Неделько ч2 (1106086), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

.

В Математическом справочнике можно найти формулу для произвольного вектора :

.

Используя эту формулу, получим

.

Согласно математическим правилам, если объём произволен, то подинтегральные выражения равны, или

.

Это дифференциальное уравнение называют уравнением непрерывности. Оно есть следствие закона сохранения заряда, и выполняется всегда. Для постоянного тока , что означает, что в цепи постоянного тока нет источников заряда.

Теперь обратимся к уравнению магнитного поля тока

.

Напомним, что используем чисто математический формализм, т.е. математические операции.

Итак, проведём математическую операцию: возьмём дивергенцию обеих частей уравнения

,

но дивергенция ротора любого вектора всегда равна нулю, а дивергенция плотности тока равна нулю только для постоянных токов, а для переменных, как мы ранее убедились

,

т.е. должны выполняться законы сохранения заряда (т.е. условие ) и условие , а последнее условие не выполняется. Поскольку задача решается чисто математически, то одним из вариантов решения проблемы является ввод дополнительного члена в уравнение магнитного поля тока. В этом случае уравнение принимает вид

+ ,

где – дополнительный член.

Возьмём опять дивергенцию от обеих частей уравнения, тогда

или ,

но или .

Согласно уравнению Максвелла (см. I часть)

или или ,

а уравнение для токов принимает вид

.

В этом виде уравнение удовлетворяет и закону сохранения заряда, и условию .

Итак, чисто математическим путём проведения математических операций и выполнения математических правил получена величина

.

Чтобы перевести её в величину физическую, надо задать ей единицы измерений и способ измерений, т.е. найти экспериментально.

В рамках физической модели единицы измерений полученной величины совпадают с единицами измерений плотности тока проводимости, а существует она как изменение вектора электрического смещения. Поэтому она была названа плотностью тока смещения (в интегральном уравнении для магнитного поля токов током смещения).

Поскольку ток смещения входит в уравнение магнитного поля токов, то он должен возбуждать магнитное поле, в частности, и в тех местах, где токи проводимости отсутствуют. Это было задано экспериментально.

Итак, ток смещения, полученный математически как дополнительный член в уравнении магнитного поля токов для выполнения закона сохранения электрического заряда и сохранения вихревого характера поля был доказан экспериментально и стал физической величиной. В вакууме он не связан ни с каким движением зарядов и эквивалентность тока проводимости и тока смещения только в одном: токи проводимости и токи смещения возбуждают магнитные поля по одним и тем же законам.

ВОПРОСЫ ПО ТОКУ СМЕЩЕНИЯ

1. Заряд движется в вакууме с постоянной скоростью вдоль оси . Найти плотность тока смещения , создаваемого зарядом вблизи оси на расстоянии от заряда (рис. 59).

По определению . Поскольку надо найти плотность тока вблизи оси , то имеем . Напряжённость электрического поля заряда и таким образом:

1. Используя полученное в задаче 1 выражение для плотности тока смещения , определить напряжённость магнитного поля , создаваемого движущим с постоянной скоростью зарядом на малом по сравнению с расстоянием от оси .

, , .

Характеристики электромагнитных волн даны в части I. Здесь мы рассмотрим вопрос о физической реальности электромагнитного поля. В части I было показано, что фундаментальные законы электростатики и магнитостатики могут быть интерпретированы в рамках двух теорий близкодействия и дальнодействия, следствием чего полевое представление в электростатике и магнитостатике является чисто математическим способом описания. Однако в переменных полях имеет место конечная скорость распространения электромагнитных возмущений.

Пусть в момент времени в месте возникла электромагнитная волна формы цуга и в момент времени достигла места . Если длительность сигнала мала, то существует такой интервал времени, в течение которого от места сигнал ушёл, а в место ещё не пришёл. В этот момент сигнал движется в пространстве как самостоятельный физический объект, не связанный с электрическими зарядами и несущий электромагнитную энергию (рис. 60). Время прохождения сигнала от до , где ‑ расстояние от до , ‑ скорость поля. Это время можно измерить.

