Том 1 (1113039), страница 74
Текст из файла (страница 74)
16.51. Указание. Так как А А — симметрическая матрица, то в си- лу задачи 16.39 ее ранг определяется лишь по ее главным минорам. Пусть главный минор и» расположен в некоторых )с столбцах матрицы А А. Обо- значим через В матрицу, состоящую из столбцов матрицы А с теми же но- мерами.
Тогда и» = В В и в силу утверждения задачи 16.50 минор М» отличен от нуля тогда и только тогда, когда гб В = )г, т.е, столбцы матрицы В линейно независимы. 16.52. Указание. Воспользоваться неравенством Сильвестра из за- дачи 16.49. 16.52.1. Указание. Показать, что если А вырождена, то существует ненулевая вырожденная матрица В, для которой АВ = О. 16.52.2. Указание. Показать, что если А — ненулевая вырожденная матрица, то существует ненулевая матрица В, для которой АВ = О и ВА ~ О, 16.53. Указание. Пусть порядок матриц А и В равен 2х+ 1. Тогда из задачи 16.52 следует, что гбА + гбВ < 2й + 1.
Поэтому либо гб А < lс, либо гб В < я. 16.54. Указание. Использовать результаты задач 16.36 и 16.52. 16.55. гб А = и, если )А~ Р' 0; гб А = 1, если гб А = и — 1; гб А = О, если гйА < и — 2. Указание. В случае, когда гбА = и — 1, воспользоваться результатом задачи 16.52. 16.56. А = хут, где столбцы х, у удовлетворяют соотношению х у = О. Указание. В силу результата задачи 16.49 ранг такой матрицы равен 0 или 1.
Далее использовать задачи 16.42 и 16.43. 16.57. А = х1 или А = хут х 1, где столбцы х, у удовлетворяют соот- ношению х у = ~2. У к а ванне. Пусть А ~ х!. Тогда в силу задачи 16,54 одна из матриц А — 1 илн А+ 1 имеет ранг 1. Пусть гй(А + 1) = 1.
Тогда в силу задачи 16.42 А + 1 = ху для некоторых столбцов х и у. Так как Аэ =1, тохту =2. 16.58. Указание. Пользуясь определением кронекерова произведе- ния и тем фактом, что в неквэдратной матрице либо строки, либо столбцы линейно зависимы, показать, что илн строки, или столбцы матрицы А Э В будут линейно зависимы. 16.59.
Указание. а) Используя тепрел~у 9 4, привести матрицу АЗ В элементарными преобразованиями только строк к квазидиагональной фор. Ответы и указания к 3) 7 414 ме, у которой все клетки на главной диагонали равны В. 5) Применить основной процесс, приводящий матрицу А к верхней ступенчатой форме, к клеточным строкам матрицы А бГ В (см.
задачу 3.25). 16.60. Указание. Использовать подходящие элементарные преобразования строк и столбцов блочной матрицы (см. задачу 3.25). 16.61. См. указание к предыдущей задаче. 16.62. Указание. Вычесть из второго клеточного столбца первый столбец, умноженный справа на матрицу А 'В, 16.63. Указание. Использовать элементарные преобразования блочных строк и столбцов (см. задачу 3.23). 16.64.
У к аз ан не. Использовать элементарные преобразования блочных строк и столбцов (см. задачу 3.23). 16.65. Указание. Воспользоваться теоремой 16.10, 817 17.4. Размерность равна 1. 17.5. Размерность равна 2. 17.6. Размерность равна 1. 17.7. Пространство бесконечиомерно. и п + 1 1Т.8. Размерность равна; 1) ( — 1 + 1; 2) ~ — ~, 2 ' 2 Га приО<х<а, 1Т.9.Указание.
1. Рассмотреть функции / (х) = (< < Г а — х, если 0 < х < а, 2. Рассмотреть функции вида / (х) = (О ' « — 1 ' 17.10. Нет, система линейно зависима. 17.11. Да. 17.12. Да. 17.13. Нет, их количество меньше п = 4. 17.14. У к аз а н не. Использовать результат задачи 15.25. 17.15. У к а з а н и е. а) Разложить этот вектор х по базису: х = а1еГ + ...+ а е„, и пусть а Г ~ О.
