Неделько ч2 (1106086), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

До выстрела

После выстрела

где V ‑ скорость пушки после выстрела и она равна . Знак “‑“ (минус) показывает, что направление скорости пушки противоположно направлению скорости снаряда.

1. Снаряд массой , летящий со скоростью параллельно рельсам, ударяет в неподвижную платформу с песком массой и застревает в песке. С какой скоростью будет двигаться платформа, если трения между платформой и рельсами нет?

Будем считать, что снаряд и платформа с песком образуют систему. Тогда силы трения, возникающие между снарядом и песком при попадании в песок снаряда, являются внутренними; внешних сил в горизонтальном направлении нет, и проекция импульса системы на горизонтальное направление сохраняется. До соударения импульс системы . После соударения , откуда .

Часто проблемы решают, используя совместно закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Рассмотрим задачу об упругом соударении шаров.

Два шара, массами и и скоростями и , скользящие по столу без трения, упруго сталкиваются. Найти скорости шаров после соударения и .

Поскольку при упругом соударении имеют место сначала переход кинетической энергии шаров в потенциальную энергию деформации, а потом обратный переход: переход потенциальной энергии обратно в кинетическую и при этом перехода механической энергии в тепловую нет, то имеет место закон сохранения механической энергии для системы шаров.

Кроме того, в горизонтальном направлении внешних сил нет, в вертикальном ‑ они скомпенсированы, а значит, имеет место закон сохранения импульса. Итак, имеем:

Решая систему, получим

,

,

Это общая формула, которую можно использовать для многих частных случаев, например, если массы шаров одинаковы и один из них находится в покое, например, , то после удара скорость первого шара будет равна нулю, а второй шар приобретёт скорость первого, т.е. .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Человек оказался на льду посреди озера. Лёд, обувь и одежда человека настолько гладкие, что трения между ними нет. Ветра тоже нет. Как человеку добраться до берега?

2. На рис. 49 показана модель лодки. Будет ли двигаться эта модель по гладкому льду?

3. Вагон массой , движущийся со скоростью , нагоняет вагон массой , движущийся со скоростью . Какова скорость вагонов после их неупругого соударения?

.

1. Автоматический пистолет имеет подвижный кожух, связанный с корпусом пружиной с жёсткостью . Масса кожуха , масса пули . При выстреле кожух должен отскочить назад на расстояние . Как велика должна быть минимальная скорость пули при вылете, чтобы пистолет мог работать.

При вылете пуля имеет скорость и импульс . Такой же импульс имеют газы, которые передают этот импульс кожуху. Таким образом, имеем . Кинетическая энергия кожуха передаётся пружине и таким образом . Из этих двух уравнений имеем

.

III. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса материальной точки

.

Для системы материальных точек момент импульса системы материальных точек

.

где ‑ момент инерции относительно оси вращения.

Закон изменения момента импульса для системы материальных точек гласит, что изменение момента импульса системы материальных точек равно моменту внешних сил. Если на систему внешние силы не действуют (или их результирующий момент относительно оси вращения равен нулю), то момент импульса системы относительно оси вращения остаётся неизменным: .

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ

1. Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги. Этим он уменьшает свой момент инерции, а так как , то угловая скорость вращения возрастает, и гимнаст за короткое время можно сделать полный оборот.

ВОПРОС НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Какие действия руками и ногами должна совершать балерина, чтобы управлять скоростью вращения своего тела.

VI СЕМИНАР.

АКСИОМАТИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Поскольку в статистической физике широко используют вероятности, то кратко рассмотрим некоторые элементы теории вероятностей.

Теория вероятностей возникла в связи с потребностями выигрывания в азартных играх. Поэт писал:

«Ах, луна сияет через раму,

Свет такой, хоть выколи глаза,

Ставил я на пиковую даму,

А сыграл червонного туза…»

С. Есенин

Согласно одной из версий, после одной из таких ночей кавалер де Мере, подсчитав поутру убытки от проигрыша, отправился к Паскалю и заказал ему правила выигрывания. Так родилось учение о вероятности. Теория вероятности – математическая дисциплина.

При использовании вероятностных представлений рассматривают большое число однотипных событий в одинаковых условиях. Например: бросают кубик, на гранях которого нарисованы цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Под событием понимают выпадение какой-нибудь (из этих шести) цифры. Поскольку действия человека всегда целевые (например: при бросании кубика цель – выпадение «6»), то событие, при котором цель реализуется, носит название благоприятного.

