Неделько ч2 (1106086), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

.

Рассмотренная задача принадлежит классу простых, поскольку для её решения достаточно данных условия и не надо проводить никакие дополнительные операции по выводу следствий.

Теперь рассмотрим более сложную задачу, для решения которой надо на базе данных условия выводить следствия.

Задача 2. Через блок, прикреплённый к потолку, переброшена нить, на концах которой подвешены два груза с массами и . Нить невесома и нерастяжима. Массой и размерами блока пренебречь. Найти ускорения грузов.

Сделаем один рабочий чертёж (рис. 64). Поскольку грузы совершают поступательное движение, то можно считать их материальными точками с массами и , для описания движения которых справедлив второй закон Ньютона. Нить нельзя считать материальной точкой, но поскольку размерами блока пренебрегают, то каждая малая часть нити массой совершает поступательное движение. Таким образом, такую каждую часть нити с массой можно считать материальной точкой. Если вся нить состоит из -частей, то имеем -материальных точек, для описания движения каждой из которых справедлив закон Ньютона.

Составим систему уравнений для грузов и частей нити с учётом всех сил, действующих на них. Получим:

.

уравнений:

.

Добавим в систему формализованные данные условия: по условию нить невесома, т.е. вес в данной задаче , но поскольку , то , а значит . Таким образом, невесомость нити эквивалентна нулевой её массе. По условию нить нерастяжима. Это означает, что её длина ‑ постоянна, т.е. . Условие приводит к условию или , поскольку такое условие выполняется для любой части, то имеем, что в каждом месте нити её натяжение постоянно, т.е. .

Таким образом, невесомость нити приводит к условию постоянства силы натяжения в любой точке нити. Данное следствие, полученное при решении конкретной задачи справедливо для любой задачи, в которой есть условие невесомости нити, и это следствие можно сразу использовать. Итак, имеем систему уравнений:

,

два уравнения с тремя неизвестными ( ) и условие .

‑ формализованное данное из условия. В таком виде оно ничего не даёт и надо выводить следствия. Поскольку ‑кинематическая величина, то можно связать его с кинематическими величинами, т.е. ускорениями, которые содержатся в уравнениях. Зададим координатную ось , направленную вдоль линий движения грузов, выберем 0-отсчёт и выразим длину нити через координаты грузов и : . Продифференцируем по времени два раза левую и правую части выражения. Получим . Если значения масс не заданы, то имеют место два варианта решения:

1. , тогда ускорение и имеем , .

2. , тогда , .

Запишем уравнения в скалярном виде. Для первого варианта имеем систему уравнений:

,

решение которой даёт:

.

Для второго варианта и «меняются местами»:

.

Способ получения связи ускорений тел посредством выражения длины нити (при условии, что она нерастяжима) через координаты тел и последующего дифференцирования называют методом кинематических связей и широко используют при решении задач.

§ 4. Аксиоматика сложных моделей

1. Ещё раз вспомним, что классическая физика строится по аксиоматическому методу. Аксиомами физики являются фундаментальные законы – законы, описывающие движение простейших моделей, имеющих малое число свойств, причём все свойства экспериментально проверяемы.

Следствия, полученные из фундаментальных законов, образуют «здание» классической физики. Следствия получают как в рамках простейших моделей, так и для более сложных моделей. При выводе следствий в случае сложных моделей одних фундаментальных законов недостаточно и потому используют ещё и аксиомы, относящиеся к сложным моделям. Эти аксиомы для сложных моделей также должны иметь экспериментальное подтверждение и для них должны быть известны границы, в пределах которых они выполняются. Аксиомы для сложных моделей объектов и сложных моделей движений объектов обычно называют принципами.

2. Если нет возможности экспериментального подтверждения принципа, то принцип меняет ранг: из физического он переходит в философский. В качестве примера можно привести космологический принцип, который постулирует, что законы физики, установленные экспериментально для ограниченной части вселенной, выполняются во всей вселенной. Такими же философскими постулатами являются:

а) утверждение о том, что вся вселенная однородна и изотропна;

б) утверждение о том, что закон всемирного тяготения справедлив во всей вселенной.

Рассмотрим некоторые физические принципы, используемые в различных разделах физики.

а) Принцип суперпозиции (общая формулировка)

Принцип суперпозиции ‑ аксиома, согласно которой результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга. В классической физике этот принцип приближённый, строго выполняется только в линейных системах (линейная система – та, которая описана линейными уравнениями).

Пример. В части I (см часть I) мы пользовались динамическим принципом суперпозиций – суперпозиции сил . Существуют кинематические принципы суперпозиций.

Движений: Закон движения материальной точки можно представить в виде векторной суммы двух других законов движения и .

(рис. 65А).

Перемещений: перемещение материальной точки можно представить в виде векторной суммы перемещений и : (см. рис. 65).

Скоростей: скорость точки можно представить как векторную сумму двух других скоростей и : (рис. 66).

Ускорений: ускорение материальной точки можно представить как векторную сумму двух других ускорений и : (рис. 67).

Из принципа суперпозиции перемещений следует, что имеет место суперпозиция скоростей (рис. 65) и суперпозиция ускорений (рис. 66).

б) Принцип инвариантности – утверждение, устанавливающее изменение экспериментальной ситуации, не влияющее на результат измерения величин. Сами такие величины называют инвариантами. В рамках физической модели объектов и их движения изменяют экспериментальные условия, в рамках соответствующей математической модели изменение условий выражают в виде формул (их называют преобразованиями).

Пример. Утверждение: если одна система отсчёта движется относительно другой равномерно и прямолинейно, то ускорения материальной точки в обеих системах отсчёта одинаковы (см. рис. 68).

Рассмотрим конкретно частный случай, когда вторая система движется вдоль оси первой системы со скоростью . Соответствующие математические формулы

,

где – координационные точки в первой системе; ‑ координационные точки во второй системе движения относительно первой с постоянной скоростью .

Формулы носят название преобразования Галилея. Таким образом, ускорение является инвариантом преобразований Галилея.

Поскольку масса материальной точки и сила, действующая на материальную точку, не зависят от условий эксперимента (являются инвариантами), то уравнения движения, основанные на законах Ньютона, не меняют своей формы при преобразовании Галилея, т.е. являются инвариантными относительно этих преобразований.

Итак, преобразования Галилея являются частным случаем принципа инвариантности; другим частным случаем общего принципа инвариантности является принцип симметрии, т.е. инвариантности структуры объектов при изменении определённых физических условий.

в) Принципы симметрии относятся к законам физики и физическим объектам.

Симметрия закона – если физические законы не меняются при определённых операциях (преобразованиях), то говорят, что эти законы обладают симметрией относительно данных преобразований.

Опыты показывают, что физические законы симметричны относительно следующих самых общих преобразований.

1. Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Эта симметрия означает, что пространство однородно.

2. Поворот системы как целого в пространстве. Эта симметрия означает, что пространство изотропно.

3. Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). Эта симметрия означает, что физические законы не меняются во времени.

В 1918 г. математик Э. Нетер установила связь между свойствами симметрии физической системы и законами сохранения. Согласно её выводам, каждой операции (каждому преобразованию) симметрии, характеризуемой одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией.

Характеристики

Список файлов лекций