Неделько ч2 (1106086), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Обычно фундаментальную аксиоматику и общие следствия из неё, играющие роль аксиом, называют аксиоматикой соответствующего раздела физики (аксиоматика механики, аксиоматика электродинамики…), а саму фундаментальную аксиоматику либо связывают с именем автора: аксиоматика Ньютона, аксиоматика Максвелла, либо указывают их фундаментальность: начало термодинамики.

§ 2. Общий порядок действий при решении проблем
с помощью аксиоматических систем

1. Проведение анализа начальной информации и заданной цели и выбор аксиоматической системы. В рамках классической физики этот пункт проблем обычно не создаёт, поскольку в каждом разделе физики существует аксиоматика, а раздел физики установить по начальной информации и цели проблемы не составляет.

2. Формирование модели физического явления ‑ исключение из начальной информации несущественных для достижения цели объектов и их свойств. В общем случае процесс сложный, неоднозначный, приводит к различным вариантам и проблеме выбора.

3. Формирование физической модели физического явления – задание каждому объекту его модели и модели его движения. Модели объектов выбирают из набора моделей объектов используемой аксиоматики. Выбор реализуют, используя формальные определения моделей объектов и анализ модели физического явления. Для выбранной модели объекта берут соответствующую аксиоматику.

4. Формирование полной системы уравнений. Строго говоря, формируют не систему уравнений, а систему выражений, поскольку не все выражения, входящие в систему, представляют собой уравнения. Система выражений должна быть полная, т е. число выражений должно быть равно числу неизвестных. Поскольку термин «полная» привычен для системы уравнений, обычно систему выражений обозначают как систему уравнений.

После формирования физической модели явления имеют формализованное описание модели объектов и моделей их движения (аксиом). К ним добавляют данные начальной информации. Получают систему уравнений, проверяют её полноту и наличие в ней искомой величины. Если условия полноты и наличия в системе искомой величины выполнены, систему переводят в математическую.

1. Получение результата. Математическую систему решают, конечную формулу переводят в физическое представление, путём задания каждой величине, содержащейся в формуле, единиц измерения (для всех величин используется одна система единиц измерений, обычно СИ). С единицами измерений проводят арифметические операции и получают единицу измерений искомой величины. Её проверяют на размерность.

2. Решение сложных задач. Как правило, аксиом и начальной информации без проведения дополнительных операций с ними достаточно для решения простейших задач. При решении сложных задач с аксиомами и данными начальной информации приходится проводить дополнительные операции. Дополнительные операции сводятся к выводу следствий.

Часто набор операций, используемый при решении одной задачи, может быть использован при решении целого класса задач. В этом случае набор операций становится методом решения. Поскольку при решении используют формальные правила и проводят формальные операции, то решение можно строго формализовать, т.е. расписать подробную последовательность правил действий (подробную инструкцию для пользователей), выполняя которую можно автоматически получить решение – другими словами, построить алгоритм решения. И такие алгоритмы существуют для получения практических результатов, например, в технологических процессах.

Однако в качестве метода обучения решению задач они не эффективны, поскольку уже при решении простых задач надо проводить большое число логических и математических операций и при увеличении сложности задачи объём операций быстро возрастает. Освоение даже одного алгоритма занимает очень много времени. Более того, при решении задач учитывают конкретные условия, а они индивидуальны для каждой задачи, что приводит к необходимости построения алгоритма для каждой задачи.

Решение задач чисто формальными (логическими) способами связано с проведением сложных многоходовых операций и занимают много времени, поэтому в процессе эволюции человек научился при решении различных проблем использовать интуицию и опыт. Интуиция – способность получения результата без проведения последовательности логических операций. Результат получают сразу после действий, которые, казалось, к процессу решения отношения не имеют, поскольку интеллектуальными их трудно назвать: теребление или жевание собственных волос, грызение карандаша или собственных ногтей и т.п. Способность использовать интуицию при решении проблем формируется в детском и юношеском возрасте, причём стихийно, поскольку нет обучающих методов, гарантирующих такое обучение.

Использование опыта при решении проблем универсально. Известно, что если задачу решать формальными методами, то, не имея опыта, решающий перебирает возможные варианты решений, имеющий опыт выбирает сразу нужный вариант, а человек с большим опытом (профессионал) узнаёт в задаче уже когда-то решённую.

Данный курс не ставит цель: обучение решению задач. Цель курса в части «Физика вычислений» сформировать у студентов представление о том, как решают задачи. Это представление обеспечивает эффективное освоение новой физической информации, заданной в готовом виде. Собственно, это и нужно не-физику, который является не изготовителем, а пользователем готовой информации. Чтобы сформировать такое представление, надо знать понятийный аппарат физики и общие правила действий с ним.

