Том 1 (1113039), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Матрицы 2.9. Показать, что: а) для выполнимости клеточного умножения двух блочных квадратных матриц достаточно, чтобы диагональные клетки были квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток были равны между собой. Является ли это условие необходимым? б) для выполнимости клеточного умножения блочной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные клетки были квадратными. 2.10. Доказать, что множество верхних (нижних) квазитреугольных матриц одинакового порядка и одинаковой клеточной структуры замкнуто относительно умножения. 2.11. Пусть А и  — квазидиагональные матрицы одного порядка и одинаковой клеточной структуры. Доказать, что: а) произведение АВ есть квазидиагональная матрица, диагональные клетки которой равны произведениям А,,В„одноименных диагональных клеток сомножителей; б) матрицы А и В перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их одноименные диагональные клетки.
2.12. Пусть А Е К "" и В Е Кв»"' — произвольные матрицы. Доказать тождество АВ О 1 А 1~ А О О в котором 1 и 1„— единичные матрицы порядка т и и соответственно, а символом О обозначены нулевые матрицы подходящих размеров. 2.13. Пусть А — произвольная квадратная матрица. Доказать, что симметрическая матрица, перестановочная с матрицей А, перестановочна также с матрицей Ат. Верно ли обратное: если некоторая матрица перестановочна и с А, и с А~, то она обязательно симметрическая? 2.14. Доказать, что квадратная матрица А порядка п кососимметрическая тогда и только тогда, когда соотношение х гАх = 0 выполнено для любого вектор-столбца я е К""~.
2.15. Пусть матрицы А и В симметрические. Доказать, что: а) А+ В и оА для любого о е К вЂ” симметрическая матрица; б) А~ — симметрическая матрица при любом й е Я, в) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 25 ~2.
Матрицы специального вида 2.16. Доказать, что если А и  — симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица С = (АВ)"А является симметрической для любого и Е И. 2.17. Показать, что для любой матрицы А матрица ААт является симметрической. 2.18. Пусть матрицы А и В кососимметрические. Доказать, что: а) А + В и оА для любого о е И вЂ” кососимметрическая матрица; б) А" — кососимметрическая матрица при нечетном й и симметричная матрица при четном а; в) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны.
г) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения АВ. 2.19. Доказать, что произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. 2.20. а) Пусть А — произвольная симметрическая матрица. Доказать, что матрица А+Ат симметрическая, а матрица А — Ат кососимметрическая.
б) Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли такое разложение? 2.21. Разложить матрицу А в сумму симметрической и косо- симметрической матриц: 1 — 1 2 1 3 — 2; в)А= — 2 2 0 а) А= 3 10 ' б) 2 О 2 О 1 — 2 О 0 — 1 2.22. Доказать, что если матрицы А и В обе симметрические или кососимметрические, то а) их коммутатор ~А, В] — кососимметрическая матрица, б) их произведение Йордана А* — симметрическая матрица. 2.23. Доказать, что всякая кососимметрическая матрица является коммутатором диагональной и симметрической матрицы. 2.24. а) Пусть А — симметрическая матрица.
Доказать, что величина ~г Ат неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когда матрица А нулевая. Глава 1. Матрицы б) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для кососимметрических матриц. 2.25. Пусть А и  — симметрические матрицы одного порядка. Доказать, что выполнено неравенство сг(АВ)з ( 1г(АзВз), которое переходит в равенство тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 2.26. Доказать, что если симметрическая матрица А нильпотентна с индексом нильпотентности, равным двум, то А — нулевая.
Верно ли данное утверждение для кососимметрической матрицы А? 2.27. Найти: а) все ортогональные матрицы второго порядка; б) все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы второго порядка. 2.28. Пусть вектор-столбец т удовлетворяет условию ттх = 1. Доказать, что матрица У = 1 — 2ххт является одновременно симметрической и ортогональной. 2.29. Доказать, что множество ортогональных матриц одного порядка замкнуто относительно операции умножения матриц.
