Том 1 (1113039), страница 5
Текст из файла (страница 5)
б) Показать, что если А = а1 — скалярная матрица, то ехрА = е 1. в) Показать, что (ехр А)т = ехр(Ат). 2.46. Вычислить ехр А, если ~2. Матрицы специального вида б) произведение дважды стохастических матриц является дважды стохастической матрицей. 2.52. Пусть А Е К~'" и В Е К""~ — произвольные матрицы. Кронекероеым пЛвоизведением А З В матриц А и В называется матрица С Е К~ ""~, имеющая следующий клеточный вид: ам В адВ ... а~„В аз~В атгВ ... аз„В ат1В ат2В ° ° атпВ Доказать, что кронекерово произведение обладает следующими свойствами: а) (оА) З В= А З ( В) = „(А З В); б) (А+В) ЗС=А®С+ВЗС; в) 1А®В) ®С=АЗ(ВЗС) г) АЗ(В+С)=АЗВ+А®С; д) (АЗВ)т=АтЗВт. е) 1АВ) З 1С1Л) = (А З С) (В З р), выполненными для любых матриц А, В, С (в последнем соотношении дополнительно предполагается, что произведения АВ и С11 определены).
2.53. Вычислить кронекерово произведение матриц: а) А З В и В З А, если А =, В = б) А®ВиВЗА,еслиА=~1 2 3],В= в) АЗВиВЗА,еслиА=,В= 2. 54. Доказать, что кронекерово произведение вектор-строки а на вектор-столбец 6 коммутативно и равно обычному произведению Ьа. 2.55. Доказать, что кронекерово произведение квадратных матриц А и В (быть может, разных порядков) является: а) нулевой матрицей тогда и только тогда, когда одна из матриц А или В нулевая; б) единичной матрицей 1„тогда и только тогда, когда А = Л1„и В = Л ~1 для некоторого Л ~ 0; в) диагональной матрицей тогда н только тогда, когда А и  — диагональные; г) треугольной матрицей тогда и только тогда, когда либо А н  — обе треугольные одного вида, либо А — строго треугольная 30 Глава 1. Матрицы г) — (Аг) матрица. 2.56.
Доказать, что если А и В обе симметрические или косо- симметрические матрицы, то их кронекерово произведение А®В — симметрическая матрица. Верно ли обратное? 2.57. Доказать, что если А и В ортогональны, то их кронекерово произведение А З В вЂ” также ортогональная матрица. Верно ли обратное? 2.58. Доказать, что если А и  — стохастические (дважды стохастические) матрицы, то их кронекерово произведение АЗ В также является стохастической (дважды стохастической) матрицей. Верно ли обратное? 2.59. Доказать, что кронекерово произведение А ®  — нильпотентная матрица тогда и только тогда, когда одна из матриц А или В нильпотентна.
2.60. Доказать, что кронекерово произведение А З В вЂ” периодическая матрица тогда и только тогда, когда для некоторых й е 1Ч и Л ф 0 матрицы ЛА" и Л 1В~ единичные. 2.61. Доказать, что след кронекерова произведения квадратных матриц равен произведению следов сомножителей. 2.62. Пусть 7Л "" — множество всех матриц А = А(~) (а, (~)) размера т х и, элементами ап(1) которых являются дифференцируемые функции действительной переменной ~. ПроиздА водной матрицы А = А(1) называется матрица — = (а! (1)) й размера то х и. Доказать, что: й с?А с? ЙА йВ а) — (ссА) = а —; сй й' б) — (А+ В) = — + —; й й сЫ' с~ дА ИВ в) — (АВ) = — В+ А —; й й й' с~ йА ЫВ д) -~А,В) = ~ —,В)+[А,— ); сй ' сй' 'й д ИА йВ е) — (А ® В) = — З В+ А З вЂ”; сй й й' д йА дВ ж) — (А а В) = — * В + А * —.
сй й сй 2.63. Доказать, что если матрица А не зависит от ~, то — ехр(~А) = Аехр(~А). сй 33. Элементарные преобразования матриц с( 2 с(А 2.64. Доказать, что равенство — (А ) = 2А — выполнено сй й с(А тогда и только тогда, когда матрицы — и А перестановочны. с(г с(А 2.65. Пусть ((х) — многочлен, а матрицы А и — перестанос(1 с(, с(А вочны.
Доказать, что — )'(А) = ~'(А) —. с(г <Й 63. Элементарные преобразования матриц выбор третьей строки упрощает ручные вычисления), при этом (3) — 2 3 б — 4 4 3 3 О О 1 2 3 9 — б 3 2 4 А Аг= б) Аннулируем полдиагональные элементы первого столбца, для чего из второй и четвертой строк вычтем первую строку, умноженную соответственно на 2 и на 3 (отметим, что выбранный ведущий элемент является делителем аннулируемых элементов,и это освобоясдает преобразования от дробных вычислений), при этом Приведение матрицы к ступенчатой форме.
Злемвнтарнмми преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число. Теорема 3.1 (об основном процессе). Произвольная нвнулевал матрица конечным числом элементарных преобразований только от рак первого и гаретьсго типов может быть приведена к верхней сгпупенчагпой формЕ.