§ 3. Общая структура решений учебных задач

Учебные задачи составляют класс задач, с помощью которых идёт обучение студентов навыку практического решения задач. Для этих задач существуют таксономии (классификация задач по сложности), по которым в курсах, в которых было предусмотрено обучение решению задач, задавали класс сложности задач, использующихся при обучении для каждой категории студентов. Например, для биологов – задачи второй категории сложности (использование при решении простых логических операций). Поскольку цель данного курса – формирование представления о том, как решают задачи, то ограничимся только описанием общей структуры решений и демонстрационными задачами.

Итак, в каждой задаче содержится начальная информация (условие задачи) и задана цель (что надо найти). Обычно надо найти значения физических величин или связь между величинами. Начальная информация и цель определяют выбор аксиоматической системы.

В начальной информации содержатся данные о фрагменте материального мира. В соответствии с целью, из этих данных надо сформировать модель физического явления, т.е. убрать ту часть объектов и их свойств, которые несущественны. Как ранее указывалось, эта операция сложна, результат неоднозначен и сильно усложняет решение задачи. Поэтому в задачах второй категории сложности, т.е. предназначенных для обучения биологов, обычно в условии задачи дают готовое описание модели физического явления. В правильно составленном условии стандартной задачи второй категории сложности нет объектов, не участвующих в решении.

Для увеличения эффективности решения переводят текст в наблюдаемый образ (делают чертёж). Часто в условии задачи уже имеется чертёж. На базе условия (модели физического явления) и выбранной аксиоматики формируют физическую модель явления: каждому объекту задают его модель и соответствующую модель его движения. Поскольку в решении участвуют конкретные величины, заданные по условию, то модель движения каждого объекта записывают с учётом этих конкретных величин.

Например, в задачах механики, в которых в качестве модели объекта используют модель «материальная точка», модель движения – второй закон Ньютона записывают с учётом всех сил, действующих на тело в условиях данной задачи.

Записав модель движения для каждого объекта и/или системы объектов и добавив конкретные условия (начальные условия, граничные условия, значения величин, их отношения, …), получают систему уравнений. Если система полная и содержит искомую величину, то переходят к математической модели физического явления (см. I часть). Если система уравнений неполная, то проводят операции с целью получения полной системы уравнений. Основной метод получения дополнительной информации – вывод следствий из данных условия. В простейших задачах данные условия в формализованном виде непосредственно добавляют в систему уравнений. В сложных задачах из данных условия выводят следствия, и эти следствия добавляют в систему уравнений.

Полная система уравнений содержит выражения, заданные в векторном и скалярном видах. Поскольку обычно требуется найти значения величин, то всю систему записывают в скалярном виде. Для перевода в скалярный вид проводят следующие операции: выбирают удобную систему координат, записывают векторные уравнения в проекциях на оси. Знаки проекций определяют по стандартному правилу: если составляющая вектора вдоль оси совпадает с положительным направлением оси, то берут проекцию со знаком «плюс», если нет – «минус».

Полученную систему решают как чисто математическую. Конечную формулу переводят в физическое представление, для чего каждой величине, состоящей в формуле, задают единицу измерений (для всех величин используют одну и ту же систему единиц измерений). Проводят арифметические операции с единицами измерений величин и получают единицу измерений искомой величины. Проверяют ответ на размерность и реальность.

В качестве примера рассмотрим две задачи.

Задача 1. Тело массы скользит по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтальной поверхностью. Коэффициент трения между телом и поверхностью плоскости равен . Найти ускорение тела.

Согласно общим правилам:

‑ переводим текст в чертёж (рис. 61);

‑ проведём анализ движения тела на предмет задания модели: тело совершает поступательное движение, а значит, в качестве модели объекта можно взять материальную точку.

Выберем модель движения тела: поскольку имеем модель объекта «материальная точка», то модель движения – второй закон Ньютона . Использование второго закона Ньютона требует выбора для решения инерциальной системы отсчёта. В качестве системы отсчёта выберем Землю.

Составим систему уравнений. Поскольку во втором законе Ньютона ‑ результирующая сила, то учтём все силы , действующие на тело в условиях данной задачи:

,

где ‑ сила трения, ‑ сила реакции опоры, ‑сила тяжести (рис. 62).

Добавим данные условия: по условию тело скользит, значит, действует сила трения скольжения, закон которой . Кроме того, в уравнение движения входит величина ‑ ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. Формально её значение не задано, но студенты должны его знать: .

Переведём систему уравнений в скалярный вид. Выберем удобную систему координат: система координат удобная, если движение одномерно. Ось направим вдоль наклонной плоскости и зададим положительное направление по направлению движения тела (рис. 63). Запишем уравнения в скалярном виде:

.

Решение системы даёт: . Подставляя единицы измерения, получим, что имеет размерность , т.е. размерность ускорения. В данной задаче только одна величина имеет размерность , ( ‑ величины безразмерные), поэтому проблема размерности конечного результата решается сразу без проведения каких-либо арифметических операций с единицами измерений. Подставляя числовые значения, получим

Характеристики

Список файлов лекций