Том 1 (1113039), страница 12
Текст из файла (страница 12)
7.94 1 хг ... х'„' 1 Х1 ... Х1 (Х2 + ХЗ + ... + Хп) 1 х2 ° .. хг (х1 + хЗ + ... + хв) 7.95. 1 Хв ... Хи (Х1+Х2+...+Хи 1) хгхз... х„ Х1ХЗ... Ха 7.96. .п — 2 1 хп .. х„х1хг... х„1 7.97. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка и, злементы которой заданы условиями а1 = Л, ~(1+Лг)3 Применяя метод выделения линейных множителей, лить определители. вычис- 7. 99 1 2 3 ...х+1 1 1 1 ...и — х 7. 100. .
7.101. Ь с с Ь 7. 102. 7.103. — х а а — х а1 а2 аз х и — 2 ,и — 2 ' 2 1 2 3 ... и 1х+1 3 ... и 798, 1 2 х+1... и 1 1 2 3 12 — х22 3 2 3 1 5 2 3 19 — хг а — х Ь с с Ь 1 1 1 12 — х 1 1 1 3 — х... 1+х 1 1 1 1 — х 1 1 1 1+х 1 1 1 х а1 аг ... а„ а1 х аг ...
а„ а1 аг х ... а„ 1 1 1 1 — -. 97. Вычисление определителя 7. 104. а1 аг аз ... х + а„ 7.105 а, аг аз ... х 1 а1 аг аз ... а„ 1 7. 106. ая1 ав2 апЗ ап4 Применяя метод выделения линейных множителей, решить уравнение (А — ЛХ( = 0 для следующих матриц А. 7.107. А = 7.108. А = 7.109. А= 7.110. А= 7.111. А = .
7.112. А = 7.113. А= . 7.114. А = х + а4 аг аз ... а„ а1 х + аг аз ... а„ а1 аг х + аз ... а„ х а4 аг ... а„ 4 1 а4 х аг ... а„ 1 1 аг аг х ... а„ г 1 .2 3 и аы 1 х хг ...х" ~ а21 а22 1 х ... х 1 — 3 4 4 4 4 — 3 1 †1 1 — 2 О 2 1 Π— 2 1 0 1 — 1 0 — 1 2 1 5 1 — 1 — 1 1 5 — 1 — 1 1 1 3 — 1 1 1 — 1 3 1 3 2 — 2 — 1 — 3 — 2 2 2 6 4 — 4 — 3 — 9 †б 1 2 — 3 0 6 2 О б — 3 О 2 — 3 Π— 2 3 1 4 1 2 2 1 4 2 2 1 1 — 3 1 — 1 — 1 1 — 3 4 — 2 2 2 1 3 1 — 1 1 1 3 — 1 — 6 б †— 4 Глава П.
Определители 1 1 ... 1 2 2 ... 2 1 1 ... 1 1 1 ... 1 7.115" А = 7.116. А = 1 1 ... 1 и п ... п Вычислить определители, раскладывая их в сумму определителей. а1 — Ь1 аг — Ьг ... а1 — Ь„ 7.118. аг — Ь| аг — Ьг .. аг — Ь агагаз ..х„ а„— Ь1 а„— Ьг ... а„ вЂ” Ь„ 0 1 1 1 ... 1 1 хг а1 0 0 ...
0 0 хг хг аг О ... О О хз хз хз аз .. О 0 7. 119. х„1хн1хн1хн~...а„1 О х„х„х„х„... х„а„ (х1 — аг)г аг г... аг а1 (хг — аг) ... а„ 7.120. аг 1 аг г... (хв — а„) х1 + а1Ь! а1Ьг агЬ1 хг+агбг ... 7.121. а„Ь1 а„Ьг ... х„+а„Ь„ 7.123 7. 122. ууу...о ууу...а Порядок натовцы равен и. хг аг аз ... а„ а1 хг аз ... ан а1 аг хз ... ав Охх... у ох...
ууО... а1Ь„ агЬ„ ахх...х уах ... х ууа...х 37. Вы числеиие определителя 77 0 1 1 1 ... 1 1 а1 х х ... х 1 у а2 х ... х 1 у у аз ... х 7. 124. 1 у у у ... ап Вычислить определители, раскладывая их в произведение определителей. соз(а1 — 131) соз(а1 —,32) сов(а2 — 131) соз(а2 132) сов(а1 — 43„) соз(а2 — Д) 7.125 соз(ап —,3п) соз(ап — 131) сов(ап —,32) Б1п 2а1 Б1п(а1+ а2) ... Б1п(а1+ ап) Б1п(а2 + а1) з!п 2а2 ...
