Диссертация (1097926), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ξ è c óíêöèÿ Fsft () ëèáî èìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè, ëèáî èìååò òîëüêî îäèí äâóêðàòíûé êîðåíü. Ñëåäóÿ ðàáîòàì [224, 226, 242℄, ìûðàññìîòðèì ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè F , èìåþùåé êîðíèïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ.1.3.2. Òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà äëÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèéÒåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà Tµν çàäà¼òñÿ îðìóëîé (1.18). åøåíèÿ ñèñòåìû (1.16)(1.17) êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì âèäà (1.63) áûëè èçó÷åíû è ïðîàíàëèçèðîâàíû â ðàáîòàõ [223, 224, 226, 242℄, ïðåäñòàâëåííûõ â äèññåðòàöèè.Îáîçíà÷èì ïðîñòûå êîðíè óíêöèè F êàê Ji , à äâóêðàòíûå êàê J˜k .×àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.17) áóäåì èñêàòü â ñëåäóþùåì âèäåφ0 =N1Xφi +i=1N2Xφ̃k ,(1.66)k=1ãäå N1 è N2 ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ïðåâûøàþùèå ÷èñëà êîðíåé ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà óíêöèè F , ëèáî íóëè.
Ôóíêöèè φi è φ̃k ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:( − Ji)φi = 0,2˜ − Jk φ̃k = 0.(1.67)Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ i1 è i2 6= i1óñëîâèÿ Ji1 6= Ji2 è J˜i1 =6 J˜i2 âûïîëíÿþòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñóììà (1.66)âêëþ÷àåò äâà ñëàãàåìûõ φi1 è φi2 , ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó è òîìó æå Ji , òîèõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ñëàãàåìûì φi ≡ φi1 + φi2 , êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò Ji .Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî φ0 . Ïåðåä òåì, êàê ïîëó÷èòü îáùóþ îðìóëó, ìû ðàññìîòðèì52íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Ìû îáîçíà÷èì òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà îò óíêöèè φ(t) êàê Tµν (φ).Ïóñòü φ0 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì êîðíåì φ0 = φ1 òàêèì, ÷òî φ1 = J1 φ1 , òîãäà∞n−11 X X n−1F ′(J1)Eµν (φ1 ) =fnJ ∂µ φ1 ∂ν φ1 =∂µ φ1 ∂ν φ1 ,2 n=1 l=0 12∞n−1∞1 X X n 2 J1 XJ1F ′ (J1) 2fnJ1 φ1 =fn nJ1n−1φ21 =φ1 .W (φ1) =2 n=1 l=02 n=12(1.68)(1.69) ñëó÷àå äâóõ ïðîñòûõ êîðíåé φ1 è φ2 ïîëó÷àåìcrEµν (φ1 + φ2 ) = Eµν (φ1 ) + Eµν (φ2) + Eµν(φ1, φ2 ),(1.70)ãäåcrEµν(φ1 , φ2) = A1 ∂µ φ1 ∂ν φ2 + A2∂µ φ2 ∂ν φ1 .Ëåãêî âû÷èñëèòü, ÷òîl∞n−1 XJF (J1) − F (J2)1X2=A1 =fn J1n−1= 0,2 n=1J2(J−J)112l=0A2 = 0.crÑëåäîâàòåëüíî, Eµν(φ1 , φ2) = 0 èEµν (φ1 + φ2 ) = Eµν (φ1) + Eµν (φ2).(1.71)Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äàþò:W (φ1 + φ2 ) = W (φ1) + W (φ2).(1.72) ñëó÷àå N ïðîñòûõ êîðíåé ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ îðìóëà [224℄:!NNXX1′ρσ2Tµνφk =F (Jk ) ∂µ φk ∂ν φk − gµν g ∂ρ φk ∂σ φk + Jk φk .
(1.73)2k=1k=1Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ òåíçîðîì ýíåðãèèèìïóëüñà N ñâîáîäíûõ ìàññèâíûõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé. Åñëè F (J) èìååòïðîñòûå äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, òî ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ53F ′ (Ji) ÷åðåäóþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, èç òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà íåëîêàëüíîãî ïîëÿ ïîëó÷àþòñÿ òåíçîðû ýíåðãèèèìïóëüñà ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ëîêàëüíûõïîëåé, ÷àñòü èç êîòîðûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ àíòîìíûìè ïîëÿìè.àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé îäíîãî äâóêðàòíîãî êîðíÿ J˜1 .
