Неделько ч2 (1106086), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

2) Когда сила достигнет максимальной силы трения покоя, брусок начнёт двигаться, а возникшая при этом сила трения скольжения будет постоянной. Таким образом, график имеет вид, показанный на рис. 16.

С) Дальнодействующие силы – силы, действующие на расстоянии между телами. В механике к ним относятся гравитационные силы. Эти силы зависят от формы, размеров и взаимного расположения тел. Для тел в модели «материальная точка» гравитационные силы подчиняются закону всемирного тяготения, имеющего вид:

,

где ‑ величина силы притяжения; ‑ массы материальных точек; – расстояние между телами; .

В векторной форме закон имеет вид (рис. 17,а). Если одно из тел находится в начале координат, то , где ‑ радиус-вектор (рис. 17,б).

Д) Принцип суперпозиции сил. Для сил справедлив геометрический принцип суперпозиции: результирующая сила, действующая на тело, равна геометрической сумме сил, действующих на тело.

.

Эту силу ещё называют равнодействующей сил, действующих на тело. Если тело находится в состоянии покоя, то равнодействующая сила равна нулю. Пусть тело массы лежит на земле. На него действует сила тяготения, направленная вниз.

,

где ‑ масса Земли, ‑ радиус Земли

Чтобы тело было неподвижно, необходимо чтобы на него действовала сила со стороны других тел, например, подставки, на которой лежит тело. Сила, с которой тело действует на опору (или подвес), называют весом тела (рис. 18).

, где .

Поскольку в входят постоянные величины, причём значения их известны, то можно рассчитать, получим ‑ эта величина носит название ускорения свободного падения.

Свободное падение – это движение тела, на которое действует только сила тяготения. Если на тело действует только сила тяготения, то деформация тела отсутствует – такое состояние тела называют невесомостью. Поскольку каждая сила есть инвариант по отношению к системе координат, другими словами, не зависит от системы координат, то результирующая сила тоже есть инвариант. Однако относительно инерциальной системы отсчёта результирующая сила равна произведению массы тела, на которое действует результирующая сила, на ускорение тела – второй закон Ньютона: .

В проекциях на оси декартовой системы координат это уравнение переходит в уравнение

где ‑ компоненты результирующей силы по осям .

Если тело совершает вращательное движение, то в модели материальная точка для него справедливы уравнения, написанные выше, однако более удобная система координат, имеющая одну ось на направление касательной, а другую ось на направление нормали к траектории (рис. 19). В этом случае уравнения движения будут иметь вид

,

Где ‑ модуль скорости; ‑ радиус кривизны вращения (или в более общем случае радиус кривизны данной точки траектории); и ‑ соответственно проекции силы на касательную и нормаль к траектории. Отметим, что, вообще говоря, такая система координат строится для любой точки траектории, поскольку не может вращаться вместе с точкой относительно центра , поскольку тогда уже не будет инерциальной.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ

1. Описать возможный характер движения частицы массы (т.е. вид траектории) при следующих условиях.

а) Сила б) в) , ; г) , , ; д) , .

РЕШЕНИЯ

Используем второй закон Ньютона:

а) или . Решаем уравнение, или находим в справочнике решение уравнения. Получим:

; ,

где – начальные скорость и радиус-вектор. Траектория парабола. Случай тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью из положения

б) Движение по окружности радиуса .

в) или .

В справочнике находим решение уравнения . Если ввести обозначение , то получим , т.е. движение тела на пружинке вдоль оси.

г) Движение при наличии силы может быть равномерное только при движении по окружности. В этом случае в системе координат для вращающей точки (см. выше) (векторное уравнение по ) или . Отсюда имеем движение точки по окружности радиуса с постоянной скоростью .

д) На оси . В справочнике по математике находим (или можно решить самому).

,

где ‑ начальная скорость, ‑ начальная координата. При движение происходит по гармоническому закону

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти зависимость силы сухого трения , действующей на тело массы , помещённого на наклонную плоскость (рис. 20) в зависимости от угла , который образует плоскость с горизонтом. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен . Привести график зависимости (рис. 21).

По определению, если тело покоится, то на него действует сила трения покоя , равная внешней силе, направленной вдоль направления возможного движения. Отсюда .

При движении тела действует сила трения скольжения, которая описывается формулой , где – сила реакции опоры. Поскольку в направлении, перпендикулярном плоскости движения тела, движения нет, то

N ,

Движение начинается, когда максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения. Отсюда

или .

2. На тело массы , движущееся в вязкой среде , ‑ единичный вектор; . Начальная скорость тела . Найти зависимость скорости тела от времени.

Поскольку движение идёт по одному направлению, заданному , то введём координату вдоль этого направления. Тогда имеем . Можно это уравнение решить, а можно посмотреть в справочнике.

Решение. , ; . .

3. К покоящемуся на горизонтальной поверхности телу массы приложили горизонтальную силу . Коэффициент трения . Чему равна сила трения , действующая на тело.

Согласно закону трения, тело начинает двигаться, если сила трения покоя достигает силы трения скольжения , в противном случае оно покоится или при этом сила трения равна внешней силе.

В данном случае сила трения скольжения , т.е. больше, чем приложенная сила. Поэтому сила трения равна .

4. Автомобиль массы движется с постоянной скоростью в горку, угол при основании которой равен . Найти модуль и направление силы трения, действующей на автомобиль (рис. 22). Результирующая сил реакции опоры и тяжести, действующих на автомобиль, равна и направлена параллельно наклонной плоскости. Поскольку автомобиль движется равномерно, то сила трения равна и направлена вперёд по движению автомобиля. При движении автомобиля слева направо колёса вращаются по часовой стрелке. Относительная скорость колеса в точке ( ) направлена справа налево. Так как сила трения направлена противоположно скорости относительного движения, то она направлена слева направо, т.е. по направлению движения автомобиля.

Другими общими динамическими величинами являются масса, импульс, импульс силы.

Масса – скалярная физическая величина; она определяет инертные и гравитационные свойства тел (см. III часть).

Масса в рамках классической механики обладает следующими свойствами.

1. Инвариантность – не зависит от выбора системы отсчёта.

2. Имеет только положительные значения.

3. Сохраняется в изолированной системе тел (см. далее).

4-5. Аддитивна, т.е. масса тела , состоящего из отдельных частей с массами равна сумме масс этих частей: .

6. Имеет двойственную природу, поскольку входит в два независимых друг от друга закона: во второй закон Ньютона ‑ ‑ масса инертная, и в закон всемирного тяготения ‑ ‑ масса гравитационная.

Сегодня равенство и экспериментально установлено с очень большой точностью.

Импульс – векторная физическая величина, характеризующая движение материальной точки. Импульс материальной точки равен произведению массы точки на её скорость : . Вектор импульса точки задаётся компонентами:

,

– компоненты вектора скорости.

Если начало координат совпадает с началом вектора импульса, то

.

Импульс силы – мера действия силы за некоторый промежуток времени, равняется среднему значению силы на время её действия, т.е. . Точное значение за промежуток времени определяют интегралом . В теории удара величина, равная импульсу ударной силы за время удара, называют ударным импульсом.

В инерциальных системах отсчёта импульс материальной точки и импульс силы связаны законом: приращение импульса материальной точки равно импульсу сил, действующих на точку, т.е. . Если , то или . Векторная форма записи закона эквивалентна трём скалярным формам:

,

,

,

где ‑ компоненты .

Характеристики

Список файлов лекций