Неделько ч2 (1106086), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Итак, используя выражения для кинетической и потенциальной энергий атомов идеального газа, можно записать распределение Гиббса в виде

.

Общее выражение для разбивается на два сомножителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от импульсов. Поскольку сомножители не зависят друг от друга, то вероятности для импульсов и координат будут также независимы, т.е. значения импульсов никак не влияют на вероятности координат ( ), а значения координат никак не влияют на вероятности импульсов ( ). Но тогда , где – вероятность различных значений импульсов, ‑ вероятность различных значений координат. Так как выполняется условие

или ,

то можно найти и .

Итак, распределение вероятностей по импульсам для идеального газа, состоящего из -атомов, будет иметь вид

.

Напомним, что ‑ краткая запись. Состояние каждой -молекулы газа определяется тремя координатами ( ) и тремя проекциями импульса ( ). Таким образом, если в газе содержится -молекул, то

,

где верхние индексы ‑ относятся соответственно к 1 молекуле, 2 молекуле, … N-молекуле. Таким образом,

.

Видно, что выражение состоит из сомножителей, каждый из которых зависит только от импульсов одного атома, а это означает, что вероятность импульсов различных атомов не зависит друг от друга, т.е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других, т.е.

.

Это даёт возможность написать распределение вероятностей для импульсов каждого атома

.

Далее индекс опускаем, но надо помнить, что все дальнейшие формулы, касающиеся распределения Максвелла, относятся к одному атому, т.е.

Поскольку , то можно найти

.

В Справочнике по интегралам находим . Так как в нашем случае , и окончательно получим выражение распределения вероятностей для импульсов каждого атома

.

Заменяя импульсы на скорости ( ), получаем распределение вероятностей для скоростей

,

которое носит название распределение Максвелла. Оно представляет собой произведение трёх независимых множителей, каждый из которых представляет собой распределение вероятностей для одной компоненты скорости, например, для : аналогично для и .

Часто используют распределение вероятностей для абсолютной величины скорости . Чтобы его получить, распределение Максвелла для скоростей (2) записывают в сферической системе координат. Согласно математическим правилам, если надо перейти от декартовых координат к сферической системе, то вместо надо записать , где ‑ абсолютная величина скорости, ‑ полярный угол, ‑ азимут (эти углы определяют направление скорости) и проинтегрировать выражение по углам.

Интегрирование по углам даёт величину и распределение вероятностей для абсолютной величины скорости

.

Теперь обратимся ко второму сомножителю в распределении Гиббса – вероятности распределения различных значений координат. Вероятность различных значений координат

.

Для газовой молекулы потенциальная энергия тяготения зависит только от высоты и имеет вид . Поэтому, если в системе газа находится -молекул, то, поскольку координаты молекул независимы

.

Таким образом, зависимость распределения вероятностей для одной молекулы

. Поскольку , где интегрирование проводится по всем возможным значениям , то .

Если вместо распределения вероятностей ввести ‑ среднее число частиц в единице объёма на высоте , то распределение принимает вид , где ‑ число частиц при . Это распределение называют формулой Больцмана.

ВОПРОСЫ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ОСВОЕНИЕ

Использование распределения Максвелла при решении практических проблем

1. Вычислить среднее значение кинетической энергии атома.

По определению, среднее значение , где – средние значения квадрата компонент скорости.

Формула для расчёта среднего значения

;

в данном случае , – распределение Максвелла для компоненты скорости молекулы (см. ранее).

Таким образом, общая формула для расчёта

.

Если обозначить через , а через , то интеграл можно представить виде

.

Находим его значение в справочнике по интегралам и используя его, получим:

.

Поскольку и находятся аналогично, то имеем и . Если имеется идеальный газ, состоящий из -частиц, то его средняя кинетическая энергия .

1. Найти распределение вероятностей для абсолютного значения импульса .

Используя распределение Максвелла для абсолютного значения скорости и формулу , получим .

1. Найти распределение вероятностей для абсолютного значения энергии .

Используя распределение Максвелла для абсолютного значения импульса и формулу , получим

.

1. Используя полученное распределение для энергии, найти среднее значение кинетической энергии молекулы газа.

.

