Неделько ч2 (1106086), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Так, из симметрии физических законов относительно сдвига системы в пространстве следует закон сохранения импульса; из симметрии поворота системы – закон сохранения момента импульса; из симметрии начала отсчёта времени – закон сохранения энергии.

Симметрия объекта – геометрической симметрией объекта называется свойство объекта совмещаться с самим собой путём некоторых операций (преобразований симметрии). К операциям (преобразованиям) симметрии относятся отражения, вращения, переносы, которые совмещают объект с самим собой. Сам объект, который может совмещаться с самим собой в результате симметрических преобразований, называют симметричным объектом, а также симметричным многогранником или симметричной фигурой.

Образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигуры (или пространства), называют элементами симметрии. Операции симметрии разделяются на простые и сложные. К простым операциям симметрии относятся отражения и вращения. Они описываются следующими элементами симметрии:

плоскость симметрии – обозначается символом (рис. 68);

оси симметрии – обозначаются символом (рис. 69);

центр симметрии ‑ обозначается символом (рис. 70).

Использование принципа симметрии упрощает решение сложных задач.

Пример. Чему равен поток вектора напряжённости электрического поля, находящегося в центре куба точечного заряда через грань ? (рис. 71)

Пример. Чему равен поток вектора напряжённости электрического поля, находящегося в одной из вершин куба точечного заряда через поверхность куба? (рис. 72)

Пример. Изобразить силовые линии вектора напряжённости электрического поля, создаваемого однородно заряженной плоскостью (рис. 73).

г) Метод аналогий. Задачи, для решения которых достаточно использовать известные аксиоматические системы, называют детерминированными или закрытыми. Они бывают простые, бывают сложные, но они в принципе решаемы, хотя при решении могут возникнуть большие технические проблемы. Так, только небольшой класс задач решается в электродинамике аналитическими методами. Большинство реальных практических задач в рамках аналитики не решаемы. Раньше это была большая проблема. Сегодня, когда развиты численные методы решения, это уже чисто техническая проблема. Наука занимается построением моделей объектов и моделей их движения, а значит поиском новых аксиом и их следствий. Класс задач по поиску новых аксиом называют творческими или открытыми задачами. Для решения таких задач Максвелл разработал метод аналогий, который, во-первых, давал правила формирования новых моделей, конкретно – позволял получить необходимые математические приёмы для описания сложных моделей; во-вторых, позволял создать наглядный механический образ, поскольку в век механицизма считалось, что явление только тогда становится понятным, когда есть механический образ явления. Даже великие учёные без этого не могли осмыслить и использовать формальное описание новых моделей.

Так, свою первую работу «О силовых линиях Фарадея»Максвелл опубликовал в 1855 г. Через два года, так и не поняв её, Фарадей в письме Максвеллу просил изложить его математическую теорию «на обычном языке стольже полно, ясно и определённо, как на языке формул…» … «перевод с иероглифики [был бы] поистине благодеянием для таких как я, чтобы мы могли проверить это в эксперименте…».

В 1965 г. Максвелл публикует свою основную работу «Динамическая теория электромагнитного поля», в которой приводит математическую модель. Однако долгие годы её не принимает научное общество именно из-за отсутствия механической модели. Почти через 20лет (в 1884г.) У. Томсон в одном из докладов всё ещё заявляет: «Коль скоро мне не удаётся построить механическую модель, значит, я чего-то не понимаю. Именно поэтому я не могу до конца понять электромагнитную теорию».

Итак, физическую аналогию Максвелл определил как частное сходство между законами (формулами) двух каких-либо областей науки, благодаря которому одна является иллюстрацией другой. Максвелл утверждал, что «все явления природы, будучи множеством движений, могут отличаться только по сложности … поэтому можно свести всё к чисто геометрической идее некоторой воображаемой жидкости». Под термином «всё» Максвелл имел в виду все электрические явления.

Таким образом, правила формирования новой модели при использовании метода аналогий сводились к следующему.

1. Найти аналоговую механическую модель.

2. Использовать её математический образ в качестве математического образа формируемой модели.

3. Заменить физические величины аналоговой модели на соответствующие физические величины новой модели.

Новая модель готова!

