Неделько ч2 (1106086), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

1. Найти соотношение, связывающее скорость , достигнутую ракетой с её массой в один и тот же момент времени. Масса ракеты на старте , скорость газовой струи относительно ракеты постоянна, направлена против движения и равна

Будем считать, что ракета находится в космическом пространстве далеко от звёзд и планет, а значит можно считать, что внешние силы не действуют на ракету. Кроме того, нет налипания метеоритов и космической пыли. Тогда, согласно уравнению Мещёрского:

,

где ;

или , откуда

Эта формула носит название формулы Циолковского. Она показывает в частности насколько тяжело забрасывать на космические орбиты спутники. Например, чтобы вывести на орбиту вокруг Земли спутник массой 1 кг, надо затратить массу топлива по самым минимальным требованиям (без учёта сил сопротивления слоёв атмосферы при взлёте, влияния Земли , …) примерно 10 кг. Дело в том, что скорость ракеты должна достичь первой космической, т.е. , а скорость газовой струи в ракетах на химическом топливе не превышает , т.е. . Если ракета должна выйти за пределы земного тяготения, то и тогда надо затратить , а если надо, чтобы ракета навсегда покинула Солнечную систему, то и тогда надо затратить . В реальности массы затраченного топлива на 1 кг полезной массы существеннобольше.

IVСеминар.

ПОЛЕВОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ «СПЛОШНАЯ СРЕДА»

Модель «сплошная среда» ‑ средство описания тел, физические свойства которых изменяются непрерывно (см. I часть). Объектами модели «сплошная среда» являются твёрдые, жидкие и газообразные тела.

В механике классификация тел по их агрегатному состоянию принята следующая.

Твёрдые тела – физические объекты, имеющие форму и объём;

жидкие – физические объекты, имеющие объём, но не имеющие собственной формы;

газы ‑ физические объекты, не имеющие ни собственной формы, ни собственного объёма.

Жидкость принимает форму сосуда, в котором находится, например, форму стакана, если она налита в стакан, но если стакан разбить, то жидкость растечётся, т.е. пластически деформируется.

Деформация – это изменение конфигурации объекта за счёт внешнего воздействия или внутренних сил, в частности, механическая деформация – изменение взаимного расположения частиц материальной среды (твёрдой, жидкой, газообразной), которое приводит к изменению формы и размеров тела или его частей и вызывает изменение сил взаимодействия между частицами. Деформации называют упругими, если они исчезают после снятия нагрузки, или пластическими, если после снятия нагрузки они не исчезают. Силы взаимодействия между частицами называют внутренними напряжениями. Напряжения в жидкости (газе) не имеют касательной составляющей. Статические напряжения в жидкости (газе) всегда нормальны к поверхности любого выделенного объёма. Напряжения в жидкостях и газах называют давлением.

Таким образом, давление в жидкости (газе) – сила , действующая на единицу площади поверхности выделенного объёма и направлена нормально к поверхности: . В системе СИ единица измерения давления . Используют также внесистемные единицы: физическая атмосфера – технической атмосферы, равной .

В расчётах на базе модели «сплошная среда» используют математическую теорию поля. Необходимые элементы математической теории поля и их физическая интерпретация приведены в «Математическом дополнении» (см. I часть). Мы используем эти дополнения при рассмотрении практических примеров.

Инварианты поля: поток вектора

1. Найти поток постоянного вектора через поверхность круга радиуса , вектор нормали которого образует с направлением вектора угол (рис. 33).

Используя определение потока вектора и учитывая, что вектор постоянный, получим

.

2. Найти поток постоянного вектора через поверхность полусферы радиуса (см. рис. 34).

Поскольку вектор постоянный, то источников поля внутри полусферы нет. В этом случае полный поток, который является суммой входящего и выходящего потоков равен 0.

Графически это видно из картины линий вектора , проходящих через полусферу, а именно: число входящих линий вектора равно числу его выходящих линий. (Поле вектора однородно, так как вектор постоянный и изображается равноотстоящими друг от друга прямыми линиями, идущими по направлению вектора ).

Поток относится к классу псевдоскаляров, т.е. не зависит от направления, но может быть положительным или отрицательным, причём знак потока определяется только знаком косинуса угла между направлением вектора и внешней нормалью к поверхности (рис. 35). Таким образом, входящий поток отрицателен, а выходящий поток положителен, а их сумма равна нулю, откуда следует, что поток через поверхность полусферы

.

