространства тогда и только тогда, когда имеют место импликации; обе ь =:ь а+бег; або,оей =,~ ааеь. Пусть г' — линейное пространство, Е, — некоторое его подпространство, хо — некоторый вектор пространства г'. Множество Н всевозможных векторов вида хо й х, где х Е 1, называется линейным многообразием (нлн линейным а44инным многообразием) пространства И, полученным сдвигом иодиространстеа 1 на еектпор хе. Вектор хо называется еекгиором сдвига, 818.
Линейное подпространство и линейное многообразие 157 а надпространство Ь вЂ” направляющим подпространством линейного многообразия Н. Обозначение: Н = хе + Ь. Итак, хо + Ь = 1тхо+ х)х Е Ц. Из определения вытекают следующие факты. 1'. Вектор сдвига хо принадлежит линейному многообразию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