Таким образом, факт конечной скорости распространения электромагнитных возмущений делает возможным экспериментальное подтверждение теории близкодействия в случае переменных полей.

1. Расстояние от Земли до Солнца . Какое время надо электромагнитному сигналу, чтобы достигнуть Солнца, если он послан с Земли?

.

1. В однородной и изотропной среде с и распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости электрического поля волны . Найти:

а) амплитуду напряжённости магнитного поля волны

;

б) фазовую скорость .

5. Распространяющаяся в вакууме плоская электромагнитная волна, напряжённость электрического поля которой описывается уравнением

Отражается без потерь интенсивности от плоскости, перпендикулярной оси . Написать уравнения, описывающие отражённую волну

6. Рассмотреть суперпозицию двух плоских электромагнитных волн с длиной волны λ, распространяющихся вдоль оси в противоположных направлениях. Определить координаты пучностей и узлов для вектора .

;

Раздел II. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

§ 1. Общие правила решения проблем
с помощью вычислений в классической физике

В своих действиях человек всегда пытается достичь определённой цели, используя при этом имеющиеся у него средства. Наука (и, прежде всего, физика) получает объективную информацию о фрагментах материального мира (это ‑ цель), с помощью изготовленных ею моделей (это ‑ средство). Сегодня в классической физике фундаментальные модели объектов и модели их движения уже изготовлены и используются для получения новой информации. Качество новой информации изменяется в широких пределах: от количественного объяснения нового явления природы, до получения значения физической величины в стандартной учебной задаче.

Итак, цель – получение новой информации о фрагментах материального мира.

Средства:

а) фундаментальные модели объектов и движения – аксиоматические системы классической физики;

б) правила эффективного использования аксиоматических систем: правила вывода следствий, специальные методы;

в) модели используются для описания объектов материального мира и поэтому должна быть задана определённая информация (начальная) об этих объектах и их поведении.

Этими формальными средствами мы и ограничимся, хотя ещё одним из важных факторов решений проблем (не рассматриваемым нами) является интеллект человека, решающего проблему («человеческий фактор»).

Рассмотрим содержание аксиоматической системы:

а) собственно фундаментальная система: набор аксиом для простейшей модели. В аксиомы входят: определение модели, определения физических величин, характеризующих эту модель, функциональные связи физических величин, условия существования системы.

Пример. Аксиоматическая система Ньютона: модель – материальная точка; определения величин, характеризующих свойства материальной точки – кинематических: положение, скорость, ускорение; и динамических: масса, сила, импульс; функциональные связи свойств (три закона Ньютона. Строго говоря, к ним надо добавить закон всемирного тяготения. Ньютон вывел его как следствие второго закона, отождествив инертную и гравитационную массу, хотя они независимы и их одинаковое количественное содержание устанавливается опытом. Закон всемирного тяготения – закон фундаментальный).

Условия существования: аксиомы справедливы для объектов, скорость которых много меньше скорости света, а размер объектов много больше массы элементарных частиц.

Из фундаментальных законов как следствия выводят законы движения более сложных моделей. При этом используют аксиоматику сложных моделей.

Примеры аксиоматики сложных моделей: принципы суперпозиций, инвариантности, симметрии (см. § Аксиоматика сложных моделей). Полученные следствия для сложных моделей играют роль аксиом, из которых выводят частные следствия, а из них уже следствия для конкретных случаев.

Пример. Фундаментальный закон – закон Кулона. Из закона Кулона выводят следствие – теорему Гаусса. Из теоремы Гаусса выводят следствие – напряжённость электрического поля однородно заряженной плоскости. Эту формулу используют в конкретных ситуациях, например, когда надо найти напряжённость поля двух плоскостей.

Характеристики

Список файлов лекций