Неделько ч2 (1106086), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Сила , с которой жидкость действует на стенку сосуда, направлена перпендикулярно стенке. Стенка действует на жидкость с той же силой
по величине и противоположно по направлению.
Разложим силу на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 43). Видно, что в первом случае направлена вниз и увеличивает силу давления, во втором случае
направлена вверх и уменьшает силу давления. Это уменьшение и увеличение давления имеют место в областях жидкости занимаемый объёмами, находящимися вне цилиндрического объёма. В третьем случае (весь объём жидкости цилиндрический) сила давления равна весу жидкости.
-
Может ли плавать корабль, если его центр тяжести
выше его центра плавучести
? (Рис. 44).
Нет, поскольку при малейшем отклонении линии от вертикали возникают вращающиеся моменты относительно центра масс
и центра плавучести
, направленные так, что корабль переворачивается (рис. 45). Если центр тяжести
ниже центра плавучести, то при отклонении линии
от вертикали возникают вращающие моменты центра масс
и центра плавучести
, возвращающие линию
в вертикальное состояние (рис. 45).
-
Как решил задачу Гиерона Архимед?
Архимед взвесил корону в воде и в воздухе. Согласно закону Архимеда, тело теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость (газ). Вес короны в воде
,
где ‑ плотность жидкости,
‑ плотность воздуха,
‑ плотность короны.
Вес короны в воздухе
,
где ‑ объём тела.
Из этих двух формул Архимед получил плотность короны
и она оказалось меньше плотности золота.
V Семинар.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Существуют физические величины, которые сохраняют свои направления и значения в физических процессах в широкой области условий. Формальные выражения для этих величин, приравненные к постоянным значениям, носят название законов сохранения.
В механике имеют место три закона сохранения для систем материальных точек: закон сохранения полной механической энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса.
I. Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий материальных точек, входящих в систему:
,
где ‑ масса
точки;
‑ её скорость, и сумма потенциальных энергий взаимодействия материальных точек, входящих в систему.
Если ограничиться парными взаимодействиями материальных точек, входящих в систему, то потенциальная энергия может быть выражена как сумма парных взаимодействий точек системы, т.е.
,
где и
‑ радиус-векторы
и
точек системы.
Потенциальная энергия является внутренней характеристикой системы и численно равна величине работы, совершаемой внутренними консервативными силами при переводе системы из заданного состояния в состояние условно принятого за состояние с нулевой потенциальной энергией. Поскольку состояние с нулевой энергией выбирается произвольно, то значение потенциальной энергии неоднозначно, т.е. определено с точностью до произвольной константы.
Так как течение физического процесса зависит не от абсолютных значений потенциальной энергии, а от её разностей в различных состояниях, которые от выбора произвольной постоянной не зависят, то неоднозначность потенциальной энергии на результаты вычислений не влияют.
Итак, согласно определению, формальное выражение для расчёта потенциальной энергии имеет вид:
.
Закон сохранения механической энергии можно применять, если:
а) система замкнута и консервативна (имеют место только силы упругости и тяготения);
б) система не замкнута, но алгебраическая сумма работ всех внешних сил равна нулю.
Рассмотрим конкретные случаи.
Потенциальная энергия.
-
Потенциальная энергия растянутой пружины
Если длина нерастянутой пружины , а растянутой
, то удлинение
. Введём координату
, направим её по направлению растяжения пружины и поместим 0 значение координат в конец нерастянутой пружины. В этом случае
, а внутренняя консервативная сила
(рис. 46).
Будем считать, что упругая энергия недеформированной пружины равна нулю. Тогда по определению
.
-
Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту
над Землёй, при условии, что
, где
‑ радиус Земли (рис. 47).
Будем считать, что система Земля ‑тело обладает нулевой энергией, когда тело лежит на Земле. В этой системе сила тяготения является внутренней консервативной и тогда
.
Напомним, что знак работы зависит только от знака косинуса угла между направлением силы и направлением движения тела. При спускании тела с высоты этот угол равен
, а его
, т.е.
.
-
Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек.
Будем считать, что система двух материальных точек (одна из которых неподвижна, а другая
перемещается) обладает нулевой энергией, когда точка
находится в бесконечности (рис. 48). Тогда по определению потенциальная энергия
,
где ‑ бесконечно малое перемещение. Но
, а
, поскольку тело 2 движется от тела 1 всё дальше, а сила направлена к телу 1. Таким образом,
.
Если в качестве первого тела рассматривается Земля, то
где ‑ радиус-вектор, проведённый из центра Земли в место расположения тела
.
Из примеров (2) и (3) видно, что знак и величина потенциальной энергии зависит от выбора её нулевого значения.
Полная механическая энергия.
-
При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину жёсткостью
сжали на
. Какую скорость приобретает пуля массой
при выстреле в горизонтальном направлении?
Будем считать, что пружина и пуля представляют собой механическую консервативную систему. Она не замкнута, поскольку есть действующая со стороны Земли внешняя сила гравитации. Однако, поскольку по условию пуля летит в горизонтальном направлении, то работа силы гравитации равна нулю и можно использовать закон сохранения полной механической энергии:
Возьмём два состояния системы:
-
когда пружина сжата, а пуля в пистолете находится в покое;
-
когда произошёл выстрел и пуля вылетает из дула пистолета.
В первом состоянии полная энергия системы определяется потенциальной энергией пружины .
Во втором состоянии полная энергия определяется кинетической энергией пули .
Так как , то имеем
.
-
Найти скорость
вылета пули из пружинного пистолета массой
при выстреле вертикально вверх, если жёсткость пружины
, а сжатие
?
В этом случае в момент вылета пуля имеет не только кинетическую энергию , но и потенциальную
, поскольку в момент выстрела расположена на высоте x.
Отсюда , или
.
-
Найти скорость, необходимую для преодоления земного притяжения (вторая космическая скорость).
Образуем замкнутую консервативную систему «Земля (масса , радиус
) – ракета (масса
)». Тогда для этой системы можно использовать закон сохранения полной механической энергии
. Если за
‑ значение потенциальной энергии системы принять состояние, при котором ракета находится на бесконечности, то
для любого состояния системы. В частности, возьмём два состояния: 1) – когда ракета на старте, 2) – когда ракета достигла бесконечности. Тогда
,
где ‑ стартовая скорость ракеты, та самая, которую надо найти.
так как согласно выбору
и
Отсюда
,
где – ускорение свободного падения на поверхности Земли.
ВОПРОСЫ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
-
Найти скорость, необходимую для преодоления лунного притяжения. Ускорение свободного падения на Луне
, радиус Луны
.
.
-
В какой момент полёта герои Жюль Верна, летящие на Луну, почувствовали состояние невесомости?
II. Закон сохранения импульса системы материальных точек
Закон сохранения импульса можно использовать, когда:
а) система тел замкнута, т.е. на тело не действуют внешние силы;
б) на тело действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю;
в) система не замкнута, но сумма проекций внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю, тогда остаётся постоянной «сумма проекций импульсов всех тел системы на эту ось»;
г) время взаимодействия мало (удар, выстрел, взрыв); в этом случае импульсом внешних сил можно пренебречь.
Рассмотрим практические примеры.
-
Пушка массы M стреляет снарядом массы
. Скорость снаряда
и снаряд летит горизонтально. Чему равна скорость пушки после выстрела, если пушка стоит на гладкой поверхности и трения нет?
Поскольку внешние силы (силы тяжести и силы реакции поверхности) действуют по вертикали, то горизонтальная проекция импульса системы пушка-снаряд сохраняется.
.