Óðàâíåíèå ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà( − J˜1)( − J˜1)φ̃1 = 0(1.74)ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé:( − J˜1 )φ̃1 = ϕ1,( − J˜1)ϕ1 = 0.(1.75)Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâîl φ̃1 = J˜1l φ̃1 + lJ˜1l−1ϕ1 ,(1.76)ïîëó÷àåìEµν (φ̃1 ) = B1∂µ φ̃1 ∂ν φ̃1 + B2∂µ φ̃1 ∂ν ϕ1 + B3∂ν φ̃1 ∂µ ϕ1 + B4 ∂µ ϕ1∂ν ϕ1 ,ãäåF ′′ (J˜1)F ′′′ (J˜1)B1 = 0,B2 =,B3 = B2 ,B4 =.412Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå îäíîãî äâóêðàòíîãî êîðíÿ ïîëó÷àåìF ′′(J˜1)F ′′′ (J˜1)Eµν (φ̃1 ) =(∂µφ̃1 ∂ν ϕ1 + ∂ν φ̃1 ∂µ ϕ1) +∂µ ϕ1 ∂ν ϕ1 .412Äëÿ óíêöèè W èìååìJ˜1F ′′ (J˜1)˜W (φ1) =φ̃1 ϕ1 +2J˜1F ′′′(J˜1) F ′′(J˜1)+124!ϕ21.(1.77)(1.78)Äëÿ ñëó÷àÿ îäíîãî ïðîñòîãî êîðíÿ J2 (óíêöèÿ φ2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ φ2 = J2 φ2 ) è îäíîãî äâóêðàòíîãî êîðíÿ J˜1 ìû ïîëó÷àåì [224℄:crEµν (φ̃1 + φ2 ) = Eµν (φ̃1 ) + Eµν (φ2) + Eµν(φ̃1, φ2 ),(1.79)ãäåcrEµν(φ̃1, φ2 ) = B5∂µ φ̃1 ∂ν φ2 + B6∂ν φ̃1 ∂µ φ2 + B7∂µ ϕ1∂ν φ2 + B8∂ν ϕ1∂µ φ2 .54Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâîn−1Xn−1lyl−1l=0d X ld=y =dy l=0dy1 − yn1−y(n − 1)y n − ny n−1 + 1=,(1 − y)2ëåãêî äîêàçàòü, ÷òîcrEµν(φ̃1, φ2 ) = 0.Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ ïðèâîäÿò ê ðàâåíñòâó∞n−11X X lW (φ̃1 + φ2 ) =fn (φ̃1 + φ2 )n−l (φ̃1 + φ2 ) = W (φ̃1 ) + W (φ2 ).2 n=1 l=0Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé äâóõ äâóêðàòíûõ êîðíåé J˜1 è J˜2 .
Çàïèøåìýíåðãèþ îò ñóììû ïîëåé â âèäåcrEµν (φ̃1 + φ̃2 ) = Eµν (φ̃1 ) + Eµν (φ̃2) + Eµν(φ̃1, φ̃2 ),ãäåcrEµν(φ̃1, φ̃2 ) = B10∂µ φ̃1 ∂ν φ̃2 + B11∂ν φ̃1 ∂µ φ̃2 + B12∂µ φ̃1 ∂ν ϕ2 ++ B13∂ν φ̃1 ∂µϕ2 + B14∂µ ϕ1∂ν φ̃2 + B15∂ν ϕ1∂µ φ̃2 ++ B16∂µ ϕ1 ∂ν ϕ2 + B17 ∂ν ϕ1∂µ ϕ2.Ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òîB10 = B11 = B12 = B13 = B14 = B15 = 0.Óäîáíî ïðåäñòàâèòü B16 â ñëåäóþùåì âèäåB16∞∞n−1n−11X X1 X ˜n−1 X=fnl(n − l − 1)J˜1l−1J˜2n−l−2 =fn J2(n − l − 1)l̟l−1,2 n=1 l=02 n=1l=0ãäå ̟ ≡ J˜1 /J˜2 . Èñïîëüçóÿn−1Xl=0(n − l − 1)l̟l−1=nn−1Xl=0l̟l−1n−1X−̟(l − 1)l̟l−2 =" n−1 # l=0" n−1 #d X ld2 X l=n̟ −̟ 2̟d̟ l=0d̟ l=055èn−1Xl=0ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâón−1Xl=0(n − l − 1)l̟l−1 = n1 − ̟n,̟ =1−̟l1 + ̟n−1(2̟ − 1)1 − ̟n+2̟.(̟ − 1)2(̟ − 1)3(1.80)Òàêèì îáðàçîì,B16 =J˜2(F (J˜2) − F (J˜1)) J˜2(2J˜1 − J˜2)F ′(J˜1) + J˜22F ′ (J˜2)+= 0.(J˜2 − J˜1)32(J˜1 − J˜2)2(1.81)Ïîäîáíûå âû÷èñëåíèÿ äîêàçûâàþò, ÷òî è B17 = 0, ñëåäîâàòåëüíî,Eµν (φ̃1 + φ̃2 ) = Eµν (φ̃1) + Eµν (φ̃2).(1.82)W (φ̃1 + φ̃2 ) = W (φ̃1) + W (φ̃2).(1.83)Ìû òàêæå ïîëó÷àåìåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ äâóõ ñëàãàåìûõ, ëåãêî îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ.Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîé àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè F , èìåþùåé ïðîñòûåíóëè Ji è äâóêðàòíûå íóëè J˜k , è ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ φ0 , çàäàííîãî îðìóëîé (1.66), òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà èìååò âèä [224, 226℄:Tµν (φ0 ) = TµνN1Xi=1φi +N2Xk=1φ̃k!=N1XTµν (φi) +i=1N2XTµν (φ̃k ).(1.84)k=1Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí â ïðîèçâîëüíîé ìåòðèêå gµν .1.3.3.