Используя справочник по интегралам, получим . Такой же результат получен ранее при рассмотрении распределения вероятностей для компонент скоростей.

1. Используя формулу Больцмана, получить распределение атмосферного давления с высотой.

Используя формулу Больцмана и , получим , где ‑ давление на поверхности Земли.

VII семинар.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА

Фундаментальным законом электростатики является закон Кулона, а фундаментальным законом магнитостатики – законы Био-Савара и Ампера.

Основное значение фундаментальных законов –получение с их использованием следствий различной универсальности, используемых в широких областях науки и практики. Из фундаментальных законов выводят следствия, которые сами могут выполнять роль аксиом, т.е. использоваться в широкой области условий и служить средством вывода следствий для частных случаев, в свою очередь, следствия, полученные для частных случаев, могут быть использованы для получения следствий для частных случаев в конкретных ситуациях и т.д.

Таким образом, имеет место цепочка: фундаментальные аксиомы – общие следствия – частные следствия – результаты для конкретных ситуаций.

В рамках данной цепочки рассмотрим фундаментальные законы электростатики и магнитостатики.

1. Электростатика

Закон Кулона можно интерпретировать как в модели дальнодействия, так и в модели близкодействия. В электродинамике Максвелла используют модель близкодействия, т.е. полевую (см. часть I). Чтобы использовать закон Кулона в полевой модели, его нормируют на единицу заряда, и нормированную силу называют напряжённостью электрического поля , т.е. при условии, что заряд помещён в центр координат.

Напомним, что в арсенале средств математической теории поля имеют место инварианты поля, т.е. математические объекты, свойства которых не зависят от выбора системы координат. Таким инвариантом поля является поток вектора (см. Мат. дополнения).

По определению (см. Мат. дополнения), поток вектора через поверхность . В качестве вектора возьмём вектор напряжённости электрического поля, тогда поток вектора напряжённости электрического поля Вычислим поток вектора для простейшего случая. Поместим в центр замкнутой сферической поверхности радиуса точечный заряд и рассчитаем поток вектора через эту поверхность (рис. 50). Итак,

.

т.е. в данном случае поток вектора равен величине заряда делённого на . Такая связь потока вектора и зарядов имеет место и в общем случае. Существует теорема Гаусса, которая гласит, что поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности (рис. 51):

.

Итак, теорема Гаусса является следствием закона Кулона и играет роль аксиомы для более сложных моделей. Используя теорему Гаусса, можно получить следствия для частных случаев. В качестве примера рассмотрим поле однородно заряженной плоскости.

Сначала кратко рассмотрим заряженные тела, которые нельзя считать материальными точками, а следовательно, точечными зарядами. Для зарядов, которые нельзя считать точечными, вводятся более сложные модели зарядов, а именно: объёмный заряд, поверхностный заряд, линейный заряд.

а) Объёмный заряд ‑ заряд, распределённый по объёму тела с плотностью : .

б) Поверхностный заряд ‑ заряд, распределённый по поверхности тела с плотностью : .

в) Линейный заряд (используется для тел, продольные размеры которых много больше поперечных, например, для нитей, верёвок, струн и т.п.) ‑ заряд, распределённый по L-длине тела плотностью λ:

Итак, найдём напряжённость электрического поля однородно заряженной с поверхностной плотностью заряда плоскости. Если в качестве средства расчёта использовать теорему Гаусса, то следует выбрать часть заряженной плоскости площадью , построить замкнутую поверхность и рассчитать поток вектора . Можно выбрать произвольную поверхность, но обычно выбирают такую, чтобы расчёт интеграла был максимально простой. Учитывая конфигурацию поля, создаваемого плоскостью (рис. 52), удобно выбрать замкнутую поверхность формы цилиндра, площадь основания которого равна и параллельна выбранной части заряженной плоскости (рис. 52), на которой расположен заряд . В этом случае поток через поверхность разобьётся на три: два потока через основание и один через боковую поверхность. Нормали к основаниям цилиндра совпадают с направлением напряжённости электрического поля плоскости, а нормаль к боковой поверхности перпендикулярна вектору

или или в векторном виде , где ‑ единичная нормаль к плоскости.

Характеристики

Список файлов лекций