Б1п(а2 + ап) 7.126. Б1п(ап + а1) Б1п(аи + а2) ... Б1п2ап 1 — аи1Ьи1 — апЬп 1 и 1 — а1Ь1 1 — а2 Ьу — а1Ь„ 7.127. 1 — а2Ь1 — а2бп 1 — апуп п 1 1 — апЬ2 1 1 — а„Ь2 1 опЬи и п 1 — апЬ1 — апЬп (ао+ Ьо)п (по+ Ь1)п (ао+ Ьп)п (а1+ Ьо)п (а1+ Ь1)п ... (а1+ Ьп)п 7.128 (ап + Ьо)п (пи + Ь1)п ... (ап+ Ьп)п , где зь = х~ +... + х~. 7.129.
Зп — 1 Зп Зи+1 ° ° ° Б2п-2 БО З1 З2 З2 ЗЗ 1 — а" Ь" 1 — а1Ь2 1 1 — аи2Ь2 1 1 — а2Ь2 1 З2 Зи-1 ЗЗ Бп Б4 ... Би-1-1 Глава П. Определители 78 80 81 82 8п-1 81 82 83 .. 8п Х 82 83 84 ° ° ° 8п+1 г , где 88 = х1+... +х~. 7.130. 8п — 1 зп 8 а+1 ° ° ° 8 2п-2 п 38.
Смешанные задачи д. Найти определители следующих блочных матриц: а) 7 ~, б) Аз А4 8.6. Доказать, что если матрица А ортогональная, то = О. 8.7. Доказать, что если А, В, С вЂ” квадратные матрицы одного порядка,то; 7 А а) В = с1е1(1 — АВ); б) = деФ(1 — ВА); 7 А См. также задачи 2.35, 16.56. См. задачу 3.23. 8.1.8 Доказать, что если квадратная матрица второго порядка нильпотентна, то ее индекс нильпотентности не превосходит двух. 8.2. Доказать, что нильпотентная матрица второго порядка имеет нулевой след. 8.3.
Доказать, что все члены определителя порядка п > 3, не могут быть одновременно положительными. 8.4. Доказать, что: а) элементарное преобразование блочной матрицыэ первого типа может изменить только знак определителя; б) в результате элементарного преобразования блочной матрицы второго типа, т.е. умножения всех клеток какой-либо строки слева или всех клеток какого-либо столбца справа на квадратную матрицу В, ее определитель умножается на де1 В; в) элементарное преобразование блочной матрицы третьего типа не меняет ее определитель. 8.5.
Известно, что определитель матрицы А порядка и равен 79 '98. Смешанные задачи г) 1 1. —— с1еЦА, В), АВ В в) С 2, — — бес(А — ВС); А В 8.8.1е Выяснить, для любых ли квадратных матриц А, В, С, Р одного порядка справедливо равенство А В С Р вЂ” — бес(АР— ВС) . 8.9. Пусть А и  — квадратные матрицы порядков т и и соответственно. Доказать, что определитель их кронекерова произведения вычисляется по формуле с1ес(А ® В) = 1оеС А) (с1ес В)™. З1 — а11 а2 Й21 а1 — а12 ... З1 — асп Е2 О22 « З2 О2п = (-1)" '(и — 1) с1есА. ап Оп1 ап Оп2 . Зп Опп 8.13. Доказать, что для любой матрицы А = (ас ) Е К""": ам ...
а1п Х1 = зс1есА — Х ~х,у Ан, ап1 ... апп Хп У1 Уп где Ас — алгебраическое дополнение элемента ао в матрице А. 8.14. Доказать, что для любой матрицы А = (а; ) Е Кпкп: ам + Х атя+ Х ... а1п+ Х О21+Х И22+Х .. ° Й2п+Х = бесА+х Х~ А,, Опс + Х Оп2+ Х ... Опп + Х '~См. также задачи 9.81 и 9.82. 8.10. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы А четного порядка не изменится, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число. 8.11. Матрица В получена из стохастической матрицы А порядка и вычитанием из каждого элемента числа 1.
Доказать, что ссес В = (1 — и) с1ес А. 8.12. Пусть аь — 1с-я строчная сумма квадратной матрицы А = (ас ) порядка и. Доказать, что Глава П. Определители 80 где А« — алгебраическое дополнение элемента а, в матрице А. 8.15. Пусть 1(2) = (с1 — Ф)(с2 — 2)... (с„— Ь). Доказать, что с1 а а ...
а Ь с2 а ... а Ь Ь сз ... а аДЬ) — ЬУ(а) а — Ь Ь Ь Ь ... с„ 8.16. Доказать, что для любой матрицы А = (а, ) Е К""": а1„ а2„ х1аы хзагз ... х„а1„ а21 а22 ... а2«« + .+ аы а12 а21 а22 х1а„1 хза„2 ... х„а„„ ан1 ав2 ... а«««« = )А) ~ хь. Ь=1 8.17. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов матрицы А = (а, ) Е И""" равна определителю 1 1 «121 а11 «122 а12 ° ° ° ««2п а1в а31 «111 «132 а12 ° ° ° аз а1в а„1 — аы а,,2 — агз ... а„„вЂ” а1„ 8.18.
Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов матрицы не изменится, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число. 8.18.1. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам его матрицы числа 6, а другой— аналогичным вычитанием числа Ь. 8.19. Доказать, что если все элементы одной строки (столбца) матрицы равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов этой 1«атриды равна ее определителю.
81 38. Смешанные задачи 8.20. Доказать, что 8.21. Пусть А и  — квадратные матрицы порядка и. Доказать, что и )А( (В) = ~~ )Аь) (Вь(, Ь=1 где Аь и Вь получены из А и В обменом столбцов с номерами 1 и |с соответственно 1т.е. первый столбец матрицы А и 1с-й столбец матрицы В меняются местами). 8.22.
Пусть А и  — матрицы размера и х т и т х и соответственно. Доказать, что: а) при и > т определитель произведения АВ равен нулю; б) при и < т выполнено равенство (формула Бине-Коши) 41е1АВ = ~~ Аь, я В"'""" 1<Ь|«...Ь <т где Аь, ь„— минор и-го порядка, расположенный в столбцах матрицы А с номерами /с1,..., /с„, а Вь' " "" — минор и-го порядка, расгюложенный в строках матрицы В с номерами /с1,..., 1с„. 8.23.
Доказать, что сумма главных миноров Ь-го порядка матрицы Аг А равна сумме квадратов всех миноров й-го порядка матрицы А. 8.24. Континуантой называется определитель а| 1 0 ... ΠΠ— 1 аг 1 ... О 0 0 — 1 аз ... 0 0 (а1аг ° ° ° ан) = О О О ... а„ | 1 О О 0 ... — 1 а„ а) Записать (а|аг... а„) в виде многочлена от а|,..., а„. б) Написать разложение континуанты по первым Ь строкам. а|с| ага| а|сг агдг азс1 а4с|1 аЗс2 а4Й2 Ь|сз Ьгссз Ь!с4 Ьгсс4 Ьзсз Ь4ссз Ьзс4 Ь4 с|4 а| аг~ Ь1 Ьг~ с| Сг ~411 дг аз а4 ~ Ьз Ь4 ~ сЗ с4 ~ 413 с14 Глава П.
Определители 82 в) Установить следующую связь континуанты с непрерывными дробями: (а1аг а ) =а1+ а) а+ аз+ (агаз 1 + а„1+— а„ 8.25. Определитель квадратной матрицы А, элементы которой заданы условиями а, = (х, + у ) 1, называется определителем Коши. Доказать, что де1А= П (хз — ху)1У,— У,) / П (ХЗ+У,). п>1>У>1 ( '3=1 8.26.
Вычислить определитель 1 1 1 1 2 3 п 1 1 1 1 2 3 4 и+1 1 1 1 1 п и+1 и+2 2п — 1 8. 27. Вычислить определитель 8.28. Перемножая матрицы определителей хз Х2 — Х1 доказать тонсдество Эйлера: х1 хг хз Х2 — Х1 — Х4 ХЗ Х4 — Х1 Х4 ХЗ Х2 а Ь вЂ” Ь а — с — д — й с с д а — с а Ь вЂ” Ь а У1 У2 Уз Уг -У1 -У4 Уз У4 У1 У4 Уз У2 У4 Уз У2 У1 28. Смешанные задачи Комбинируя различные методы, вычислить определители. 1 2 3 ... и х 1 2 ... и — 1 х х 1 ... и — 2 0 аг аз ..
а„ Ь! О аз ... а„ Ь! Ьг 0 ... а„ 8.31. . 8.32. х х х ... 1 Ь! Ь2 Ьз .. О 1 Х4(х! — 1) хг!(х! — 1) ... х" 4(х! — 1) 1 х2(х2 — 1) хг(х2 1) ° ° х2 (х2 1) 8.33 1 х„(х„— 1) хг (х„— 1) ... х„"'(х„— 1) 1+ х! 1+ хг! ... 1+ х" 1+хг 1+х' ,... 1+х," 8. 34 1+Хп 1+Хп ° ° 1+Хп 1+ а! + Ь! а! + Ь2 аг+ Ь! 1+аг+ Ьг а! + Ьп аг + Ь„ 8. 35 а„+ Ь! а„+ Ьг ... 1+ а„+ Ь„ 1 + х!уг ... 1 + хгу„ хгуг ... 1 + хгу х4у! 1+ х2у! 8.36 1+ х„у! 1+ хпуг ... х„у„ (Х! +Х2+ХЗ+Х4)(У! +У2+УЗ +У4) = = (х4у! + хгуг + хзуз + х4у4) + (х4уг — хгу! — хзу4 + х4уз) + +(Х4УЗ + Х2У4 — ХЗУ! — Х4У2) + (ХЗУ4 — Х2У4 + ХЗУ2 — Х4У!) 8.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