Àëãîðèòì ëîêàëèçàöèè äëÿ ñëó÷àÿ C1 = 0Äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà ìû ðàññìàòðèâàëè ìîäåëü ÎÒÎ ñ íåëîêàëüíûìïîëåì. Ïîñêîëüêó àëãîðèòì ëîêàëèçàöèè äëÿ ìîäåëè ÎÒÎ [224℄ è äëÿ ìîäåëè f (R) ãðàâèòàöèè [242℄ ïðàêòè÷åñêè èäåíòè÷åí, ìû ñîðìóëèðóåì åãî äëÿ56áîëåå îáùåãî ñëó÷àÿ ìîäåëè f (R) ãðàâèòàöèè, îïèñûâàåìîé äåéñòâèåì (â áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èíàõ):Z√Sf = d4x −gm2p1f˜(R) + 22go!1φ F () φ − V (φ) − Λ .2(1.85)Êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóþò äâà òèïà f (R) ãðàâèòàöèè: ìåòðè÷åñêàÿ èâ îðìàëèçìå Ïàëàòèíè.  ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëó÷àþòñÿâàðüèðîâàíèåì òîëüêî ìåòðèêè è ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ (ñâÿçíîñòè) ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìè ìåòðèêè.  îðìàëèçìå Ïàëàòèíè íàäî âàðüèðîâàòü äåéñòâèåíåçàâèñèìî ïî ìåòðèêå è ñâÿçíîñòÿì. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìåòðè÷åñêóþ f (R) ãðàâèòàöèþ. Âàðüèðîâàíèåì äåéñòâèÿ (1.85) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:f˜(R)1f˜′(R)Rµν −gµν − Dµ ∂ν f˜′(R) + gµν f˜′ (R) = 2 (Tµν − Λgµν ) ,2mp(1.86)ãäå Tµν çàäàí îðìóëîé (1.18), è óðàâíåíèå (1.17).Îñíîâîé àëãîðèòìà ëîêàëèçàöèè èñõîäíîãî äåéñòâèÿ (1.85) â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ íåòðèâèàëüíîãî ïîòåíöèàëà V (φ) ÿâëÿåòñÿ îðìóëà (1.84).
àññìîòðèì ñëåäóþùåå ëîêàëüíîå äåéñòâèå"(NZ12mp1 X4 √Sloc = d x −gF ′ (Ji) g µν ∂µ φi ∂ν φi + Jiφ2i −f (R) − 222go i=1!N2′′ ˜′′′ ˜XF ( Jk )F ( Jk )−g µν∂µ φ̃k ∂ν ϕk +∂µ ϕk ∂ν ϕk +26k=1! !)#′′ ˜′′′ ˜′′ ˜˜˜Jk F ( Jk )Jk F ( Jk ) F ( Jk )+φ̃k ϕk ++ϕ2k+Λ .2124(1.87)Êàê ëåãêî óãëÿäåòü, ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ âàðüèðîâàíèåì ïîñòðîåííîãî ëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ Sloc, ò.å. ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéíøòåéíàè óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî φk , φ̃k è ϕk , ðåøàåò èñõîäíóþ ñèñòåìó íåëîêàëüíûõ óðàâíåíèé (1.16) è (1.17). Èòàê, ìû ïîñòðîèëè ñèñòåìû ëîêàëüíûõ (ò.å.äèåðåíöèàëüíûõ) óðàâíåíèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿèñõîäíîé ñèñòåìû íåëîêàëüíûõ óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà.57Óäîáíî ïåðåïèñàòü (1.87) â ñëåäóþùåì âèäå [242℄:"#ZN1N22XXm√p4Sloc = d x −gf (R) + Λ +Si +S̃k ,2i=1(1.88)k=1ãäåZ√1Si = − 2 d4x −gF ′ (Ji) g µν ∂µ φi ∂ν φi + Jiφ2i ,(1.89)2go"Z√1F ′′(J˜k ) 4µν∂µ φ̃k ∂ν ϕk + ∂ν φ̃k ∂µ ϕk +S̃k = − 2 d x −g g2go4!! #′′′ ˜′′ ˜′′′ ˜′′ ˜˜˜F ( Jk )Jk F ( Jk ) F ( Jk )Jk F ( Jk )+∂µ ϕk ∂ν ϕk +φ̃k ϕk ++ϕ2k ,62124×òîáû ïðîÿñíèòü èçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîëåé â ñëó÷àå äâóêðàòíîãî êîðíÿ, âûðàçèì φ̃k è ϕk â1φ̃k =F ′′ (J˜k ) −′′2F (J˜k )òåðìèíàõ íîâûõ ïîëåé ξk è χk : 2 ′′′ ˜2 ′′′ ˜′′ ˜F (Jk ) ξk − F (Jk ) + F (Jk ) χk ,33ϕk = ξk + χk(1.90)(1.91)è ïîëó÷èìZ√F ′′ (J˜k )1S̃k = − 2 d4x −g g µν(∂µξk ∂ν ξk − ∂ν χk ∂µ χk ) +2go4J˜k +(3F ′′(J˜k ) − 2F ′′′(J˜k ))ξk − (3F ′′(J˜k ) + 2F ′′′(J˜k ))χk (ξk + χk ) +12!!′′′ ˜′′ ˜˜Jk F ( Jk ) F ( Jk )(ξk + χk )2 .++124Êàê ëåãêî âèäåòü, S̃k âêëþ÷àåò â ñåáÿ îäíî àíòîìíîå ñêàëÿðíîå ïîëåè îäíî ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîå ïîëå.