2.30. Показать, что матрица А = (аб) Е К""" ортогональна тогда и только тогда, когда для ее строк (столбцов) имеет место соотношение в / и Е пьа,ь=д, ~~ ~аыаь =4 ь=1 ь=1 2.31. Доказать, что вещественная треугольная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она диагональна, причем элементы ее главной диагонали равны 1 или — 1. / А1 2.32. Доказать, что блочная матрица А ~, в которой матрица А и единичная матрица 1 — квадратные одного порядка, ортогонвльна в том и только в том случае, когда А = О.
2.33. Выяснить, являются ли следующие матрицы нильпотентными и, если да, то найти их индексы нильпотентности Й: а) 2 б, б) 4 4, в) 003; г) 000 000 101 82. Матрицы специального вида 2 100 -4 -2 0 О 0 000 0 001 0 0 0 5 0 — б — 12 0 0 3 б 0 0 0 0 О ж) 1 А1 2.40. Доказать, что блочная матрица 1 ~, в которой матрица А и единичная матрица 1 — квадратные одного порядка, нильпотентна в том и только в том случае, когда нильпотентна матрица 1+ Аз.
2.41.~ Найти все периодические матрицы второго порядка с периодом, равным двум. 2.42. Доказать, что произведение двух перестановочных периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не перестановочны? 2.43. Доказать, что если А"' + А~ ' +... + А + 1 = О для некоторого т е 1Ч, то матрица А периодическая. 1 А1 2.44. Доказать, что блочная матрица 1 ~, в которой 'См. также задачи 8.1, 16.56. См. также задачи 9.61, 16.5?. 2. 34. Доказать, что сумма и произведение двух перестановочных нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не перестановочны? 2.35.1 Найти все нильпотентные матрицы второго порядка с индексом нильпотентности 2. 2.36. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда ее главная диагональ нулевая.
2.37. Квадратная матрица А называется строго верхней (нижней) треугольной, если а;. = 0 при 1 ) 1 (1 < 1). Доказать, что; а) для произведения В двух строго треугольных матриц одного вида выполнено условие б„= 0 при 1 >,? — 1 (1 (,? + 1); б) строго треугольная матрица А нильпотентна, причем ее индекс нильпотентности не превосходит порядка этой матрицы.
2.38. Доказать, что коммутатор треугольных матриц одного вида является нильпотентной матрицей. 2.39. Показать, что квазитреугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентны все ее клетки на главной клеточной диагонали. Глава 1. Матрицы 28 матрица А и единичная матрица 1 — квадратные одного порядка, периодическая в том и только в том случае, когда матрица 1+А 2 является периодической. 2.45.
Экспонентой матрицы А (по аналогии с экспонентой числа) называют сумму ряда СО ехр А = 1+ ~ — А". И ь=1 (2.1) — 4 — 2, б)А= 2.47. Д оказать, что если А — диагональная матрица, то ехр А также диагональна, причем если А = йа8(оы..., а„1, то ехр А = йаб~е ',..., е "1. 0 11 2.48. Доказать, что если А = ~, то для любого а Е К ехр(аА) = сова 1+япа А. 2.49.
Доказать, что если А — периодическая матрица с периодом 2, то для любого а е К ехр(оА) = сЬо 1+зло А. 2.50. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то ехр(А + В) = ехр А ехр В. 2.51. Квадратная матрица А с неотрицательными элементами называется стохастической, если все ее строчные суммы равны 1. Если же при этом еще и каждая столбцовая сумма также равна 1, то матрица называется деамсды сглохастической.
Доказать, что: а) произведение стохастических матриц является стохастической матрицей; Сходимость ряда в (2.1) понимается как сходимость рядов, получающихся при вычислении ках~дого элемента матрицы — суммы ряда в правой части. а) Пользуясь признаком сравнения, доказать абсолютную сходимость ряда (2.1) для любой квадратной матрицы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
