Том 1 (1113039), страница 73
Текст из файла (страница 73)
а Ь АВ1АС1 4- АС)АВ) (а! )Ь1 1АВ)+)АС) 13.19. АО = Ь+ с, ВО = — Ь+ с. а+Ьд-с а+Ь+с ' а+Ь+с а+Ь+с Указание. Воспользоваться тем же приемолс, что и в задаче 13.12, и поЬ+с казать, что если АО = ЛАЕ, то Л = а+Ь+с 13.20. Указание. Пусть (ССгР) = Л. Выразить вектор АзВз через векторы АВ и АС. 13.21. Указание.
Положить ААз = а, АВ = Ь, А4Вз = с и, пользуясь условиями, показать, что Зх б К, что: а) ВСз = хСВП б) АзВз = хА4Со 1322. а) о+6=1,аД>0;б) а+В< 1,аД>0;в)либо а+В> 1, либо а < О, либо В < О. Указание. Воспользоваться теорелюй 13.7. 13.23. а) а+ В+ 7 = 1, а,Д,7 > О; б) о+ В+ 7 < 1, о, Д,Т > 0; в) либо а + В + 7 > 1, либо о < О, либо В < О, либо 7 < О. 13.24. А'В' = р, А'Р' = сз, А'С' = р+ 41, А'В = р — г, А'Р = о — г, А'С = р+ 41 — г.
13.26. ВС = с — Ь, СР = 41 — с, РВ = Ь вЂ” с(, РМ = — 41 + ( Ь+ с)/2, АО = (Ь+ с+ 6)/3. 13.26. МЬ7 = ( Ь+ с — а)/2, РО. = ( с+ а — Ь)/2, ЙЯ = ( а+ Ь вЂ” с)/2. 13.27. ЕР= (2ОВ+ 2ОС вЂ” ОА)/6. 13.26. гз + гз — гз. 13.29. г = (гз + гз+ гз)/3. 13.30. г = (гз + гз)/2. гз + Лгз „Лгз — гз 13.31. г4 = гз + Л(гз — гз), г 1+Л ' Л вЂ” 1 , г 13.32. гс = гв+го — гд, гв' — — гв- гд+гд, гс' = ге+ го+ гд — 2гд, го = го — гд + гд . 1333.
г = (гз + гз+ гз)/3. 13331. (гз + гз+ гз+ г4)/4. 13.34. (САВ) = — —. 1 1+Л 15 — 4271 Ответы и указания к 915 410 13.35. (Р Кф =, если и ф д. (1 -'; и)(л — Л) (1+ ЛН вЂ” л) ' 13.35.1. (АВЯ) = Л+и 42ЛР , если Л+ ц ф — 2. 24-Л+д 13.36. Указание. Показать, что: 1) КА = ЙМ; 2) АВ = ВС. 13.37. М вЂ” точка, в которой пересекаются семь прямых: три прямые, проходящие через середины противоположных ребер, н четыре прялзые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней. 13.38.
а1ва: з1пд: в!пу. 13.39. а) з1п 2А '. зш 2В: зш 2С; 6) соз(А/2): соэ(В/2): соз(С/2); в) в) и А; эш В; гйп С. 13.40. Если все углы треугольника меньше 2х/3, то точка М существует н ВМС = СМА = А МВ = 2л/3. Если один из углов треугольника АВС больше 2я/З,то такой точки нет. 13.41. ММ' = (АА'+ ВВ' -~- СС')/3. — ~ оз — ~ Ьз 13.42. СН = з зСА+ з зСВ. Указание. Воспользоваться аз ~- Ьз аз 4- Ьз подобием треугольников АВС, САН н СВН.
агз т Ьгз+ сгз 13.43. г = . Указание. Применить теорему из задачи а+Ь+с 13.19. гзсс8В+ гзсс8С 13.44. г = сзбВ+ сз8С 13.45. У к аз а н не. Ввести радиус-векторы вершин тетраздра. 13.46. Указание. Ввести радиус-векторы гм гз,..., г„точек Ам Аз, ..., А„н рассмотреть точку М с радиус-вектором (гз+ ге+... + г„)/п. 14.1.