3. Жидкость плотности течёт со скоростью . Выделим площадку , единичный вектор нормали к которой образует угол с направлением скорости (рис. 36). Найти массу жидкости , протекающей через площадку за время .

По определению , где ‑ плотность жидкости, а ‑ объём прошедшей через площадку жидкости. По определению (см. «Мат. доп.», объём прошедшей за единицу времени через площадку жидкости равен потоку жидкости , и тогда

.

Дивергенция вектора

1. Найти дивергенцию поля радиус-вектора (исключая точку )

.

Циркуляция вектора

1. Пусть ‑ сила, действующая на частицу.

а) Какой физический смысл имеет циркуляция по контуру ?

б) В каких случаях циркуляция вектора равна нулю?

а) По определению циркуляция вектора равна , а это работа, совершаемая над частицей при её перемещении по замкнутой траектории.

б) Работа равна нулю, если – потенциальная сила, т.е. когда силовое поле потенциально.

2. Скорость течения воды в канале , где ‑ константа, ‑ высота уровня от дна канала. Изобразить линии поля скорости .

Поскольку скорость направлена вдоль оси и увеличивается с увеличением , то линии поля скорости представляют из себя параллельные прямые, направленные вдоль оси , густота которых возрастает по мере увеличения (рис. 37).

ВОПРОСЫ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. На рис. 38 изображены линии векторного поля. Определить знак потока вектора через замкнутую поверхность в приведённых случаях.

2. Найти дивергенцию поля заданного функцией .

.

1. Скорость течения воды в канале , где , ‑ высота уровня воды от дна канала. Найти циркуляцию вектора по контуру , показанному на рис. 39.

По определению циркуляция вектора равна

, т.е. .

Так как на участках и направление обхода перпендикулярно направлению скорости, то соответствующие интегралы равны нулю; на участке , так как и таким образом

.

Градиент

Градиент входит в основное уравнение гидродинамики для идеальной жидкости.

, где ‑ удельный вес жидкости.

Жидкость называют идеальной, если в ней не возникают силы вязкости (внутреннего трения) при любых её движениях.

1. Если жидкость покоится и при этом силы тяжести не учитывают ( ), то уравнение имеет вид:

.

Итак, согласно этому уравнению, если нет силы тяжести, то при равновесии давление во всех точках жидкости одинаково (закон Паскаля).

1. Если учесть вес жидкости, то имеем

.

Отсюда видно, что если ось направлена вверх, то при механическом равновесии давление не может зависеть от и ; таким образом, на каждой плоскости давление постоянно. Давление зависит от координаты

P ,

где – давление жидкости на уровне , т.е. если начало координат поместить на свободную поверхность жидкости. Эта формула определяет давление жидкости на дно и стенки сосуда, а также на поверхность любого тела, помещённого в жидкость.

Следствием закона Паскаля является закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость (или газ) действует выталкивающая сила, направленная вверх, проходящая через центр масс вытесненной телом жидкости и численно равная весу жидкости, вытесненной телом. Точку приложения выталкивающей силы называют центром плавучести тела.

Таким образом, для равновесия тел, находящихся в жидкости, необходимо, чтобы вес тела был равен весу вытесненной им жидкости, а центр плавучести лежал на одной вертикали с центром масс тела.

При этом равновесие устойчиво, если центр масс тела ( ) лежит ниже его центра плавучести ( ), и неустойчиво, если он лежит выше ( ) (см. рис. 40).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

1. Найти давление в точке (см. рис. 41).

2. Почему сила, с которой жидкость действует на дно сосуда, может быть в зависимости от формы сосуда больше или меньше веса налитой в сосуд жидкости (явление называют гидростатическим парадоксом).

Пусть в три сосуда, имеющих одинаковую площадь дна и разную форму, налита вода до одинакового уровня (рис. 42). Сила давления, с которой жидкость действует на дно, всегда равна , где ‑ давление на глубине , оно не зависит от формы сосуда и равно ( – плотность жидкости) (см. задачу № 1). Во всех трёх случаях сила давления жидкости на дно сосудов одинакова.

Характеристики

Список файлов лекций