Неделько ч2 (1106086), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Сила , с которой жидкость действует на стенку сосуда, направлена перпендикулярно стенке. Стенка действует на жидкость с той же силой по величине и противоположно по направлению.

Разложим силу на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 43). Видно, что в первом случае направлена вниз и увеличивает силу давления, во втором случае направлена вверх и уменьшает силу давления. Это уменьшение и увеличение давления имеют место в областях жидкости занимаемый объёмами, находящимися вне цилиндрического объёма. В третьем случае (весь объём жидкости цилиндрический) сила давления равна весу жидкости.

1. Может ли плавать корабль, если его центр тяжести выше его центра плавучести ? (Рис. 44).

Нет, поскольку при малейшем отклонении линии от вертикали возникают вращающиеся моменты относительно центра масс и центра плавучести , направленные так, что корабль переворачивается (рис. 45). Если центр тяжести ниже центра плавучести, то при отклонении линии от вертикали возникают вращающие моменты центра масс и центра плавучести , возвращающие линию в вертикальное состояние (рис. 45).

1. Как решил задачу Гиерона Архимед?

Архимед взвесил корону в воде и в воздухе. Согласно закону Архимеда, тело теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость (газ). Вес короны в воде

,

где ‑ плотность жидкости, ‑ плотность воздуха, ‑ плотность короны.

Вес короны в воздухе

,

где ‑ объём тела.

Из этих двух формул Архимед получил плотность короны

и она оказалось меньше плотности золота.

V Семинар.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Существуют физические величины, которые сохраняют свои направления и значения в физических процессах в широкой области условий. Формальные выражения для этих величин, приравненные к постоянным значениям, носят название законов сохранения.

В механике имеют место три закона сохранения для систем материальных точек: закон сохранения полной механической энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса.

I. Закон сохранения энергии

Полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий материальных точек, входящих в систему:

,

где ‑ масса точки; ‑ её скорость, и сумма потенциальных энергий взаимодействия материальных точек, входящих в систему.

Если ограничиться парными взаимодействиями материальных точек, входящих в систему, то потенциальная энергия может быть выражена как сумма парных взаимодействий точек системы, т.е.

,

где и ‑ радиус-векторы и точек системы.

Потенциальная энергия является внутренней характеристикой системы и численно равна величине работы, совершаемой внутренними консервативными силами при переводе системы из заданного состояния в состояние условно принятого за состояние с нулевой потенциальной энергией. Поскольку состояние с нулевой энергией выбирается произвольно, то значение потенциальной энергии неоднозначно, т.е. определено с точностью до произвольной константы.

Так как течение физического процесса зависит не от абсолютных значений потенциальной энергии, а от её разностей в различных состояниях, которые от выбора произвольной постоянной не зависят, то неоднозначность потенциальной энергии на результаты вычислений не влияют.

Итак, согласно определению, формальное выражение для расчёта потенциальной энергии имеет вид:

.

Закон сохранения механической энергии можно применять, если:

а) система замкнута и консервативна (имеют место только силы упругости и тяготения);

б) система не замкнута, но алгебраическая сумма работ всех внешних сил равна нулю.

Рассмотрим конкретные случаи.

Потенциальная энергия.

1. Потенциальная энергия растянутой пружины

Если длина нерастянутой пружины , а растянутой , то удлинение . Введём координату , направим её по направлению растяжения пружины и поместим 0 значение координат в конец нерастянутой пружины. В этом случае , а внутренняя консервативная сила (рис. 46).

Будем считать, что упругая энергия недеформированной пружины равна нулю. Тогда по определению

.

1. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту над Землёй, при условии, что , где ‑ радиус Земли (рис. 47).

Будем считать, что система Земля ‑тело обладает нулевой энергией, когда тело лежит на Земле. В этой системе сила тяготения является внутренней консервативной и тогда

.

Напомним, что знак работы зависит только от знака косинуса угла между направлением силы и направлением движения тела. При спускании тела с высоты этот угол равен , а его , т.е. .

1. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек.

Будем считать, что система двух материальных точек (одна из которых неподвижна, а другая перемещается) обладает нулевой энергией, когда точка находится в бесконечности (рис. 48). Тогда по определению потенциальная энергия

,

где ‑ бесконечно малое перемещение. Но , а , поскольку тело 2 движется от тела 1 всё дальше, а сила направлена к телу 1. Таким образом,

.

Если в качестве первого тела рассматривается Земля, то

где ‑ радиус-вектор, проведённый из центра Земли в место расположения тела .

Из примеров (2) и (3) видно, что знак и величина потенциальной энергии зависит от выбора её нулевого значения.

Полная механическая энергия.

1. При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину жёсткостью сжали на . Какую скорость приобретает пуля массой при выстреле в горизонтальном направлении?

Будем считать, что пружина и пуля представляют собой механическую консервативную систему. Она не замкнута, поскольку есть действующая со стороны Земли внешняя сила гравитации. Однако, поскольку по условию пуля летит в горизонтальном направлении, то работа силы гравитации равна нулю и можно использовать закон сохранения полной механической энергии:

Возьмём два состояния системы:

1. когда пружина сжата, а пуля в пистолете находится в покое;

2. когда произошёл выстрел и пуля вылетает из дула пистолета.

В первом состоянии полная энергия системы определяется потенциальной энергией пружины .

Во втором состоянии полная энергия определяется кинетической энергией пули .

Так как , то имеем .

1. Найти скорость вылета пули из пружинного пистолета массой при выстреле вертикально вверх, если жёсткость пружины , а сжатие ?

В этом случае в момент вылета пуля имеет не только кинетическую энергию , но и потенциальную , поскольку в момент выстрела расположена на высоте x.

Отсюда , или .

1. Найти скорость, необходимую для преодоления земного притяжения (вторая космическая скорость).

Образуем замкнутую консервативную систему «Земля (масса , радиус ) – ракета (масса )». Тогда для этой системы можно использовать закон сохранения полной механической энергии . Если за ‑ значение потенциальной энергии системы принять состояние, при котором ракета находится на бесконечности, то

для любого состояния системы. В частности, возьмём два состояния: 1) – когда ракета на старте, 2) – когда ракета достигла бесконечности. Тогда

,

где ‑ стартовая скорость ракеты, та самая, которую надо найти. так как согласно выбору и Отсюда

,

где – ускорение свободного падения на поверхности Земли.

ВОПРОСЫ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Найти скорость, необходимую для преодоления лунного притяжения. Ускорение свободного падения на Луне , радиус Луны .

.

1. В какой момент полёта герои Жюль Верна, летящие на Луну, почувствовали состояние невесомости?

II. Закон сохранения импульса системы материальных точек

Закон сохранения импульса можно использовать, когда:

а) система тел замкнута, т.е. на тело не действуют внешние силы;

б) на тело действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю;

в) система не замкнута, но сумма проекций внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю, тогда остаётся постоянной «сумма проекций импульсов всех тел системы на эту ось»;

г) время взаимодействия мало (удар, выстрел, взрыв); в этом случае импульсом внешних сил можно пренебречь.

Рассмотрим практические примеры.

1. Пушка массы M стреляет снарядом массы . Скорость снаряда и снаряд летит горизонтально. Чему равна скорость пушки после выстрела, если пушка стоит на гладкой поверхности и трения нет?

Поскольку внешние силы (силы тяжести и силы реакции поверхности) действуют по вертикали, то горизонтальная проекция импульса системы пушка-снаряд сохраняется.

.

Характеристики

Список файлов лекций