№ 14 (1109796), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

5).Поскольку скорость все времялежит в плоскости,Lперпендикулярной оси, иперпендикулярна радиусу-векторуK=mVr , то в этом случае v  v .r2Воспользовавшись формулой (11), найдемOlr1K=mVL  mvr .(15)Как известно, скорость vточки, движущейся поРис. 4окружности радиуса r , связана сее угловой скоростью соотношением v    r . Используя это соотношение, получимL  mr 2  J  ,(16)где величина J  mr 2 носит название момента инерции материальной точкиотносительно оси. Заметимчто и в этом случаеL  const , поскольку всевеличины, входящие вLформулы (15) и (16)K= m Vпостоянны.Если угловуюOrскорость, как это принято,считать вектором  ,направленным вдоль оси,положительное направлениекоторой определяется поРис. 5правилу правого буравчика(ручку буравчика нужновращать по направлению движения точки), то формуле (16) можно придатьвекторный видL  mr 2   J  .(17)8Таким образом, для материальной точки, движущейся по окружности спостоянной по величине скоростью, вектор L направлен в ту же сторону,что и  .

То же направление получается и по формуле (12).Уравнение моментов для материальной точкиПусть материальная точка массы m движется под действием силы F .Если выбрана прямоугольная декартова система координат, в которойописывается движение точки, то момент силы и момент импульса точкиотносительно оси Z выражаются формулами (8) и (13). Сделаем двазамечания: 1) под силой F следует подразумевать сумму всех сил,действующих на точку; 2) если желательно моменты вычислятьотносительно какой-либо определенной оси, то всегда можно выбратьсистему координат так, чтобы ось Z совпадала с данной осью.dLzНайдем уравнение, связывающее производнуюмомента импульсаdtточки по времени с моментом силы M z , аналогичное 2-му закону Ньютона,который связывает производную импульсаdKи силой F , действующейdtна нее.Продифференцируем выражение (13) по времени, учитывая, что отвремени могут зависеть координаты точки и проекции ее скорости.

Врезультате получитсяdvdLzdxdvdy. m y x  mv y m x y  mvxdtdtdtdtdtКак известно,dv ydxdydvx vy , ax и vx , ay ,dtdtdtdtгде a x и a y - проекции ускорения на оси координатные оси X и Y .Следовательно,dLz ma y x  max y .dtС другой стороны, согласно 2-му закону Ньютона, max  Fx иma y  Fy .

ПоэтомуdLz Fy x  Fx y .dtСравнив это выражение с формулой (8), находим искомое уравнениеdLz Mz.dt(18)9Поскольку, как уже говорилось, ось может быть выбрана произвольно, ана точку может действовать несколько сил, то уравнение справедливо и вболее общем виде в векторной формеdL M i .dti(19)Таким образом, производная по времени момента импульсаматериальной точки относительно некоторой оси равна суммемоментов всех сил (относительно той же оси) , действующих наэту точку. Уравнение (19) мы будем называть уравнением моментов дляматериальной точки.Возвращаясь к примерам, рассмотренным на стр.

7-8 , можно отметить,что в первом случае на точку не действуют никакие силы, так как онадвижется прямолинейно и равномерно. При этом импульс точки остаетсяпостоянным. Более того,2если силы равны нулю, торавен нулю момент сил.f 21Согласно уравнению (19)должна быть равна нулю иQпроизводная моментаимпульса. Следовательно,f 21f 12момент импульса такжедолжен оставатьсяDпостоянным в согласии сl r2выводом, сделанным ранее.21f 12Во втором случае, когда1Pr1точка движется поокружности, законOсохранения импульса невыполняется, так как наточку обязательно должна 12действовать сила,Sсообщающая ейРис. 6центростремительноеускорение.

Хотя скоростьточки и постоянна по величине, ее направление все время меняется.Следовательно, изменяется по направлению и импульс точки. С другойстороны, сила, действующая на точку, направлена по радиусу. Плечо этойсилы равно нулю. Поэтому равен нулю и момент силы. Таким образам, вданном случае в соответствии с уравнением (19) момент импульса точкиостается постоянным, как это было показано выше.10Уравнение моментов для системы материальных точекМоментом импульса L системы материальных точек относительнонекоторой оси мы будем называть сумму моментов импульсов относительнотой же оси всех точек, составляющих эту систему, т.е.

L   Li , где Li iмомент импульса точки с номером i .Покажем предварительно, что моменты внутренних сил взаимодействиядвух материальных точек равны и противоположны. Пусть 1 и 2 точкисистемы, взаимодействующие между собой ( см. рис. 6). Точка 1 действуетна точку 2 силой f 21 , а точка 2 на точку 1 – силой f 12 . Эти силы,согласно 3-му закону Ньютона, равны по величине и направлены по однойпрямой в противоположные стороны.

