Том 1 (1113039), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1=1 ЗФЗ Доказать, что; а) матрица с диагональным преобладанием является матрицей полного ранга; б) определитель квадратной матрицы с диагональным преобладанием отличен от нуля. 16.20.1. Верны ли утверждения предыдущей задачи, если в условии диагонального преобладания хотя бы одно неравенство сделать нестрогим? 16.21. Доказать, что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу. 16.22. Доказать, что вычеркивание одной строки (или одного столбца) матрицы не изменяет ее ранга тогда и только тогда, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (соответственно столбцы) матрицы.
141 ~16. Ранг матрицы 16.23. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней каждого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется и от приписывания к матрице А всех столбцов матрицы В.
16.24. Как может измениться ранг матрицы, если изменить значение одного ее элемента? 16.25. Как может измениться ранг матрицы, если ко всем элементам одной строки прибавить одно и то же число? 16.26. Как может измениться ранг матрицы при изменении элементов: а) одной строки; б) 1 строк? 16.27.
Как может измениться ранг матрицы, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число? 16.28. Существует ли матрица, ранг которой не изменяется; а) при приписывании к ней любого столбца; б) при вычеркивании любой ее строки? 16.29. Известно, что в первых й столбцах матрицы размера т х и главный минор порядка?с ненулевой, а все прочие миноры порядка й равны нулю. Доказать, что эта матрица имеет вид аы ... а1ь аць+1 ... аш аы ... аьь аь ь+1 ... аьа 0 .. О аь.ь1 ь+1 ... аь+1 „ 0 ... 0 ат,ь+1 ..
агнв 16.30. Доказать, что в невырожденной квадратной матрице и-го порядка ранг любой квадратной подматрицы порядка п — 1 не меньше, чем п — 2. 16.31. Известно, что квадратная матрица А порядка и содержит нулевую квадратную подматрнцу 1-го порядка. Указать, какие значения может принимать ранг матрицы А. 16.32. Известно, что квадратная матрица А порядка и содержит квадратную подматрицу (п — 1)-го порядка, ранг которой равен 1. Указать, какие значения может принимать ранг матрицы А, 16.33. Известно, что ранг квадратной матрицы А порядка п Равен и — 1.
Доказать, что существует матрица В ранга 1 такая, что матрица А + В невырождена. 142 Глава 1К Введение в теорию линейных пространств 16.34. Доказать, что ранг блочной матрицы вида А= О А22 равен сумме рангов диагональных клеток Ам и А22. 16.35. Матрица А имеет следующую блочную структуру: А= Аы Агв Доказать, что гб А > гб А ы + гб А22. Построить пример квазитреугольной матрицы А, для которой в этом соотношении выполняется строгое неравенство. 16.36. Доказать, что для любых матриц А и В одинакового размера ~ гя А — гя В~ < г8(А + В) < гя А + гя В. Для каждого значения г = ~г1 — г2~,г1+ г2 построить пример матриц А и В, для которых гя А = гм гя В = г2 и гфА + В) = г.
16.37. Доказать, что любую матрицу ранга т можно представить в виде суммы г матриц ранга единица, но нельзя представить в виде суммы менее чем г таких матриц. 16.38. Доказать, что если ранг матрицы А равен г, то минор, стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля. Верно ли это утверждение, если гя А ) г ? 16.39. Доказать, что ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
16.40. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы. 16.41. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы— число четное. 16.42. Ранг матрицы А Е Г""" равен единице. Доказать, что найдутся столбец х и строка ут такие, что выполнено равенство „т 16.42.1. Ранг матрицы В Е К""" равен единице. Доказать, что для любой матрицы А е К""" справедливо соотношение 2с)е~А = сне~(А+ В) + бес(А — В). 16.43.
Доказать, что если гбА = 1, то существует число о Яб. Ранг матрицы 143 такое, что А~ = аА. 16.44. Доказать, что если гбА = гбАа = 1, то равенство та А" = 1 выгюлнено для всех 1е Е И. 16.44.1. Пусть матрицы А Е К "" и В е И"" таковы, что оба произведения АВ и ВА являются единичными матрицами. Доказать, что т = и и В = А 16.45. Доказать, что любую матрицу А 6 И "" ранга г можно представить в виде произведения: А = ВС, где В е И~""— матрица полного ранга по числу столбцов, а С е И'"" — матрица полного ранга по числу строк. Такое представление матрицы А называется ее скелетны разложением.
16.46. Известно, что х и у — столбцы одной высоты и. Доказать, что: а) гб(1 + ух ) = и, если х~у ф — 1; б) гф,1+ ухт) = и — 1, если хту = — 1. 16.47. Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен 1, то одна из матриц 1+ А или 1 — А невырождена. 16.48. Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен 1, то Ье1(1 + А) = 1 + 1г А. 16.48.1. Для матриц А и В определены оба произведения АВ и ВА.
Верно ли, что ранги АВ и ВА совпадают? 16.49. Пусть А Е И "" и В Е И""'. Доказать, что выполнено неравенство Сильвестра гкАВ > гбА+ ги — и. 16.50. Пусть А 6 И"'"". Доказать, что АтА невырождена тогда и только тогда, когда А — матрица гюлного ранга по числу столбцов.