!1оказать, что вместо еГ в базис е можно включить вектор х. 5) Воспользоваться теоремой 17.1, 17.16. Указание. Применить теоремы 17.2 и 17.3. 17.17. Например, ем ет, еэ = (О, 1, 1,0), еэ = (О, 0,0, 1) и е', = ем ет = ет, еэ = (0,1,1,1), е~ = (0,0,0,2). 1Т.18. Например, двумя многочленами Г~ и Г~ — 1, ГО 0 11 ГО 0 01 ГО 0 01 17.19. НапРимеР,тремя матрицами [1 2 4~ [2 3 1~ [О 0 41 1Т 20. У к аз а н и е. Рассмотреть матрицы Ег + Ет т Ез, ЕГ + Ет + Еэ, Е1 + Ез + Ем Еэ + Еэ + Ех 1721.
2а+ ЗЬ вЂ” с = (-12,— 2), 1ба+5Ь вЂ” Ос = О. 1722. с =1а+1Ъ, с(=Оа — 2Ь. 1723. — 5 а + Ь вЂ” б с + д = О, 3 а — Ь вЂ” с — г) = (1, — Т, — 3), 1724. х=1а+1Ь+1с, у=Оа+2Ь+Ос, я=Оа+1Ь+1с. 17.25. При попарно различных а, В, у, 17.26. а) х+ у+ х = 0; б) х, у, х некомпланарны; в) 2х+ у — я = О. 1Т.2Т. ВО = (-1, Ц, СО = (-1/2, -1/2), КВ = (-1, 1/2). 17.28. АМ = (1/2, 0), АО = (1/3, 1/3), МО = ( — 1/6, 1/3). 1Т.29. АВ = (3/5, -2/5), ВС = (2/5, 2/5), СО = (-2/5, 3/5), ОА = (-3/5, -3/5). Ответы и указания к 81 7 17.30. а) АВ = ( — 1, 1, 0), ВС = (О, — 1,1), Ас, = ( — 1, 0,1); б) К1 ~-1/2, 1/2,0), Я = (-1/2, 1/2,0), СЛ = (1/2,,1/2, -1), МР = (1/2,0,0), КЯ = (-1/2,1/2,1/2); в) ОЯ = (1/3,1/3,1/3), КЯ = ( 1/6,1/3,1/3) 17.31.
а) ом = (, ); б) 0ггг = (, ). 1Т.З2. АС = (1/4,1), АМ = (1/5,4/5), Ао = (0,4/3), ЯМ = (1/5, -8/15). 17 33. А = ( — 1,2, — 1,1). 17 34. А = (1,1, — 1,1,1,1). 17.35. р(1) = (р(а), р'(а), —, р" (а) р"'(а) рыг(а) 17.36. (4,2, -3). 0 0 0 1 — 2 0 0 1 1 0 0 — 2 ,(а,...,бе)т = а(бг ...
бз)т. 17.37. С'„г = 1Т.38. Я = 17.39. Я = 17.40. Я = 17.41. а) Поменяются местами г-я и узя строки; б) поменяются местами г-й и 1-й столбцы; в) все строки, а затем все столбцы перепишутся в обратном порядке. 17.42. а) Я ', б) ЯЯ 17.43. а) Каждый вектор /, коллинеарен ег, г = 1,п; б) /, = ае„г = 1, и; в) каждый вектор /, линейно выражается через ег, ег,..., е,; г) каждый вектор /, линейно выражается через е„е,ь г,..., е . 17.44. Указание.
Воспользоваться определением базиса и теоремой 17.1. 17.45. Указание. Так как ег,ег,...,е линейно зависимы, то существует нетривиальная линейная комбинация бгег +... + В е = д. Пусть Вг ф О. Тогда, так как ег,...,е также линейно зависимы, то существует нетривиальная линейная комбинация угег + ... + у е = О, Пусть В = , Д и у = ~,, 7, отличныот нуля. Тогдалннейная комбинация у()ггег+ + В е ) — 8(згег + ..
+ 7 е„,) — искомая. 17.46. У к аз а н не. Пусть Я вЂ” матрица перехода от / к е. Так как она невырождена, то среди миноров Й-го порццка, стоящих к первых к столбцах, обязательно есть ненулевой. Номера строк, в которых он находится, и определяют требуемый набор векторов из базиса /. Чтобы убедиться в этом, достаточно составить матрицу перехода от / к вновь построенному базису.
