Диссертация (1097926), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äàííûé ïîäõîä äåëàåò òàêèå ýåêòèâíûå òåîðèè èçè÷åñêèïðèåìëåìûìè, ïðè óñëîâèè, ÷òî ýåêòèâíàÿ òåîðèÿ äîïóñêàåò ïîãðóæåíèå âíåêîòîðóþ óíäàìåíòàëüíóþ òåîðèþ, íàïðèìåð, ñòðóííóþ òåîðèþ ïîëÿ [118℄.Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ñòðóííàÿ òåîðèÿ ïîëÿ íà ïðîèçâîëüíîì ãðàâèòàöèîííîì îíå åù¼ íå ïîñòðîåíà (èçâåñòíà ñòðóííàÿ òåîðèÿ ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâåAdS â êàëèáðîâêå ñâåòîâîãî êîíóñà).
Ìîæíî òîëüêî ïîïûòàòüñÿ óãàäàòü, êàêâûãëÿäèò òåîðèÿ â ïðîèçâîëüíîì âíåøíåì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå.Èíòåðåñ ê êîñìîëîãè÷åñêèì ìîäåëÿì, ñâÿçàííûì ñ ïîëåâîé òåîðèåé îòêðûòûõ ñòðóí [117℄, âûçâàí âîçìîæíîñòüþ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèé, îïèñûâàþùèõïåðåõîäû èç âîçìóù¼ííîãî âàêóóìà â èñòèííûé (òàê íàçûâàåìûå ðîëëèíãîâûå ðåøåíèÿ). Ìîäåëü ò¼ìíîé ýíåðãèè [117℄ ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íàøà Âñåëåííàÿ ìåäëåííî ðàñïàäàþùàÿñÿ D3-áðàíà, ðàñïàä êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ìîäîé òàõèîíà îòêðûòîé ñòðóíû. Äâèæåíèå òàõèîíà èç íåñòàáèëüíîãî âàêóóìàê ñòàáèëüíîìó îïèñûâàåò, ñîãëàñíî ãèïîòåçå À.
Ñåíà [258, 261, 262℄, ïåðåõîäD-áðàíû â èñòèííûé âàêóóì. Òàõèîí, ñâÿçàííûé ñ íåýêñòðåìàëüíîé áðàíîé,ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ ò¼ìíîé ýíåðãèè. Ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿíåëîêàëüíûé ïîòåíöèàë ïàðàìåòðîì íåëîêàëüíîñòè, îïðåäåëÿåìûì ñòðóííûì ìàñøòàáîì. Ïîñëå ïîäõîäÿùåãî ïåðåîïðåäåëåíèÿ ïîëåé ïîòåíöèàë ìîæíî ñäåëàòü ëîêàëüíûì, ïðè ýòîì êèíåòè÷åñêèé ÷ëåí ñòàíîâèòñÿ íåëîêàëüíûì.Ýòîò íåñòàíäàðòíûé êèíåòè÷åñêèé ÷ëåí ìîæåò áûòü ïðèáëèæåí îòðèöàòåëüíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå òàõèîíà îòêðûòîé ñòðó36íû ýåêòèâíî ìîäåëèðóåòñÿ àíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì [264℄.Áîëüøèíñòâî ïîðîæä¼ííûõ ñòðóííîé òåîðèåé ïîëÿ íåëîêàëüíûõ ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ïîëó÷àåòñÿ ïðèáàâëåíèåì ñòàíäàðòíîãî ãðàâèòàöèîííîãîäåéñòâèÿ ê äåéñòâèþ òàõèîíà.
Íóæíî ïîíèìàòü, ÷òî äàííûé ïîäõîä íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíûì. Ïîñêîëüêó òåîðèÿ ñòðóí îáúåäèíÿåò êâàíòîâóþ ãðàâèòàöèþ è êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, òî ãðàâèòàöèÿ äîëæíà áûòü òàêæå ïîðîæäåíèåì ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ, òî÷íåå, òåîðèèçàìêíóòûõ ñòðóí, è ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü íàðÿäó ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûìïîëåì íåëîêàëüíûå ïîïðàâêè ê ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèè [255℄.  òî æå âðåìÿ â êà÷åñòâå ýåêòèâíîé ìîäåëè ðàññìîòðåíèå ìîäåëè îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè èëè f (R) ãðàâèòàöèè ñ íåëîêàëüíûì ïîëåì îïðàâäàíî è ïîèñêðåøåíèé óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà â íåé ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ðàññìàòðèâàþòñÿ òî÷íûå è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ â ìåòðèêåÔËÓ. Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè (áåç äîïîëíèòåëüíûõñêàëÿðíûõ ïîëåé) òàêæå àêòèâíî ðàññìàòðèâàþòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Äâàïðèìåðà òàêèõ ìîäåëåé áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ.1.1.2. Íåëîêàëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå, ïîðîæä¼ííîå ïîëåâîé òåîðèåéñòðóíÏðåäëîæåííîå Å. Âèòòàíîì äåéñòâèå ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ [274℄ äëÿ âçàèìîäåéñòâóþùåé îòêðûòîé áîçîííîé ñòðóíû ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå [118, 258260℄:Ssf t1= − 2goZ11Φ · QB Φ̃ + Φ̃ · (Φ̃ ∗ Φ̃) ,23(1.2)ãäå go êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ îòêðûòûõ ñòðóí (go > 0), QB BRSTîïåðàòîð, ∗ íåêîììóòàòèâíîå ïðîèçâåäåíèå è Φ̃ ïîëå îòêðûòîé ñòðóíû. Ìîäåëü, îïèñûâàåìàÿ äåéñòâèåì (1.2), èìååò ñëåäóþùèå õàðàêòåðíûå ÷åðòû: âíåé íåò äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ, à âçàèìîäåéñòâèå ñòðóí îïèñûâàåòñÿ ñïåöèàëüíîé ñêëåéêîé òð¼õ ñòðóí, ïðè êîòîðîé ïîïàðíî ñêëåèâàþòñÿ ïîëîâèíêè37ñòðóí (îíî íàçûâàåòñÿ âèòòåíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì).
àññìàòðèâàåìàÿ òåîðèÿ êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíà è âîñïðîèçâîäèò àìïëèòóäó Âåíèöèàíî (ñì.îáçîð [118℄ è ññûëêè â í¼ì).Ñòðóííàÿ òåîðèÿ ïîëÿ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïîëåé. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî òàõèîííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿφ(x), òî èç äåéñòâèÿ (1.2) ìîæíî ïîëó÷èòü òðàíêèðîâàííóþ (óñå÷¼ííóþ) òåîðèþ, îïèñûâàåìóþ íåëîêàëüíûì äåéñòâèåì ′Zα111φ(x)φ(x) + φ2 (x) − γs3Φ3(x) − Λ ,Stachion = 2 d26xgo223′ãäå φ ñêàëÿðíîå ïîëå, Φ = eαñòðóííîé äëèíû, γs =4√.3 3ln(γs )(1.3)φ, α′ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì õàðàêòåðíîéÊîíñòàíòà Λ = 16 γs−6 äîáàâëåíà â ïîòåíöèàë äëÿòîãî, ÷òîáû çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â ëîêàëüíîì ìèíèìóìå ðàâíÿëîñü íóëþ. Äåéñòâèå (1.3) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ′(α′ + 1)e−2αln(γs )Φ = γs3Φ2.(1.4)Ïîëåâàÿ òåîðèÿ ñòðóí ïîäðîáíî ðàññìîòðåíà â îáçîðàõ [118, 258260℄. ðàáîòàõ Àðåüåâîé [117, 120, 121℄ áûëà ïðåäëîæåíà ìîäåëü, â êîòîðîéÂñåëåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòûð¼õìåðíîé D3-áðàíîé, âëîæåííîé â ìíîãîìåðíîå ïðîñòðàíñòâîâðåìÿ.
Ïîäîáíûå D-áðàíû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò â òåîðèè îòêðûòûõ ñòðóí. Ñ ïîìîùüþ îòêðûòîé åðìèîííîé ñòðóíû, êîíöû êîòîðîé çàêðåïëåíû íà áðàíå, ðàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìèêà íåýêñòðåìàëüíîé D-áðàíû, êîòîðàÿ íåñòàáèëüíà è ýâîëþöèîíèðóåò â ñòàáèëüíîå ñîñòîÿíèå. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî íèçøèì âîçáóæäåíèåì òàõèîíîì, òî äèíàìèêà D-áðàíû áóäåò îïèñûâàòüñÿ äåéñòâèåì òàõèîíà îòêðûòîé ñòðóíû.
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëüîïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì äåéñòâèåì: 2 2 ′ZMP1ξ α µν1 21 44 √S = d x −gR+ 2 −g ∂µ φ(x)∂ν φ(x) + φ (x) − Φ (x) − T2λ4224(1.5)ãäå φ òàõèîí. Äåéñòâèå (1.5), îïèñûâàþùåå D3 áðàíó, âëîæåííóþ â äåñÿòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, áûëî ïîëó÷åíî ðàçìåðíîé ðåäóêöèåé äåñÿòèìåðíîãî38äåéñòâèÿ åðìèîííîé ñòðóíû Íåâ¼Øâàðöààìîíà ñ GSO− ñåêòîðîì1 . Äåéñòâèå (1.5) ñîäåðæèò íàòÿæåíèå áðàíû T è êîíñòàíòó1v6 Ms4=λ24goMsMc6,√ãäå Ms = 1/ α′ , Mc õàðàêòåðíûé ìàñøòàá êîìïàêòèèêàöèè, ÷èñëåííûé ïàðàìåòð v6 ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàçìåðíîé ðåäóêöèè è èíòåãðèðîâàíèÿ ïîøåñòè äîïîëíèòåëüíûì ïðîñòðàíñòâåííûì èçìåðåíèÿì, go áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé âçàèìîäåéñòâèå îòêðûòûõ ñòðóí.
