Неделько ч2 (1106086), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Итак, используя теорему Гаусса как общую аксиому для моделей заряженных тел, получено частное следствие: формула для напряжённости электрического поля однородно заряженной плоскости. Это следствие можно использовать при решении задач, в которых рассматривают заряженные плоскости в конкретных условиях.

Рассмотрим пример. Найти напряжённость электрического поля двух параллельных однородно заряженных плоскостей, у которых поверхностные плотности зарядов и одинаковы по величине и противоположны по знаку, т.е. (рис. 55). Используя принцип суперпозиций для напряжённости, имеем: . Тогда в области I между пластинами , а в областях II и III ‑ . Такая конструкция может служить накопителем энергии электрического поля. Действительно, можно показать, что в каждой единице объёма области I содержится энергия электрического поля . Эту величину называют объёмной плотностью энергии электрического поля.

Теорему Гаусса используют при рассмотрении определённой области электрического поля, хотя с её помощью можно получить характеристики электрического поля для каждой точки поля. Пример рассмотрен выше: используя теорему Гаусса, получен результат для каждой точки поля.

Средства математической теории поля содержат инварианты, позволяющие иметь полевые уравнения, относящиеся к каждой точке поля. Такие инварианты называют дифференциальными.

Выберем такую часть объёма заряженного тела, в пределах которого плотность заряда постоянна, т.е. . Тогда в этом объёме содержится заряд . Построим поверхность вокруг этого заряда и используем теорему Гаусса

.

Разделим левую и правую части выражения на и совершим предельный переход:

Поскольку по условию плотность заряда постоянна, то и так как предел постоянной величины равен самой величине, то получим уравнение

.

В «Математическом справочнике» найдём, что для произвольного вектора

.

Таким образом, имеем уравнение

.

Выражение для в координатах и смысл дивергенции см. «Математические дополнения». Это уравнение связывает напряжённость электрического поля и плотность заряда в одной точке поля. Если в данной точке напряжённость поля есть, а заряда нет, то уравнение принимает вид

.

Полученное интегральное и дифференциальное уравнения, связывающие заряды и создаваемые ими поля получены для электрических зарядов, расположенных в вакууме. Такие же уравнения имеют место для электрических сред. Для среды закон Кулона включает величину – диэлектрическую проницаемость среды , из-за чего напряжённость электрического поля среды уменьшается в раз по сравнению с напряжённостью поля в вакууме, т.е.

.

Если имеют место несколько сред, то можно записать, исходя из формулы для :

,

т.е.

В системе СИ в это соотношение вводится . Вводят величину , которую называют или вектор электрической индукции или вектор электрического смещения. Вектор очень удобный, поскольку нормальная его компонента при переходе из среды в среду не меняется. Именно этот вектор используют в уравнениях электростатики при наличии сред. С использованием этого вектора имеем

.

II. Магнитостатика

Теперь обратимся к магнитостатике.

Рассмотрим случай бесконечного прямого проводника с током . Согласно закону Био-Савара, элемент тока создаёт в точке магнитную индукцию (рис. 54)

.

Здесь направлен от элемента тока к точке наблюдения. Величина магнитной индукции

.

Индукция магнитного поля в точке , создаваемая всем проводом

Для расчёта интеграла проведём из точки на перпендикуляр AB. Тогда кроме того, где кратчайшее расстояние от провода до точки . Учитывая эти соотношения, приводим интеграл к виду

.

Итак, магнитная индукция бесконечно длинного проводника, по которому течёт ток , равна . Силовые линии магнитной индукции представляют собой окружности, направление которых определяется по правилу векторного произведения, а число их, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной их направлению, равно численному значению вектора (рис. 55). Силовые линии вектора замкнуты, и в этом их принципиальное отличие от линий вектора , создаваемых неподвижными электрическими зарядами.

Поле, силовые линии которого замкнуты, называют вихревым (или соленоидальным). С вихревыми полями связан инвариант поля – циркуляция вектора (см. «Математические дополнения»).

Найдём циркуляцию вектора , вдоль силовой линии поля, создаваемого бесконечно длинным проводником, по которому течёт ток (рис. 56), т.е.

.

Это самый простой случай, однако существует теорема, которая доказывает, что это соотношение справедливо для общего случая магнитного поля, создаваемого любыми токами, т.е. циркуляция по любой замкнутой кривой всегда будет определяться только тем током или теми токами, которые охватываются этой кривой:

.

Преобразуем эту формулу в дифференциальную форму. Будем считать, что есть толстый провод, по которому течёт ток (рис. 57). Внутри провода возьмём малый контур площадью и определим циркуляцию вдоль этого контура

.

Сила тока , где ‑ плотность тока. Тогда

.

Если уменьшать теперь площадь контура, то можно достигнуть такого значения , при котором плотность тока, проходящего внутри этого контура, будет постоянной. Для такого контура

.

Разделим левую и правую часть на и совершим предельный переход, тогда

.

В «Математическом справочнике» находим

(см. «Математическое дополнение»). Итак, с использованием дифференциального инварианта, теорема о токе имеет вид

.

ВОПРОСЫ

1. Чему равна циркуляция вектора напряжённости электрического поля по замкнутому контуру?

Циркуляция вектора напряжённости электрического поля

.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру совпадает с выражением для работы по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру.

1. Чему равен поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность?

Источником поля являются заряды, а на сегодня в природе магнитные заряды не обнаружены.

VIII семинар.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Как показано в части I, наличие тока смещения в уравнениях Максвелла приводит к электромагнитным волнам (см. часть I). При этом понимание смысла тока смещения вызывает определённые трудности, обусловленные тем фактом, что току смещения нельзя сопоставить наглядную модель. Известно, что наглядные механические модели являются эффективным средством понимания смысла соответствующих физических величин. Так, заряды сопоставляют частицам, токи – движущим частицам, напряжённость поля или индукцию поля ‑ силовым линиям, а вот ток смещения в пустоте не связан с перемещением или изменением состояния частиц и наглядной модели не имеет. В этом случае понимание может быть достигнуто через формализм вывода.

Ток смещения был получен чисто математическим методом. Повторим формальный вывод.

Существуют фундаментальные законы, которые выполняются в широкой области условий. Самым универсальным фундаментальным законом является закон сохранения заряда – в замкнутой системе её заряд сохраняется. Закон сохранения заряда выполняется и в системах, в которых существуют токи проводимости, которые характеризуются соответствующими плотностями токов. Поэтому надо получить закон сохранения заряда, в котором содержатся плотности токов проводимости и посмотреть: при каких условиях закон не нарушен.

Пусть заряд величины распределён с плотностью по объёму тогда . В какой-то момент времени заряды образующие заряд ( ) начинают выходить из объёма и пусть каждый заряд выходит через поверхность . Тогда через каждую поверхность в единицу времени протекает ток где ‑ нормальная компонента плотности тока проводимости на участке . Через всю поверхность протекает ток или после предельного перехода (рис. 58).

Согласно закону сохранения заряда количество заряда, вышедшего за пределы объёма в единицу времени равно убыли заряда в объёме за тот же интервал времени. За единицу времени заряд, вышедший за объём, и есть ток . Убыль заряда в единицу времени равна . Знак частной производной означает, что сам объём неподвижен. Итак, по закону сохранения заряда

Характеристики

Список файлов лекций