Неделько ч2 (1106086), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
1. Считая, что спутник Земли движется по круговой орбите, найти приращение импульса 
и приращение модуля импульса 
спутника за время 
, где 
‑ период обращения, 
‑ радиус Земли (см. рис. 23).
2. В процессе столкновения тела со стенкой известен закон силы, с которой стенка действует на тело: при 
; 
. Начальный импульс тела 
. Найти:
а) конечный импульс тела 
и изобразить его на рисунке;
б) импульс , переданный стенке (см. рис. 24).
Семинар III.
ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ
Движение твёрдых тел и тел с переменной массой в общем случае описывают в рамках модели «система материальных точек».
Существует несколько определений системы объектов. Одно из них: «Система – совокупность объектов, связанных внутренними связями». Внутренние связи – функциональные связи объектов системы между собой. Связи системы с окружающими систему объектами, не входящими в неё, называют внешними. Поскольку есть взаимодействия внутренние и взаимодействия внешние, то соответственно их мерами являются внутренние и внешние силы. Таким образом, каждый элемент системы (объект) подвержен действию внутренних (
) и внешних (F) сил. Системы, на которые внешние силы недействуют, называют замкнутыми.
Свойства элементов системы называют элементными. В инерциальных системах отсчёта для каждого элемента системы справедливы аксиомы Ньютона.
Свойства системы как целого объекта, называют системными. Для системы справедливо
,
т.е. сумма внутренних сил равна нулю.
К системным свойствам относятся импульс системы 
(
–импульс каждого элемента системы) и момент импульса 
(
‑ момент импульса каждого элемента системы).
Частным случаем модели «система материальных точек» является модель «абсолютно чёрного тела» (АТТ) ‑ система материальных точек, расстояния между которыми остаются постоянными при любых процессах, происходящих в системе и окружающей её среде. Модель АТТ используется для описания реальных твёрдых тел.
В реальной ситуации твёрдые тела совершают сложные движения. При описании сложного движения тела это движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений. По определению при поступательном движении тела все точки тела описывают одинаковые траектории и одинаковые по численной величине и направлению скорости и ускорения.
При вращательном движении траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами на прямой, называемой осью вращения. В части I введена в рассмотрение точка, которая носит название «центр масс » (или «центр инерции », или «центр тяжести » ‑ в рамках данного курса все три названия равноправны): 
. При использовании этой величины сложное движение тела, рассматриваемое в модели «АТТ» можно описать как его поступательное движение и одновременное вращение вокруг оси, проходящей через центр масс. Формализм описания даёт два уравнения:
,
,
где 
‑ масса тела; 
‑ ускорение центра масс; 
‑ результирующая всех внешних сил, действующих на тело: 
; 
‑ момент инерции тела; 
; где 
‑ момент инерции -го элемента тела; 
‑ угловое ускорение тела; 
‑ результирующий момент вращения 
.
Частным случаем состояния тела является его равновесие. Условия равновесия при использовании уравнения движения имеют вид:
.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
К однородному стержню массы 
и длины 
приложены две силы 
и 
(рис. 25). Найти ускорение точки 
и угловое ускорение стержня. Как изменится ответ, если силу приложить к точке 
(рис. 26)?
Согласно выше рассмотренному, уравнения движения стержня в модели АТТ имеют вид:
.
Поскольку силы проходят через центр масс (первый случай), то моменты этих сил равны нулю, а значит, вращения нет, и тело совершает поступательное движение с ускорением 
, величина ускорения 
Во втором случае момент силы остаётся равным нулю, поскольку сила 
проходит через центр масс, а момент силы будет равен 
, так как 
и 
. Это означает, что возникнет вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс (точку С) с ускорением 
; при этом ускорение поступательного движения неизменится, т.е. останется равным 
, так как ускорение поступательного движения тела зависит только от величины и направления действующих на него внешних сил, но не зависит от точек их приложения.
Чтобы найти величину , надо знать величину . Для этого надо использовать «Физический справочник», в котором приводится значение момента инерции однородного стержня длины и массы вращающегося вокруг центра масс: 
. Используя уравнение вращательного движения, получим: 
.
ПРИМЕР НА РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ
Человек несёт на плече коромысло, к которому подвешены два ведра, в которые налиты различные количества воды (рис. 27). Вёдра одинаковые, а коромысло очень лёгкое. В каком из вёдер воды больше?