1. Да, если прямая проходит через точку О. 2. Да. 3,4,5. Нет. 14.2. а,б) Нет. в) Да. 14.4. Нет, так как не выполнена аксиома 7. 14.5. 1а. Да. 16. Нет. 2а,26,3. Да. 14.6. 1,2,3. Да. 4. Нет. 14.7. 1а. Да. 1б. Нет. 1а,1г. Да. 2,3. Нет. 4. Да. 14.8. 1. Нет. 2а,2в,2д,2е,2ж. Да. 26,2г. Нет. 3. Нет. 14.9. 1,2,3,4,7,12,13. Да. 5,6,8,9,10,11.
Нет. 14.10. Не доказано, что для любого а Е г' нацлутся Ь Е г' и а Е )й такие, что а = аЬ. 14.11. Достаточно ввести умножение на число по правилу: па = В, Ча Е У, а Е К. 14.12. Пользуясь только дистрибутивностью и существованием противоположного элемента, доказать, что Ох = В Чх Е 1'. Вывести отсюда, что (-1)х = — х. Наконец, используя ассоциативность сложения, доказать, что х + у = у -Ь х. 315 15 5. Указ аз и е. Показать, что если два вектора линейно выражаются через предыдущие, то векторы аы..., аь должны быть линейно зависимы.
15.8. Указание. Использовать результаты задач 15.6 и 15.7. Ответы и указания к 816 15.9. Указание. Составить линейные комбинации этих векторов с коэффициентами 7, 6 и о. 15.10. Указание. Воспользоваться утверждением задачи 15.7. 15.11. а,б) Да. в) Нет. Указание. Использовать утверждение задачи 15.7.
15.12. а) При Л ~ х1; б) при Л ~ ( — 1)". Указание. Использовать утверждением задачи 15.7. 15.13. Нет. 15.14. Да. 15.15. Нет. 15.16. Нет. 15.17. Да. 15.18. Да, только если е = О. 15.19. Да. 15.20. Нет. 15.21. Нет, 15.22. Нет. 15.23. У к аз а н не. Предположить, что существует нетривиальная линейная комбинация: агхг +... + а,х, = д, и выбрать г так, чтобы )а,) = шах1<ь<, ~аь), Далее рассмотреть ттю компоненту левой части этой линейной комбинации.
15.25. Указание. Использовать результат задачи 15.6. 15.26. 51~ — 51~ — 4г+6 в обоих случаях. Система линейно зависима. 15.27. Например, а(51г -Ь уг — 4гг) + (1 — а)(Д + 97г — 474), а Е (й произвольно. 15.28. Нет. 15.31. Указание. Использовать свойство линейности кронекерова произведения (задача 2.52а,б) и критерий равенства кронекерова произведения нулю (задача 2,55а). 15.32. Указание. Пусть в линейной комбинации пс7+ агА+ агА + ...
+ аьА" = О коэффициент а, — ненулевой с минимальным номером. Тогда требуемое соотношение для А ' получится, если обе части линейной комбинации умножить на А ' 15.33. Указание. В случаях в),г),д) два раза продифференцировать и применить индукцию. В случаях е),ж) использовать определитель Вандермонда. 15.34. Указание. Использовать определитель Вандермонда, 15.35. У к аз а н и е. Достаточность следует из свойств определителя.
Необходимостгк если 7"м..., 7" линейно независимы, то найдется точка аг 7',(аг) такая, что уг(аг) ~ О; проверить, что система 7, — ' Д, г = 2,п, линейно г'г( ) независима и завершить доказательство индукцией по п. 15.36. У к аз а н и е. Продифференцировать и — 1 рэз равенство аг(х) + ... + а 7" (х) = О. Обратное утверждение неверно. Для проверки этого факта, например, при п = 2 достаточно рассмотреть функции ( х~,х)0, Г О,х>0, 7'(х) ='( О '*<О "7'(*) ='( *' *<О. 16.1.
У к аз а н и е. Разложить любой минор (г Ч- 2)-го порядка по строке. 16.2. Указание. Рассмотреть два разложения произвольного минора (г + 1)-го порядка по двум различным строкам. 16.3. Указание. Рассмотреть разложения произвольного минора (г+ 1)-го порядка по каждой из его т + 1 строк. 16.4. 1. 16.5. 4. 16.6. 3. Указание. Применить результат задачи 15.23. 16.7. 3.