Èíûìè ñëîâàìè, äâóêðàòíûé êîðåíü ïîðîæäàåò êâèíòîìíóþ ìîäåëü [135, 136℄.  ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãîïîÿâëåíèå àíòîìíûõ ïîëåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ äâóêðàòíîìó êîðíþ F (), áûëî îòìå÷åíî â [278℄.Ñîðìóëèðóåì òåïåðü àëãîðèòì ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåëîêàëüíûõãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ñ êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì, îïèñûâàåìûõ äåéñòâèåì âèäà (1.85):58• Íàéòè êîðíè óíêöèè F (J) è ïîäñ÷èòàòü èõ êðàòíîñòü.• Âûáðàòü êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ è äâóêðàòíûõ êîðíåé.• Ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ëîêàëüíîå äåéñòâèå ïî îðìóëå (1.87).• Âàðüèðóÿ äåéñòâèå (1.87), ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà è óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ ëîêàëüíûõ ïîëåé.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà êîíå÷íàÿ ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, èíûìè ñëîâàìè, ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿñëåäñòâèåì èñõîäíîé íåëîêàëüíîé ñèñòåìû è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ïðèïîèñêå ÷àñòíûõ ðåøåíèé.Çàìå÷àíèå 1.
Åñëè F (J) èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, òî îäíà íåëîêàëüíàÿ ìîäåëü ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ëîêàëüíûõ ìîäåëåé.  ýòîìñëó÷àå èç íåëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ (1.85) ïîëó÷àåòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ëîêàëüíûõ äåéñòâèé (1.87).Çàìå÷àíèå 2. Ìû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî íàø àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîãëàñîâàííûì. Ïðè ïîñòðîåíèè ëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ (1.87) ìû ïðåäïîëîæèëè,÷òî óðàâíåíèÿ (1.67) âûïîëíÿþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåííûé àëãîðèòìïðàâèëåí, òîëüêî åñëè óðàâíåíèÿ (1.67) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ëîêàëüíîãîäåéñòâèÿ (1.87). ßâíûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óðàâíåíèÿ (1.67) ïîëó÷àþòñÿ âàðüèðîâàíèåì äåéñòâèÿ (1.87):δSloc=0δφi⇔δSloc=0δ φ̃kφi = Jiφi ;⇔ϕk = J˜k ϕk .(1.92)Èñïîëüçóÿ (1.92), ïîëó÷àåìδSloc=0δϕk⇔φ̃k = J˜k φ̃k + ϕk .(1.93)Ïîìèìî óðàâíåíèé (1.67) èç äåéñòâèÿ Sloc ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà:Gµν =1ΛT(φ)−gµν ,µν0m2p go2m2pãäå φ0 çàäàíî îðìóëîé (1.66), à Tµν (φ0 ) îðìóëîé (1.84).(1.94)591.3.4. Ñëó÷àé íåíóëåâîãî C1àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé C1 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