Если условия для всех граней одинаковы, и преимущества ни у одной грани нет, то частота выпадений каждой грани одинакова, а именно равна для каждой грани. Пользуются обычно не частотой выпадения, а вероятностью выпадения : оно определяется как отношение числа благоприятных случаев ( к полному числу случаев : т.е. .

Так, вероятность выпадения «орла» при бросании монеты и вероятность выпадения «решки» при бросании монеты . Их сумма равна 1. Это правило, что сумма всех вероятностей равна единице, выполняется и для сложных случаев

Данное определение вероятности – математическое и вероятность называют математической. При её нахождении никаких действий с объектами не производят. Реально, чтобы получить правильную вероятность практически реализуют большое число случаев. Так, чтобы получить вероятность выпадения «орла» практически, монету бросали 2400 раз, при этом получили вероятность очень близкую к , но всё же неточно . Чтобы практически получить точную вероятность надо бросать монету неограниченное число раз, что практически невозможно, и потому бросают большое, но ограниченное число раз, а вероятность считают как предел при стремлении числа бросаний к бесконечности, т.е.

,

где ‑ число событий, ‑ число благоприятных событий.

Такую вероятность называют статистической.

Для освоения данной темы надо знать три правила из теории вероятностей.

1. Сумма всех вероятностей равна единице .

2. Вероятность нахождения системы в одном из двух взаимоисключающих друг друга состояний равна сумме вероятности нахождения системы в каждом из этих состояний.

Обратимся опять к монете. Выпадения «орла» или «решки» являются взаимоисключающими, причём вероятность выпадения каждого равна . Вероятность, что выпадет «орёл» или «решка» равна 1.

1. Если есть две независимые физические системы, одна из которых находится в состоянии , причём вероятность её нахождения в этом состоянии , а другая – в состоянии с вероятностью , то вероятность того, что одновременно первая система будет находиться в состоянии , а вторая – в состоянии равна произведению вероятностей .

Если газ занимает объём , то вероятность попадания молекулы газа в какую-либо часть этого объёма равно . Теперь зададим вопрос: а чему будет равна вероятность того, что в объёме будут одновременно находиться две молекулы газа?

Поскольку каждую молекулу газа можно считать независимой, то данная вероятность нахождения одновременно двух молекул в объёме будет равна произведению вероятностей нахождения в этом объёме каждой молекулы, т.е. .

Будем рассматривать простейшую (фундаментальную) статистическую систему – идеальный газ. В термодинамике идеальный газ – тело, подчиняющееся закону Клайперона-Менделеева (см. ранее), полученному экспериментально при изучении разреженных газов. В статической физике идеальный газ – это модель, обладающая следующими свойствами.

1. Молекулы идеального газа являются материальными точками, следствием чего имеет место условие: собственный объём газовых молекул равен нулю и объём газа равен объёму сосуда, в котором он находится.

2. Потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю, следствием чего имеет место условие: внутренняя энергия газа только кинетическая.

3. Взаимодействие молекул контактное и происходит по закону упругого удара.

Контактное взаимодействие приводит газ в состояние, в котором молекулы распределены в среднем равномерно по объёму, причём распределение изотропное, т.е. не зависит от направления.

Экспериментально такое состояние подтверждается отсутствием потоков. Молекулы газа имеют различные скорости (это следствие столкновений), причём распределение молекул по скоростям не зависит от времени. Такое состояние Максвелл назвал молекулярным хаосом.

Однако в реальных условиях на каждую молекулу газа действует сила тяготения со стороны Земли, и во внутренней энергии системы идеального газа появляется потенциальная энергия тяготения. В этом случае внутренняя энергия газа включает и кинетическую энергию газовых молекул, и потенциальную энергию взаимодействия газовых молекул с Землёй.

В рамках классической статистики энергия в формуле распределения Гиббса (см. часть 1) всегда может быть задана как сумма потенциальной и кинетической энергии, т.е. . Кинетическая энергия системы -молекул, каждая из которых имеет массу и скорость равна сумме кинетической энергии каждой молекулы. Кинетическая энергия -молекулы равна , однако поскольку в распределении Гиббса используют импульсы, то надо записать кинетическую энергию молекулы как функцию импульса. Поскольку , то и формула для кинетической энергии . Потенциальная энергия U(q) является функцией координат атомов газа относительно системы отсчёта, связанной с землёй.

Характеристики

Список файлов лекций