16.51. Доказать, что для любой матрицы А выполнено соотношение гб(АтА) = г8 А. 16.52. Пусть А Е И "" и В Е И""~. Доказать, что если АВ=О,то гбА+ гбВ < и. 16.52.1. Пусть матрица А ~ Иа"а такова, что для любой вырожденной квадратной матрицы В порядка и выполнено соотношение га(АВ) = г8 В. 144 Глава 1К Введение в теорию линейных пространств Доказать, что А — невырожденная матрица. 16.52.2. Пусть ненулевая матрица А Е зт""" такова, что для любой квадратной матрицы В порядка п выполнено соотношение гК(АВ) = гК(ВА). Доказать, что А — невырожденная матрица. 16.53.
Пусть А и  — квадратные матрицы одинакового нечетного порядка. Доказать, что если АВ = О, то хотя бы одна из матриц А + Ат или В + Вт вырождена. 16.54. Доказать, что если квадратная матрица А порядка и удовлетворяет равенству А2 = 1,то гК(1 + А) + гК(1 — А) = и.
16.55. Пусть А — квадратная матрица порядка п > 1 и А— матрица, присоединенная к А. Как связаны ранги матриц А и А 2 16.56.' Найти все нильпотентные матрицы третьего порядка с индексом нильпотентности, равным двум. 16.57.2 Найти все периодические матрицы А третьего порядка, удовлетворяющие соотношению А2 = 1. 16.58. Пусть А Е К'""" и В е зт~"1, причем одна из матриц А или В неквадратная. Доказать, если кронекерово произведение А З В вЂ” квадратная матрица, то она вырождена.
16.59. Доказать, что: а) для невырожденной матрицы А порядка и и произвольной матрицы В выполнено соотношение гК(А З В) = п гК В; б) для произвольных матриц А и В выполнено соотношение гК(АЗ В) = гКАгКВ. 16.60. Пусть А и  — матрицы одного размера. Доказать, что: А В1 а) гК 2А — 5В ~ = гКА+гКВ; ~ А+2В А+4В 1 б) гК ~ 21 В З1 2В ~ = гКА+гКВ.
'См. также задачи 2.36, 8.1. См. такизе задачи 2.41, 9.61. 145 Я 7. Базис и координаты 16.61. Пусть А и  — квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что: А АВ) А Аг) а) гК В В+ Вз ~ = гКА+гКВ; б) гК ~ Аз Аз ~ = гКА; 1 11 в) гК рз 1 ~ = гКА+гК(1 — А). 16.62. Пусть А — невырожденная матрица и-го порядка. Доказать,что ранг блочной матрицы ~":1 равен и тогда и только тогда, когда Р = СА 'В. 16.63. Пусть А е Б'.тпхп и В е Бпх". Доказать равенство рангов блочных матриц; ОА =" О Вывести из этого соотношения неравенство Сильвестра задачи 16.49. 16.64. Пусть для матриц А, В и С определено произведение ВАС. Доказать равенство рангов блочных матриц: ~АС А ) ~А О О ВА~ К~ О ВАС Вывести из этого соотношения неравенство Фробенууса гК ВА+ гКАС < гКА+ гК ВАС.
16.65. Квадратные матрицы А и В порядка п таковы, что гКА+ гКВ < и. Доказать, что существует невырожденная матрица С такая, что АСВ = О. 917. Базис и координаты Базисом линейного пространстпеа Ъ' наЗывается упорядоченная линейно независимая система векторов из тт, через которую линейно выражается любой вектор пространства, Теорема 1тдг. Система векторов ет,..., е„линейного пространстпаа яеляетпся его базисам тогда и тполько тогда, когда она образует максимальную линейно независимую систпему еектпорое этого пространства, Из этой теоремы следует, что все базисы одного линейного пространства р состоят из одинакового числа векторов, равного максилтальному числу линейно независимых векторов в р, Число векторов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность нулевого пространства по 146 Глава 1 У.
Введение в теорию линейных пространств определению считается равной нулю. Обозначение: г(1ш Ъ'. Линейное пространство размерности и, где п — целое неотрицательное число, называется и-мерным пространством, Любое и-мериое пространство относится к конечномерны.м линейнььи пространствам. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого )г е И в нем найдется линейно независимая система из Й векторов. Из определения размерности и теоремы 17.1 следует, что: 1) в п-.мерном пространсп1ве любые п линейно независимых векторов образуют базис; 2) в и-мерном просгпранстве любая система иэ э векторов, где э > и, линейно зависима.
Теорема 1Т.2. Разложение вектора по базису единственно. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Обозначение. Если еы...,е — базис пространства и (17.1) х = х1е1 + хгег + ... + х е , то будем обозначать через х, вектор-столбец из координат векторах в этом базисе: х, = ( х1 хг .. х ) т Столбец х, называют координатным стаябцом вектора х в базисе ем..., е„. Положим е = (емег,,е„). Под символом е будем понимать как обозначение базиса ем, .., е„, так и матрицу-строку (ем ег,, е ). В этих обозначениях разложение (17.1) может быть записано как произведение строки е на столбец х,: х = ех,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