Поскольку по мнению Максвелла «всё можно было свести к модели жидкости», то гидромеханическая модель идеальной жидкости и была выбрана в качестве аналоговой модели, а её математическое описание стало математическим описанием электромагнитного поля. Далее, заменяя физические величины гидромеханики на величины электромагнитного поля, Максвелл постулирует: «поток жидкости в трубках своей скоростью представляет напряжённость силы, а своим направлением – её направление». Так поток вектора скорости идеальной жидкости становится потоком вектора напряжённости электрического поля. Для описания динамических полей Максвелл обращается к фарадеевской идее нестационарных силовых линий, ставя им в соответствие модель «вихри в несжимаемой жидкости». Такая динамическая модель позволяла использовать механический образ вращающихся вихрей несжимаемой жидкости, между которыми располагались контактирующие с ними тела.

Преобразование Галилея

Система отсчёта, которой соответствует система координат ‑ неподвижна. Такую систему называют лабораторной или неподвижной. Систему отсчёта, которая движется относительно лабораторной системы со скоростью и которой соответствует система координат называют движущейся. В общем случае, как видно из рис. 68, в силу принципа суперпозиций , где ‑ радиус-вектор материальной точки в лабораторной системе отсчёта (системе координат), ‑ радиус-вектор начала движущейся системы отсчёта (системы координат), ‑ радиус-вектор материальной точки в движущейся системе отсчёта (системе координат).

Дифференцируя по времени один раз и два раза получим соответственно

,

где: и соответственно скорость и ускорение точки в лабораторной системе (их называют абсолютными), и ‑ скорость и ускорение движущейся системы отсчёта (их называют переносными), и ‑ скорость и ускорение точки в движущейся системе (их называют относительными).

Преобразование Галилея – частный случай, когда движущаяся система отсчёта движется с постоянной скоростью вдоль оси .

Симметрия объекта

Плоскость симметрии – плоскость, которая делит конфигурацию объектов на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное изображение. В изображённом на рисунке равностороннем треугольнике имеются три плоскости симметрии: 1-1; 2-2; 3-3. Если треугольник не математический, а реальный, например, вырезан из куска фанеры, то имеется ещё одна плоскость 4-4, совпадающая с плоскостью треугольника, при этом необходимо, чтобы все свойства слева были одинаковы со свойствами справа (например, одинаковый цвет, качество материала). Если в качестве объекта взять куб, то он имеет 9 плоскостей симметрии: три из них проходят перпендикулярно граням куба, шесть – по диагональным плоскостям.

Рис. 70.

Ось симметрии – прямая линия, при повороте вокруг которой система объектов совмещается с собой. Число n (порядок оси) показывает, сколько раз система совмещается с собой при полном обороте вокруг оси. На рисунке для квадрата прямая ось четвёртого порядка . В природных объектах цветах, плодах, раковинах встречаются оси симметрии любого порядка от одного до бесконечности. В геометрических формах кристаллов только оси 1, 2, 4, 6 порядков. В кристаллах невозможны оси 5 порядка и порядка больше 6. Ось 5 порядка встречается только у биологических структурах. Ось симметрии 1 порядка ( ) есть у любой фигуры, геометрической или материальной, поскольку любое тело, повёрнутое на вокруг любого направления, совмещается само с собой.

Самая симметричная фигура – шар, поскольку каждый из бесконечного множества его диаметров – это ось симметрии бесконечного порядка , и наоборот: через каждый диаметр проходит бесконечное число плоскостей симметрии.

В геометрической фигуре может быть несколько осей симметрии разных порядков, наряду с плоскостями и другими элементами симметрии. Так, куб имеет три оси ( ), которые проходят через центры граней, как оси прямоугольной системы координат, четыре оси ( ), которые проходят через пары противоположных вершин, шесть осей ( ), которые проходят через середины противоположных рёбер.

Центр симметрии (инверсии, обратного равенства) – особая точка внутри системы объектов, характеризующаяся тем, что любая проведённая через неё прямая встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от неё и на равных расстояниях. Таким образом, симметрическое преобразование в центре симметрии – это отражение, поворачивающее фигуру с «лица – наизнанку» (рис. 71).

Характеристики

Список файлов лекций