Раз вёдра находятся в равновесии, то выполнены два условия.
1. Условие отсутствия поступательного движения в направлении действия сил:
, где 
, 
‑силы веса ведёр; 
‑ сила реакции опоры со стороны плеча.
2. Условие отсутствия вращательного движения: 
, где 
‑момент силы веса первого ведра, который вращает ведро по часовой стрелке, а значит, отрицателен. 
‑ момент силы второго ведра, который вращает ведро против часовой стрелки, а значит, положителен.
Первое уравнение ответа на вопрос не даёт, а из второго уравнения следует, что 
или 
. Так как 
, то воды больше в первом ведре.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Однородный сплошной цилиндр массы висит в горизонтальном положении на двух намотанных невесомых нитях. Цилиндр опускают без толчка. За сколько времени 
цилиндр опустится на расстояние (рис. 28)?
Согласно общему правилу описания движения твёрдого тела, имеем:
- для поступательного движения 
;
- для вращения 
(рис. 29).
Решая эти уравнения, имеем: 
; 
– линейное ускорение; – угловое ускорение; их связь (см. ранее) 
и тогда 
. Для получения результата надо знать, чему равен момент инерции . Его можно рассчитать, аможно посмотреть в «Физическом справочнике» чему равен момент инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через центр масс: 
. Итого, имеем после подстановки 
или 
. Поскольку ускорение постоянное, то 
или 
.
2. Катушку тянут за нить по полу, как показано на рис. 30, причём ускорение катушки постоянно и равно . При каком коэффициенте трения между ободами катушки и полом катушка будет скользить не вращаясь? Радиусы обода и вала катушки равны и 
.
Согласно условию, катушка движется поступательно с ускорением и не вращается. Таким образом, согласно общим правилам описания движения твёрдого тела
=−
,
, где 
, а 
(1)
Так как сила 
вращает катушку против часовой стрелки, а сила трения вращает катушку по часовой стрелке, то они имеют разные знаки и таким образом
(2)
Итак,
… ….(3)
Решая (1), (2), (3), получим
.
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ
Как показано в части (1), для системы материальных точек имеет место закон изменения импульса системы: в инерциальной системе отсчёта приращение импульса системы материальных точек 
равно импульсу внешних сил 
, действующих на систему = . Использование этого закона позволяет получить закон движения тел с переменной массой.
Рассмотрим частный пример. По улице движется автомобиль (рис. 31). Пусть в момент времени 
масса автомобиля и скорость 
, т.е. его импульс 
(в этот момент автомобиль начинает поливать улицу). Через время 
масса автомобиля 
, где 
‑ масса вылившейся воды. Будем считать, что расход воды, т.е. масса выливающейся воды в единицу времени, постоянный и равен 
; знак минус означает, что масса автомобиля убывает.
Применим к системе (автомобиль и вылитая вода) закон изменения импульса.
Итак, через время импульс системы (автомобиль и вылившаяся вода) складывается из импульса автомобиля 
и из импульса вылитой воды 
. Отметим, что скорость воды складывается из скорости автомобиля ‑ такую скорость имеет вода в баке машины, и скорость струи воды 
относительно автомобиля, когда её расходуют на полив (см. рис.) – эту скорость называют относительной. Итак, приращение импульса системы за время
Равно импульсу действующих на систему сил 
Проведём арифметические операции.
+
+
.
Получаем 
(мы пренебрегли бесконечно малым членом второго порядка 
.
По аналогии с формой закона Ньютона для материальной точки, запишем закон виде
,
А математический эквивалент этого закона
.
Это уравнение называют уравнением Мещёрского для тела, выбрасывающего часть своей массы со скоростью при ежесекундном расходе 
. Член уравнения 
называют реактивной силой. В рассматриваемом случае масса тела уменьшается и реактивная сила отрицательна; если масса тела будет увеличиваться, например, если хулиганы будут забрасывать грязью автомобиль и она будет прилипать к автомобилю, то реактивная сила будет положительной. В общем случае может быть несколько реактивных сил, как положительных, так и отрицательных. Поэтому в общем случае уравнение будет иметь вид
.
Рассмотрим конкретные примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