Доказательство ((9)) этой теоремы представляет собой описание процесса, приводящего ненулевую матрицу к искомому виду. Проиллюстрируем его на конкретном примере. Пример 3.1. Приведем матрицу элементарными преобразованиями только строк к верхней ступенчатой форме Первый шаг. а) Первым ненулевым столбцом в матрице А является 1-й столбец. Поэтому ведущим элементом первого шага должен быть ненулевой элемент в позиции (1,1). В матрице А элемент ам = О и он не может быть ведущим, поэтому поменяем лгестами первую и третью строки (поясно было бы первую строку переставить со второй, однако, как будет видно в п. "б", Глава 1. Матрицы 3 — 2 5 4 2 0 0 — 6 — 5 — 1 0 0 1 2 3 0 0 -12 -10 -2 [ Вягорой щаз состоит в применении первого шага к матрице 0 — 6 — 5 — 1 ~ Аг= 0 1 2 3 0 -12 -10 -2 ) Так как первым ненулевым столбцом в матрице Аг является второй столбец, то ведущий элемент следует искать во втором.
столбце н, хотя агг = — 6 р О, удобней всего в качестве ведущего элемента выбрать элемент, равный 1 (ибо 1 является делителем любого числа), поэтому переставив местами 1-ю и 2-ю строки, получилг ~0) 1 ) 2 3~) Аг — ~Аз= 0 -6 -5 — 1 0 — 12 -10 -2 Вычитая из 3-й строки удвоенную 2-ю строку и прибавляя ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 6, получим 0 1 2 3 Аз — ' 0 0 7 17 0 0 0 0 Все использованные преобразования строк матрицы Аг можно рассматривать как преобразования строк исходной матрицы, так что если опустить все комментарии, то цепочка преобразований матрицы А, приводящая ее к верхней ступенчатой форме, примет вид: 3 — 2 5 4 2 0 0 — 6 — 5 — 1 0 0 1 2 3 0 0 -12 -10 -2 3 — 2 5 4 2 6 -4 4 3 3 0 0 1 2 3 ~ 9 — 6 3 2 4 А [ 3 — 2 5 4 0 0 1 2 0 0 — 6 — 5 0 0 -12 -10 2 3 — 1 — 2 Отметим, что в описанном процессе использовались элементарные преобразования только строк матрицы.
Процесс приведения матрицы к ступенчатой форме будем называть осноены.н процессом. 1. Квадратная матрица с помощью основного процесса приводится к треугольной форме. 2, Если в основном процессе поменять ролями строки и столбцы, то матрица А приведется к нижней ступенчатой форме. 3. В ручных вычислениях во избежание больших чисел целесообразно в основном процессе использовать элементарные преобразования строк второго типа, сокращать все элементы на общий множитель.
4. Во избежание дробных чисел в ручных вычислениях удобно также в качестве ведущего элемента выбирать элемент, равный единице. Если такого элелзента нег, то, как правило, его мох<но получить, используя элементарные преобразования строк и перестановки столбцов. Теорема 3.2. Произвольна ненулевая .матрица конечным числом элементарных преобразований только строк (только столбцов) и пе- 33. Элементарные преобразования матриц рестоновками столбцов ~строк) приводится к верхней (нижне~Ц трапециевидной форме. Для приведения матрицы к верхней трапециевидной форме нужно сначала привести ее к верхнему ступенчатому виду, а затем переставить столбцы так, чтобы ведущие элементы оказались на главной диагонали.
П ример 3.2. Приведем матрицу к верхней трапециевидной форме. Для этого приведем век верхней ступен- чатой форме (см. пример 3.1): и в получившейся матрице переставим местами столбцы так, чтобы 3-й стол- бец оказался на месте 2-го, а 4-й — на месте 3-го: Квадратные матрицы Р„Рн, Ьи следующего вида 11 . 1 1 2-4271 А [ 3 — 2 5 4 2 О О 1 2 3 О О О 7 17 О О О О О ~+!!! 1 О . 1 1 . О Глава 1. Матрицы ЗАДАЧИ 3.1. Привести матрипу к верхней ступенчатой форме, используя элементарные преобразования ее строк: 3 — 3 3 5 10 2 — 2 3 3 8 0 0 3 — 1 4 1 — 1 †4 †2 1 0 0 — 9 2 3 4 — 2 †0 2 4 0 8 3 2 1 — 1 — 14 б) 0 0 0 1 2 б 1 — 2 2 0 в) 1 2 3 7 4 1 3.2.
Указа 0 1 — 1 2 3 — 9 1 2 — 5 0 1 1 1 1 0 ания Т 1 3 5 — 1 1 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 д) г) ть матрицу элементарного прео разов такую, что матрица ТА получается из матрицы А: а) перестановкой двух первых строк А; б) прибавлением 1-ой строки А к ее 3-ей строке; в) вычитанием из 2-ой строки А ее удвоенной 1-ой строки. 3.3.
Указать матрицу элементарного преобразования Т такую, что матрица АТ получается из матрицы А: а) перестановкой первого и последнего столбцов А; б) прибавлением к 1-ому столбцу А утроенного 3-его столбца; в) удвоением 2-ого столбца А. 3.4. Пусть А и В таковы,что определено произведение АВ. Доказать, что: а) при перестановке двух строк матрицы А соответствующие строки в АВ также переставляются; б) если 1с-ю строку матрицы А умножить на число сг, то й-я строка АВ также умножится на о; в которых все диагональные элементы, кроме указанных, равны единице, а все внеднагонэльные элементы, кроме указанных, равны нулю, называютсн матрицами элементарных преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