17.47. Нет, не обязательно. Можно, например, взять векторы /г = ег— ег н /г = ег — ез — ег. Тогда /г т/г т ез = д. 17.48. Указание. Использовать зщгачу 15.31, 1 1 0 — 1 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 О 0 0 9 7 — 3 — 2 8 5 0 — 18 0 — 2 0 б 1 — 5 3/4 1/4 1/4 3/4 0 0 —, (6, бг, бз) = Ф6, бг, Сз)~ 1 -10 4 (ьг ьг гз г4) 12(51 сг сз сг) 0 — 3 1/2, (бг,бг,бз) = СР(бг,бг,бз) . Ответы и указания к 319 416 17.49. Указание. Использовать задачу 15.30. 318 18.1. а,б,в,д) Нет. г) Да. 18.2.
а,гд) Нег. 5) Да, только если прямая проходит через точку О. в) Да. 18.3. ( О), гм множества векторов, концы которых лежат на некоторой прямой или плоскости, проходящей через начало координат. 18.4. а,б,в,д,ж) Да. г,е) Нет. 18.5. а,б,вд,е) Да. г,ж,з) Нет.. 18.6. Да, в обоих случаях. 18.Т. Множество нз одного вектора; все пространство И.
18 7 1. Указ ам не. Пусть Чх», хг е Р и Л»а е Й: ах» + (1 — а)хз е Р. Покажем, что Р— линейное многообразие. Для этого достаточно показать, что: а) множество Ь = (у = х» — хг~х»,хг Е Р) является линейным подпространством; б) Р = х» + Ь, где х» — произвольный вектор из Р. В силу теоремы 18.1 для доказательства а)достаточно воспользоваться соотношениями; Ча б К, Л»х»,хг с Р: п(х» — хг) = (ах» + (1 — сз)хг) — хг, х» + хз хз + х» хг + хя »»х», хз, хз, хя с Р: (х» — хг) + (хз — хя) = ~2 2 2 ! 2 319 19.2.
х = — 2, у = — 3, г = 2. 19.4. х = 3, у = 4, г = 5. — Л вЂ” ТЛ+ Рй 19.5. При Л = — 2 система несовместна; при Л ~ — 2: х = Л+2 Л +ТЛ Л+2 ' 19.1. Система несовместна 193. х=2,у=-2,г=3, Для обоснования же б) отметил», что 2х» — хз 2хг — хз Ту Е х» + 1 ~ зхг,хз Е Р: у = х» + хг — хз = 2 + 2 Е Р. 18.7.2. Да, во всех случаях. 18.7.3. а,б,гд) Нет; в,е,ж) да.
Образует подпространство в пункте "е". 18.Т.4. Да во всех случаях; размерность равна 1 в пункте "в", равна 2 в пунктах "а,б,г,д,е", равна 3 в пункте "ж". 18.7.5. а,б,в,гд) Да; е,ж,з,и) нет. 18.7.6. а,б,е,ж,з) Да; в,г,д) нет. 18.8. Указание. Необходимость: учесть, что д Е Р. 18.9. Указание. Показать, что в этом случае хо Е Ь. 18.10. Указание. Если е»,...,ез — базис Ь и хс — вектор сдвига, то рассмотреть векторы хо, хе + е»,..., хе + ез. 18 11. Указание. Для множества векторов х»,хг,...,хяяг линейного многообразия рассмотреть векторы хз — х»,..., хь+з — х».
18.12. Указание. Если хо,х»,...,хь — заданная система векторов, то в качестве вектора сдвига искомого многообразия можно взять хо, а направляющим подпространством — множество всевозможных линейных комбинаций векторов х» — ха,, хь — хс, 18.13.Указание. Применить построение из решения задачи 18.12. 417 Ответы н указания к 320 19.6. При Л = -3 система несовместна; при Л = 3: х = 1 — у, у Е К; при Л+1 — 2 Л ~ х3: х = —, у =— Л+3' Л+3 19.7. а,б) Да, является.
Указание. Показать, что матрица, составленная из строк ам аг,..., а„, невырожцена. 19.8. Указание. Показать, что для определения с"(С) требуется решить систему с невырожденной матрицей. 19.10. С(С) = Сг — 5С+ 3. 19.11. 7(С) = 2Сг — 5Сг -С-7. 19.12. Указание. Показать, что матрица системы для нахождения коэффициентов многочлена С (С) треугольная.
19.13. Указание. Искать многочлен С(С) в виде С(С) = ос + а»(С— Сг) + йг(С вЂ” Сг) +... + о (С вЂ” С„) 19.14. Указание. Искать многочлен в виде ,С(С) = (С вЂ” Сг)выЕ,. Оа,(С вЂ” Сг) +(С вЂ” С»)м~ Е,,оа,(С вЂ” Сг)'. 19.15. Указание, Свести задачу к системе уравнений с квадратной невырожденной матрнцей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