16.8. 4. 16.9. 3. 412 Ответы и указания к Цб 16.10. При Л = 0 ранг равен 2, при Л ~ 0 ранг равен 3. 16.11. При Л = 3 ранг равен 2, при Л ~ 3 ранг равен 3. 16.12. При Л = 3 ранг равен 2, при Л ~ 3 ранг равен 3. 16.13. При Л = 0 ранг равен 1, при Л ~ 0 ранг равен 4. 16.14. При Л = О, Л = 3 ранг равен 1, при остальных Л ранг равен 2. 16.15. При Л = 1 ранг равен 1, при Л = -3 ранг равен 3, при остальных Л ранг равен 4. 16.16. У к аз ан и е. Расслютреть минор к-го порядка, стоящий в первых и столбцах. 16.17.
Указание. Показать, что ранг матрицы, составленной из этих строк (столбцов) равен )с. 16.18. У к аз а н не. Воспользоваться предыдущей задачей. 16.19. У к аз ание. Показать, что любой столбец матрицы линейно выражается через столбцы, в которых расположен минор М . 16.20. Указание. Воспользоваться результатом задачи 15.23.
16.20.1. Нет. 16.23. У к аз а н не. Воспользоваться предыдущей задачей. 16.24. Либо не изменится, либо изменится на единицу. 16.25. Либо не излленится, либо изл~еннтся на единицу. 16.26. Ранг изменяется: а) не более, чем на единицу; б) не более, чем на Й. 16.2Т. Либо не изменится, либо изменится на единицу. Указание. Их всех строк, начиная со второй, вычесть первую и использовать задачу 16.25. 16.28.
Да, в обоих случаях. 16.31. 0 < г8 А < пнп(2(п — Л), п), причем оценка точная при и < 2Й. 16.32. 1 < гй А < 3, причем оценка точная при и > 3. 16 33. Указ ам не. В силу теоремы 16 10 А = РЕ)Я, где Р Я невырождены, а Р = сйай(1,..., 1, 0). Тогда гй(! — Р) = 1 и матрица РРЯ+ Р(1 — Р)Я невырождена. 16.34. Указание. Применить к матрице А метод Гаусса вычисления ранга. 16.35. Указание. Элементарными преобразованиями строк матрицы А привести матрицы Ап и Азз к верхней ступенчатой форме. 16.36.
Указание. Воспользоваться задачей 16 34 и равенством „~А В1=„~ "в В1. 16.3Т. Указание. Применить теорему о базисном ллиноре. 16.38. Указание. Пусть  — матрица, составленная из расслщтриваемых г линейно независимых строк, и М вЂ” рассматриваемый минор. Тогда гй М < гй В = г. С другой стороны, по теореме о базисном миноре столбцы В линейно выражаются через столбцы М, и потому гй В < га М. 16.39.
Указание. Рассмотреть базисные строки симметричной матрицы и использовать результат предыдущей задачи. 16.40. Указание. Воспользоваться указанием к задаче 16.39. 16.41. Указание. См. пример 5.5 из 35 и предыдущую задачу. 16.42. Указам не. Взять в качестве х базисный столбец матрицы А и воспользоваться теоремой о базисном миноре. 16.43. У к аз а и н е. Использовать представление, полученное в предыдущей задаче. 16.44. Указание. Использовать задачу 16.43. 16.45. Указание.
Составить матрицу В из базисных столбцов матрицы А и найти матрицу С с помощью теоремы о базисном миноре. Для Ответы и указания к 316 413 доказательства того, что гй С = т, применить теорему о ранге произведения матриц. 16.46. Указание, а) Использовать определитель задачи 7.121. б) По- казать, что среди главных миноров порядка и — 1 матрицы 1+ух найдется т ненулевой. 16.47. Указание. Воспользоваться задачами 16.42 и 16.46а. 16.48. Указание. Воспользоваться представлением из задачи 16.42 и определителем из задачи 7.121. 16.48.1.
Вообще говоря, нет. 16.49. Указание. В силу теоремы 16.10 А = Р1,О. (т = гб А) и В = В1,Т (э = гб В). Тогда АВ = Р1,С1,Т, где Р, С, Т невырождены, откуда гйАВ = гб 1,С1,. Матрица 1 С получается из невырожденной матрицы С заменой всех строк, кроме первых т, на нулевые, и поэтому гб 1,С = т. Матрица 1,С1, получается из 1 С заменой всех столбцов, кроме первых з, на нулевые, и в силу задачи 16.26 гб 1,С1, > т — (и — э). 16.50. Указание. Необходимость следует из теоремы 16.5. Достаточ- ность — следствие неравенства Сильвестра из задачи 16.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