Найдем моменты 12 и 21 этих силотносительно оси QS . Для этого проведем плоскость P ,перпендикулярную оси QS (для простоты рисунка плоскость P мы провеличерез точку 1 ). Составляющие f 12 и f 21 этих сил, лежащие в плоскостиP , как легко видеть, также равны по величине и направлены по однойпрямой в противоположные стороны. Поэтому плечом l и для той и длядругой составляющей будет один и тот же перпендикуляр OD , проведенныйв плоскости P от оси к линии, по которой направлены f 12 и f 21(несмотря на то, что радиус-векторы r 1 и r 2 точек 1 и 2 не равны междусобой). Таким образом, момент 12  f12 l силы f 12 равен по величинемоменту 21  f 21l силы f 21 .

Так как f 12 и f 21 направленыпротивоположно, то моменты  12 и  21 вращают в разные стороны.Следовательно, 12   21 .Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. На точку сномером i со стороны точек 1, 2, 3,…, N действуют внутренние силы,которые создают относительно некоторой заданной оси моменты сил i1 , i 2 ,..., iN .

Кроме того, на эту же точку могут действовать и внешниесилы. Пусть M i - момент суммы этих сил относительно той же оси.Напишем для каждой точки системы уравнение моментов относительноданной оси:11d L1  12   13  ...   1 N  M 1 ,dtd L2  21   23  ...   2 N  M 2 ,dt................................................................................................................(20)d LN  N 1   N 2  ...   N ,N 1  M N .dtСложим теперь эти уравнения. При сложении левых частей получимd L1 d L 2d LN ddL. ...  ( L1  L 2  ...  L N ) dtdtdtdtdtТак как моменты внутренних сил попарно равны и противоположны по знаку12   21 ,13   31 ,...,1 N   N1и т.д., то в результате сложения в правой части останется лишь суммамоментов внешних сил, т.е.

 M i . Таким образом, мы получаем уравнениеiмоментов для системы материальных точек:dL M i ,dti(21)т.е. производная по времени момента импульса системыматериальных точек относительно некоторой оси равна суммемоментов внешних сил, действующих на систему (относительнотой же оси).Из этого уравнения вытекает закон сохранения момента импульсасистемы материальных точек: если все время равна нулю суммамоментов внешних сил, действующих на систему, относительнонекоторой оси, то момент импульса системы относительно тойже оси остается постоянным. В самом деле, если  M i  0 , тоidL 0 , и, следовательно, L  const .dtМомент импульса замкнутой системы относительно любой оси остаетсяпостоянным, так как в этом случае отсутствуют внешние силы.

Однако могут12быть случаи, когда момент импульса сохраняется относительно какой-либооси и для незамкнутой системы. В частности, это бывает, если все внешниесилы направлены вдоль этой оси, или линии, по которым направленывнешние силы, проходят через ось.Вращение твердого тела вокруг неподвижной осиТвердое тело является частным случаем системы материальных точек.Поэтому для него верны все полученные выше выводы.

Выведем уравнениемоментов в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.При вращении твердого тела с угловой скоростью  каждый элементтела с массой mi движется в плоскости, перпендикулярной оси, поокружности некоторого радиуса ri с той же угловой скоростью. Моментимпульса  Li каждого малого элемента тела можно подсчитать по формуле(17): L  mi ri 2   J i  ,(22)где J  mi ri 2 - момент инерции элемента относительно оси вращения.Момент импульса твердого тела найдем, сложив моменты импульсов всехего элементов:(23)L    Li    J i  J  ,iiгде J   J i   mi ri - момент инерции тела относительно оси вращения.2iiТак как при вращении тела вокруг оси его момент инерции J относительно этой оси остается постоянным, то из уравнения моментов (21)получим для твердого телаdL dd ( J )  J M i .dt dtdti(24)d  - угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела.

Такимdtобразом, уравнение моментов в случае вращения твердого тела имеет видЗдесьJ   M i ,гдеM(25)ii- момент внешних сил, действующих на тело, относительно осиiвращения.13d( J  )0 иdtiL  J   const . В этом случае твердое тело вращается с постоянной угловойскоростью.Найдем еще выражение для кинетической энергии твердого тела привращении его вокруг неподвижной оси. Каждый элемент тела в этом случаеимеет скорость vi    ri .

Его кинетическая энергияMЕслиi 0 , то из уравнения (24) следует, чтоmi vi 2 mi ri 2 2 J i 2W .222Складывая энергию всех элементов тела, получимJ i 2  2W   Wi   J i .22 iiiТак как  J i  J - момент инерции тела относительно оси вращения, тоiокончательно получимJ 2W.2(26)Лаб. работа №14ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СНАРЯДА ПРИ ПОМОЩИБАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКАЦель работы. Измерение скорости «снаряда» (металлического кольца) спомощью крутильного баллистического маятника.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы