Диссертация (1097926), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îòìåòèì, ÷òî ìíîãèåìîäåëè ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, â òîì ÷èñëå è íåëîêàëüíûå, ìîæíîïåðåîðìóëèðîâàòü êàê ìîäåëè ÎÒÎ ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè [151℄, âîçìîæíî, íåëîêàëüíûìè è íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìè ñ ãðàâèòàöèåé.Òàêèì îáðàçîì, äàííûå ìîäåëè è ìåòîäû èõ èññëåäîâàíèÿ áëèçêè ê ìåòîäàìèññëåäîâàíèÿ ìîäåëåé ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè è ÿâëÿþòñÿ èõ âàæíûì äîïîëíåíèåì. Ìîäåëè ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ìîãóò ñëóæèòü âîçìîæíûìîáúÿñíåíèåì ïðèðîäû ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, èñïîëüçóåìîãî â êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.  ÷àñòíîñòè, ìîäåëè ñ îáðàòíûì îïåðàòîðîì Äàëàìáåðà [142℄ ìîãóòáûòü ñîðìóëèðîâàíû êàê ëîêàëüíûå ìîäåëè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ ãðàâèòàöèåé [143℄.Êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíî è íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè àêòèâíî èññëåäóþòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ è êàêèíëÿöèîííûå ìîäåëè, è äëÿ îïèñàíèÿ ò¼ìíîé ýíåðãèè [163℄.
Ïðè ïîñòðîåíèèêàê êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé, òàê è äðóãèõ ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ÷àñòîïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à èìåííî, óðàâíåíèé Ôðèäìàíà, îïèñûâàþùèõ ýâîëþöèþ Âñåëåííîé, è óðàâíåíèé Êëåéíàîðäîíà äëÿ ñêàëÿðíûõïîëåé.
Ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì åù¼ íåäîñòàòî÷íî èçó÷åíû è ÿâëÿþòñÿîáúåêòîì àêòèâíûõ èññëåäîâàíèé. Êîñìîëîãè÷åñêàÿ äèíàìèêà òàêèõ ìîäåëåéèíòåíñèâíî èññëåäóåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [164171℄.Àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèå ìåòîäîâ, ðàçâèòûõ äëÿ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, íà ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì.Îäíîé èç ïðîáëåì â ïîñòðîåíèè êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ íåèíòåãðèðóåìîñòü óðàâíåíèé Ôðèäìàíà, îïèñûâàþùèõ ãëîáàëüíóþ äèíàìèêó Âñåëåííîé. Ïîñêîëüêó ïîíÿòèå èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèåðåí18öèàëüíûõ óðàâíåíèé îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî, óòî÷íèì, ÷òî â êîñìîëîãèè ïîäèíòåãðèðóåìîñòüþ îáû÷íî ïîíèìàåòñÿ ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèé, à èìåííî âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé Ôðèäìàíà ñ ïîìîùüþ ïîäõîäÿùåãî âûáîðà ïàðàìåòðè÷åñêîãî âðåìåíè è ñâåäåíèå óðàâíåíèé ê èíòåãðèðóåìûì, íàïðèìåð, ëèíåéíûì, óðàâíåíèÿì îò îäíîé ïåðåìåííîé [172℄.
Òîëüêîäëÿ î÷åíü íåáîëüøîãî ÷èñëà ïîòåíöèàëîâ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿñèñòåìà íåëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé [172, 173℄. Íàèáîëåå èçâåñòíîé èíòåãðèðóåìîé êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì è ýêñïîíåíöèàëüíûìïîòåíöèàëîì. Àêòèâíî âåä¼òñÿ ïîèñê íîâûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðîâåðêè èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ àíàëèç äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê ñèíãóëÿðíîñòè èõ ðåøåíèé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, èçâåñòíûé êàê ñèíãóëÿðíûé àíàëèç ÊîâàëåâñêîéÏåíëåâå [174176℄ (ñì.òàêæå [177185℄).  ðàáîòàõ Ëè÷à, Êîòñàêèñà è Ìèðèöèñà [186, 187℄ áûëà ïðîâåðåíà èíòåãðèðóåìîñòü ðàçëè÷íûõ ñèñòåì óðàâíåíèé Ôðèäìàíà ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ñ ïîìîùüþ òåñòà Ïåíëåâå, ïîçâîëÿþùåãî íàõîäèòü íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé èç àíàëèçà ïîâåäåíèÿ å¼ ðåøåíèé â îêðåñòíîñòè òî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè.
Äàííûé àíàëèç ïîëåçåí òàêæå äëÿíàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Ïîñêîëüêóäëÿ èçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé äîñòàòî÷íî íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè, âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷à ïîèñêà êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñòî÷íûìè ðåøåíèÿìè è çàäà÷à ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïîïðåäïîëàãàåìîãî âèäó ðåøåíèÿ.Èäåÿ ðàññìàòðèâàòü ïàðàìåòð Õàááëà êàê óíêöèþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ èïîëó÷èòü èç óðàâíåíèé Ôðèäìàíà óðàâíåíèå, ïîõîæåå íà óðàâíåíèå àìèëüòîíàßêîáè, áûëà ïðåäëîæåíà â 1990 ãîäó íåçàâèñèìî â ñòàòüå Ñàëîïåêà èÁîíäà [188℄ è ñòàòüå Ìóñëèìîâà [189℄.
 ñòàòüå Ñàëîïåêà è Áîíäà [188℄ ýòà èäåÿèñïîëüçîâàëàñü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè19ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ïîòåíöèàëîì. Ïîçæå ïîõîæàÿ èäåÿ àêòèâíî èñïîëüçîâàëàñü äëÿ ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ïîèñêà ÷àñòíûõ òî÷íûõðåøåíèé êàê â êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ [190200℄, òàê è â ìîäåëÿõ ìèðà íàáðàíå òèïà ýíäàëëÑóíäðóìà [201℄ ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì [202205℄, à òàêæå âìîäåëÿõ, èñïîëüçóþùèõ âñïîìîãàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñ äîïîëíèòåëüíûì èçìåðåíèåì äëÿ èññëåäîâàíèÿ êâàðêãëþîííîé ïëàçìû [206, 207℄.
Äàííûé ìåòîäèçâåñòåí òàêæå êàê ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà è êàê îðìàëèçì óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òî, ÷òî ïàðàìåòð Õàááëà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óíêöèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ïîçâîëÿåò âîññòàíàâëèâàòü ïîòåíöèàë ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è îïðåäåëÿòüäèíàìèêó ïîëÿ áåç àïðèîðíî çàäàííîãî ïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà êàê óíêöèè âðåìåíè èëè ìàñøòàáíîãî àêòîðà ìåòðèêè Ôðèäìàíà. Òèïè÷íîé çàäà÷åé,ðåøàåìîé ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà, ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ñ òðåáóåìûìè êà÷åñòâåííûìè ñâîéñòâàìè ÷àñòíîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ è ïîëèíîìèàëüíûìïîòåíöèàëîì. Àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèå äàííîãî ìåòîäà è ðàñøèðåíèåîáëàñòè åãî ïðèìåíåíèÿ.Ïðè ïîñòðîåíèè êàê êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé, òàê è ìîäåëåé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òðåáóåìûìèñâîéñòâàìè.
Àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèå ìåòîäîâ ïîèñêà ÷àñòíûõðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì â âèäå ìåðîìîðíûõ óíêöèé, íàïðèìåð,ýëëèïòè÷åñêèõ. Îêàçàëîñü, ÷òî ðàçâèòèå àíàëèçà ÊîâàëåâñêîéÏåíëåâå, èçíà÷àëüíî ïðåäëîæåííîãî äëÿ ïîèñêà èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, ìîæåò ñïîñîáñòâîâàòü ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è. Òåñò Ïåíëåâå â îðìóëèðîâêå Êîâàëåâñêîé [174, 179, 180, 185℄ ëåæèò â îñíîâå ïðåäëîæåííîãî â2003 ãîäó íîâîãî àëãîðèòìà ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìîáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â âèäå ýëëèïòè÷åñêèõ èëè âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé (ìåòîäà ÊîíòàÌþçåòòû [208℄).
Îñíîâàííûé íà àíàëèçå ñèíãóëÿðíîñòåé è ïîñòðîåíèè ëîêàëüíûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâËîðàíà, äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïðåîáðàçîâûâàòü èñõîäíûå íåëèíåéíûå äè20åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áåñêîíå÷íûå ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ (à ïî ìíîãèì ïåðåìåííûì äàæå ëèíåéíûõ) óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâËîðàíà èñõîäíîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ýòîò ìåòîä ïîëó÷èë, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ Õîíà [209℄, à òàêæå ļìèíîéè Êóäðÿøîâà [210212℄.Íàõîæäåíèå íîâûõ ðåøåíèé äàâíî è àêòèâíî èçó÷àåìûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì ïîëåçíîñòè ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïîèñêà, äåìîíñòðèðóåòåãî ïðåèìóùåñòâà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè àíàëîãè÷íûìè ìåòîäàìè. àçâèòèåìåòîäà ÊîíòàÌþçåòòû è èñïîëüçîâàíèå åãî íîâûõ ìîäèèêàöèé äëÿ ïîèñêà÷àñòíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì è óðàâíåíèé, àêòèâíî èñïîëüçóåìûõ â èçèêå, íàïðèìåð, óðàâíåíèé èíçáóðãàËàíäàó è îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà, ÿâëÿåòñÿ èíòåðåñíîé è âàæíîé çàäà÷åé. Òàêæåâàæíî àâòîìàòèçèðîâàòü äàííûé àëãîðèòì ñ ïîìîùüþ íàïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàêåòà ïðîöåäóð ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû.
Îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ è ñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, òàêèõ êàêMaple, Mathematia è REDUCE, è äàííîãî ìåòîäà ìîæíî áóäåò ïðîàíàëèçèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ó øèðîêîãî êëàññà èçè÷åñêèçíà÷èìûõ çàäà÷. êîñìîëîãèè àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ ðåøåíèÿ â âèäå âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé, íàïðèìåð, ãèïåðáîëè÷åñêèõ.  ÷àñòíîñòè, òèïè÷íûì ðåøåíèåì òèïà "îòñêîêà"(boune solution) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà,ïðîïîðöèîíàëüíûì ãèïåðáîëè÷åñêîìó òàíãåíñó. Êàê ïîêàçàíî â äèññåðòàöèè,òåñò Ïåíëåâå â ñî÷åòàíèè ñ ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè.
àçâèòèå îñíîâàííûõ íà òåñòå Ïåíëåâå ìåòîäîâ ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ìîæåò ñïîñîáñòâîâàòüèõ áîëåå àêòèâíîìó ïðèìåíåíèþ â êîñìîëîãèè â áóäóùåì.Öåëüþ äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå êîñìîëîãè÷åñêîéäèíàìèêè â ìîäåëÿõ ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè è ìîäåëÿõ íåëîêàëüíîé ãðàâèòà21öèè äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé, ïîäõîäÿùèõ êàê äëÿ îïèñàíèÿ ñîâðåìåííîãî óñêîðåííîãî ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé, òàê è å¼ áîëåå ðàííèõ ñòàäèé ðàçâèòèÿ.
Äëÿîòûñêàíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåëîêàëüíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, ìîòèâèðîâàííîé ñòðóííîé òåîðèåé ïîëÿ, ðàçâèâàþòñÿìåòîäû ëîêàëèçàöèè äàííûõ ìîäåëåé è ðåøàåìûõ óðàâíåíèé. Äëÿ èçó÷åíèÿäèíàìèêè â ìîäåëÿõ ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ðàçâèâàþòñÿ ìåòîäû ïîèñêà òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. ðàáîòå ðåøàëèñü ñëåäóþùèå çàäà÷è:1. Èçó÷åíèå ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìíåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì, ìîòèâèðîâàííûå ïîëåâîé òåîðèåé ñòðóí.Äàííûå ìîäåëè õàðàêòåðèçóþòñÿ íåëîêàëüíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì,âêëþ÷àþùèì â ñåáÿ àíàëèòè÷åñêóþ óíêöèþ îò îïåðàòîðà Äàëàìáåðà. àçâèòèå ìåòîäîâ ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà, â÷àñòíîñòè, êîñìîëîãè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì.Äëÿ ìîäåëè f (R) ãðàâèòàöèè, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùåå íåëîêàëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå ñ êâàäðàòè÷íûì èëè ëèíåéíûìïîòåíöèàëîì, ñòàâèëàñü çàäà÷à ïðåîáðàçîâàíèÿ å¼ â ìîäåëü ñ ëîêàëüíûìèïîëÿìè, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó êîðíåé èñõîäíîé àíàëèòè÷åñêîéóíêöèè ñ ó÷¼òîì èõ êðàòíîñòè.2.
àññìîòðåíèå ìîäåëè íåëîêàëüíî ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ àíàëèòè÷åñêóþ óíêöèþ îïåðàòîðà Äàëàìáåðà, ñ öåëüþíàõîæäåíèÿ íîâûõ òî÷íûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé è èññëåäîâàíèå ñâÿçè äàííîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè ñ ëîêàëüíûìè ìîäåëÿìè ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè.3. Àíàëèç ìîäåëåé íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, â èñõîäíîå äåéñòâèå êîòîðûõâêëþ÷åíà óíêöèÿ îò îáðàòíîãî äàëàìáåðòèàíà, äåéñòâóþùàÿ íà ñêàëÿð22êðèâèçíû: f (−1 R). Ñòàâèëàñü çàäà÷à îáîñíîâàíèÿ âûáîðà òîãî èëè èíîãî âèäà óíêöèè f . Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ ëîêàëüíîé ñêàëÿðíîòåíçîðíîéîðìóëèðîâêè äàííîé ìîäåëè òðåáîâàëîñü ðàçâèòü àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé âîññòàíàâëèâàòü âõîäÿùóþ â äåéñòâèå óíêöèþ f ïî çàäàííîìóïîâåäåíèþ ïàðàìåòðà Õàááëà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
