Том 1 (1113039), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти е',Ае, если А = (а; ) е К "", а е', и е — единичные строка и столбец подходящих размеров. 1.14. Мапгричной единицей Е, размера т х и называется матрица, у которой элемент в позиции (г, г) равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Для произвольной матрицы А и матричной единицы Е,б подходящего размера вычислить: а) АЕеб б) Е, А. 1.15. Найти ДА): а) Д~х) = хг — 2х+ 2, А = б) ~(х) хг 5х 4 А 1.10.
Известно, что А = и А 4 — — . Найти ~6 2) произведение А ~ 6 Глава 1. Матрицы 1.16. Доказать, что каждая квадратная матрица второго по- ~а 61 рядка А = ~ ~ удовлетворяет уравнению ~ с х — (а+ а1)х+ (ай — бс) = О. 1.17. Доказать, что если А — диагональная матрица, то матрица ДА) также диагональная, каков бы ни был многочлен Дх). 1.18. Вычислить: а) ; б) — 2 — 4 0 1.19.
Вычислить а),; б) д) 1 О,п>2; е) ) О Л ' ) О 1 спаса — в1па 1 в1па спаса ~ 1.20. Вычислить степени квадратных матриц и-го порядка: а) 0 0 0 ... 1 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 г) 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0 га-1 о ... о л 0 ... Л2 О в) Л„... 0 0 110...00 0 1 1 ... 0 0 001...00 010...0 0 001...0 0 д) е) 000...0 1 100...0 0 000...11 000...01 1.21. Пусть х, у е К" га — вектор-столбцы. Доказать, что мат рица А = хут обладает следующим свойством; найдется число Л е К такое, что А" = Л" 1А, Жс Е М.
л о ... о о л ... о 0 0 ... Л„ г — а ~ 1 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 б) 0 0 1 ... 1 Я. Операции над матрицами 17 1.22. Найти коммутатор матриц А и В, если: — 3 — 1 2 — 3 2 — 4 3 — 5 1 ,в= [ ,в-[ 1.23. Доказать, что каждое из следующих равенств выполнено в том и только в том случае, когда матрицы А и В переста- новочны; а) (А+ В)А = А~+ 2АВ+ В~.
б) А~ — В~ = (А+ В)(А — В). 1.24. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то: а) 4з+ Вз (4+ ВИАз 4В+ Вз). б) (А+ В) А +С,',А22-~В+ СпА~ — ~В + + В 1.25. Найти п-ю степень матрицы А, если матрица А равна: 6) ~ )~ — 4 — 5 10 11 Аа Азв 1.26. В ычислить матрицу + + + +, если матрица А равна: ~ — 2 — 21' )[ а) 2 2,' б) 1.27. Найти все если: )А=~ ~ — 2 — 21 матрицы, перестановочные с матрицей А, б)А= 2 1, в)А= 0100 0010 0001 г) А= 0000 ) А — квадратна е я матрица и-го порядка, все элементы которой равны единице. 1.28. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу 1А' = 222а81Лц Лз,..., Л„) равносильно умноже- )А= [ б) А= 1010'с2 — 1о — 1'23 с2 — 1 22 ' — 10 — 9 д) А — матричная единица В2.
Е 222" 22; Глава 1. Матрицы нию строк А соответственно на Лы Лз,..., Л„, умножение же А на Р справа равносильно аналогичному изменению столбцов. 1.29. Найти матрицу А, если И,'И 2 5 А= 1.30. Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна. 1.31. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми диагональными матрицами тогда и только тогда, когда она сама является диагональной. 1.32.
Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка тогда и только тогда, когда она является скалярной. 1.33. Доказать, что если матрица А перестановочна с матрицей В, то она перестановочна и с матрицей В~. Верно ли обратное? 1.34. Пусть А — квадратная матрица и 1(х) и д(х) — произвольные многочлены. Показать, что матрицы 1(А) и д(А) перестановочны.
1.35. Доказать, что след матрицы обладает следующими свойствами: а) сг(А+ В) = сгА+ сгВ; б) сг(аА) = асгА; в) сг(Ат) = сгА; г) сг(АВ) = сг(ВА), если произведения АВ, ВА определены. 1.36. Доказать, что для любой матрицы величина Сг(АтА) неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когда матрица А нулевая. 1.36.1. Существуют ли матрицы А и В, для которых равенство АХВ = Х~ выполняется при любой матрице Х б К~""? 1.36.2. Можно ли свести операцию транспонирования матрицы общего вида к операциям умножения ее слева и справа на какие-либо наперед заданные матрицы? 1.37.
Доказать, что для любых квадратных матриц А и В одинакового размера их коммутатор [А, В] имеет нулевой след. 1.38. Доказать, что равенство [А, В] = 1 не выполнено ни для каких вещественных матриц А и В. 19 з1. Операции над матрицами и [аб) Е К'""" величина т, = ~ си 1=1 т суммой, а величина с = ~ си — ее ~=1 1.39. Для матрицы А = называется ее г-й стпрочной ~-й столбцовой суммой. а) Показать, что т~ т2 [ 1 1 ...
1 ] А = [ с~ с2 ... св ] А а) (А, В! = — (В,А]; б) [оА, В] = о[А, В], 1а Е К; в) [А+ В, С] = [А, С]+ [В, С]; г) [А,1] = О; д) [А,ВС] = [А,В]С+В[А,С]; е) [(А,В])г = — [Ат,Вт]; ж) [[А, В],С]+ [[В,С],А]+ [[С, А], В] = О [тождество Якоби), выполненными для любых квадратных матриц А, В, С и еди- ничной матрицы 1 одного порядка, б) Пусть все строчные суммы в матрице А и в матрице В одинаковы и равны соответственно а и В.
Считая, что произведение АВ определено, доказать, что все строчные суммы в АВ также одинаковы и равны ар'. в) Сформулировать и доказать столбцовый вариант утверждения пункта "б". 1.40. Доказать, что если квадратные матрицы А и В порядка и таковы, что для любого вектор-столбца С Е К""~ выполнено соотношение Ас = Вс, то А = В. 1.41.
Доказать, что если квадратные матрицы А и В порядка и таковы, что для любых вектор-столбцов С, и Е К""" выполнено соотношение с,~Ау = С~ Ви, то А = В. 1.42. Найти коммутатор матричных единиц Е, и Еы и показать, что он нулевой тогда и только тогда, когда либо г = у = 1с = 1, либо [1 — 1с) [1 — 1) ф О. 1.43. Доказать, что диагональная матрица с нулевым следом является линейной комбинацией коммутаторов матричных единиц. 1.44. Показать, что коммутатор обладает следующими свойствами: Глава 1, Матрицы 20 1.45. Доказать,что равенство [[А, В],С] = [А, [В,С)] выполнено тогда и только тогда, когда матрицы [А, С] и В пере- становочны.
1.46. Доказать, что для любых матриц А, В, С второго по- рядка выполнено соотношение [[[А, В]) г, С] = О. 1.47. Доказать, что любая матрица с нулевым следом явля- ется суммой коммутаторов матриц с нулевым следом. 1.48. Доказать, что для любой матрицы А с нулевой глав- ной диагональю найдутся матрица Х и диагональная матрица Р такая, что [Х, Р) = А. 1.49. Произведениелл Йордана А в В квадратных матриц А и В одного порядка называется матрица 1[АВ + ВА). Показать, что произведение Иордана обладает следующими свойствами: а) А*В = В в А; б) [сгА) в В = сгА * В; в) [А+В) е С= А*С+В*С; г) А*А = Аг; д) А*1=А; В)т Ат „Вт, ж) [Аг в В) * А = Аг * [В* А), выполненными для любых квадратных матриц А, В, С и еди- ничной матрицы 1 одного порядка.
1.50. Доказать, что [А * В) * С = А в [В в С) тогда и только тогда, когда матрицы [А, С] и В перестановочны. 1.51. Доказать, что каждое из следующих равенств выпол- нено в том и только в том случае, когда матрицы [А, В) н А — В перестановочны: а) [А + В)з Аз + ЗАг е В + ЗА в Вг + Вз. б) Аз+ Вз [А+ В) „[4г А, В+ Вг) 92. Матрицы специального вида КааДРатиал матРиЦа А = 1а,г) Е и""" иазыааетсл веРхней (пуавой) треугольной, если а„= О при г ) у, и нижней (левой1 треугольной, если а,г = О пРи г ( 1. Например, матрицы О О 1, О 1 О, О О О 21 22. Матрицы специального вида — верхние треугольные, а матрицы ПЪ1 ЕЪ1 ЕЪ1 — нижние треугольные. Матрица А = (ап) й /й "" называется верхней (правой) ступенчатой, если она обладает следующими свойствами: 1) если л-н строка нулевая, то (л+ 1)-я строка также нулевая; 2) если первые ненулевые элементы л-й и (л -/- 1)-й строк расположены в столбцах с номерами /с, и /с,.лл, то /с, < й,~.л.
Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой) ступенчатой матрицы. Например, матрицы верхние ступенчатые, а ллатр ΠΠΠΠ— нижние ступенчатые. Очевидно, не всяквл треугольная матрица имеет ступенчатую форму Например, треугольная матрица О О О 1 не является ступенчатои. Ступенчатая матрица, у которой к, = л, называется трапециевидной Например, матрицы О 1 2 3, О 1 Π— верхние трапециевидные, а матрицы 1 2 О О, О 1 Π— нижние трапециевидные.
Матрица А называется — самллегпрллческой, если А = А; т — кососимметричесхой если А = -А; т — орпювонольной, если А А = АА = 1; — нормальной, если АтА = ААт; — периодической, если при некоторолл /с б /л/ выполнено А" = ) (число /с называется периодом ллатрицы А); 22 Глава 1. Матрицы — нильпотентиой, если при некотором л е )»( выполнено А" = О (наи- меньшее из таких чисел Й называется индексом нильпотентности). Будем говорить, что некоторый класс М матриц замкнут о»лиосительно кахой-либо операции, если результат прил»енения этой операции к произвольна»л» матрицам из М снова принадлежит классу М. Разобьем матрицу А = (а„) Е й "" системой горизонтальных и вертикальных линий на клетки (блоки).
Кле»ночной (блочной1 матрицей называется матрица, элементами которой служат эти клетки. Общий вид клеточной матрицы: А= где А,, — клетка, расположенная в»-й клеточной строке и в 1-м клеточном столбце. Квадратная клеточная матрица А = (А„) с квадратными клетками на главной диагонали называется квази»Ь»агонольной, если А,» = О при » ф 1, и хеазитреугсльной, если Ао = О при» > 1 (или» ( 1). Например, матрицы в=[ — соответственно квазитреугольная и квазидиагональная матрицы второго порядка. 3 А Д А к1 И 2.1. Показать, что множество всех верхних (нижних) треугольных матриц порядка и замкнуто относительно операций сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц.
2.2. Найти количество операций умножения, необходимых для вычисления произведения двух треугольных матриц порядка и одного вида. 2.3. Пусть А = (а,у) — треугольная матрица и-го порядка и »с Е (Ч. Найти йг А". 2.4. Доказать, что для любой треугольной матрицы А с положительными диагональными элементами найдется треугольная матрица В того же вида с положительными диагональными элементами такая, что В~ = А. 2.5. Доказать, что вещественная треугольная матрица, перестановочная со своей транспонированной, является диагональ- г2. Матрицы специального вида 23 Асс Асг Аш А2г Ам Аг, в, в ...
в, В21 В22 ... Вгг Ар с Арг ... Ар, В.с Всг ... В„ причем число столбцов блока Асс равно числу строк блока Вс, при любых с',т,~, то произведению АВ соответствует блочная матрица С = (Сс ) с элементами з Ссс = ~ АссВсг. с=с 2.8. Применяя описанное в предыдущей задаче правило умножения блочных матриц, вычислить й— '[4— б) [ — 1 — 1 — 2 — 1 0 0 100 011 001 — 2 в)012 110 1;г)202 — 110 ной.
2.6. Квадратная матрица А порядка п.называется ленпсочной, если для некоторого числа т (меньшего и — 1) все элементы а; с индексами, удовлетворяющими условию ~с — Я ) т, равны нулю. Число 2т+ 1 называется шириной ленты. Найти ширину ленты произведения ленточных матриц, если для сомножителей эта ширина равна 2псс + 1, 2тг + 1 соответственно и тс + тг < и — 2. 2.7. Показать, что операции сложения, умножения на число и умножения блочных матриц совершаются по тем же правилам, что и умножение обычных числовых матриц: а) если блочные матрицы А = (Ас ) и В = (Вс ) имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, то сумме матриц А и В отвечает блочная матрица С = (См) с элементами СВ = АО + Вб', б) произведению ссА отвечает блочная матрица С = (Сс ) с элементами С;у = оАО; в) сели А = (Ас ) и В = (Вс ) — две блочные матРицы, длЯ которых определено произведение АВ,и 24 Глава 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