Çíà÷åíèå êîíñòàíòûξ 2 îïðåäåëÿåòñÿ èç ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ: ξ 2 ≈ 0.9556. Ïîëÿ ñâÿçàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:α′Φ = e 8 φ . ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêîé ìåòðèêå ÔËÓ, èñïîëüçóÿ áåçðàçìåðíîå âðå√ìÿ t → t α′ , áûëè ïîëó÷åíû [117, 120℄ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ 2ξ 2 1 2 1 412H =φ̇ − φ + Φ + E1 + E2 + Λ ,3MP2 λ24 224 2(1.6)1ξ 2Ḣ = 2 2 − φ̇ − E2 ,MP λ42ãäåZ1111E1 = −ds(e 8 s Φ3)e− 8 s Φ,80Z1111E2 = −ds(∂te 8 s Φ3)∂t e− 8 s Φ ,8(1.7)0 1ξ 2 + 1 e− 4 Φ = Φ3 .(1.8)Ñëîæíîñòü óðàâíåíèé (1.6)(1.8) çàêëþ÷àåòñÿ â èõ íåëèíåéíîñòè è íåëîêàëüíîñòè.Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî óðàâíåíèå (1.8) ïðèìåò âèä1 1 2−ξ 2∂t2 + 1 e 4 ∂t Φ(t) = Φ(t)3 ,GSO Gliozzi, Sherk, Olive.(1.9)3912ãäå Φ = e− 8 ∂t φ.
Ýòî óðàâíåíèå èçó÷àëîñü â ðàáîòàõ [264, 319, 324, 327℄. Â2ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî s îïåðàòîð es∂t , äåéñòâóþùèé íà ãëàäêóþ óíêöèþ,ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì, ÷òî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü óðàâíåíèå (1.9)êàêZξ 2(1 − 4t2) + 1 −t2√e .(1.10)dt C(t − t )Φ(t ) = Φ(t) ,C(t) =π ëàâå 4 îïèñûâàåòñÿ ëîêàëüíàÿ êîñìîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ àíòîì′′′3íûì ñêàëÿðíûì ïîëåì è ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì, êîòîðàÿ â íåêîòîðîìïðèáëèæåíèè áëèçêà ê òåîðèè åðìèîííîé ñòðóíû Íåâ¼Øâàðöààìîíà ñó÷¼òîì GSO− ñåêòîðà. Äàííàÿ ìîäåëü îáëàäàåò òî÷íûì ðåøåíèåì òèïà êèíêà [217℄.1.1.3. ðàâèòàöèÿ ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåìàññìîòðèì êëàññ ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûìïîëåì, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì äåéñòâèåì"6 #Z24 √MPv6 Ms Ms1Sf = d4x −gR+φ F (α′ ) φ − V (φ) − Λ . (1.11)2goMc2Ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, èíûìè ñëîâàìè, îíà ÿâëÿåòñÿ öåëîé óíêöèåé.
Ñêàëÿðíîå ïîëå φ, êîòîðîå àññîöèèðóþò ñ òàõèîíîì îòêðûòîé ñòðóíû, ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíûì. àçìåðíîñòü√[α′ ] = length2 . Óäîáíî ââåñòè áåçðàçìåðíûå êîîðäèíàòû x̄µ = xµ / α′ , áåçðàç√√√ìåðíóþ ìàññó Ïëàíêà M̄P = MP α′ , M̄s = Ms α′ = 1 è M̄c = Mc α′ . Âíîâûõ ïåðåìåííûõ äåéñòâèå (1.11) ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé âèä:ZM̄Pv614 √¯ ) φ − V (φ) − Λ̄ ,Sf = d x̄ −ḡR+φ F (2ḡo M̄c6 2(1.12)2ãäå Λ̄ = Λα′ áåçðàçìåðíàÿ êîñìîëîãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà è R̄ ñêàëÿð êðèâèçíû â áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàòàõ x̄µ.Óìíîæèì äåéñòâèå íà áåçðàçìåðíóþ êîíñòàíòóm2p =go 6 2M̄ M̄ .v6 c Pgo6v6 M̄cè ââåä¼ì(1.13)40Òåïåðü äåéñòâèå (1.12) ïðèîáðåòàåò âèä:"#Z2m√1p¯ ) φ − V (φ) − Λ̄ .Sf = d4x̄ −ḡR + φ F (22(1.14)Äàëåå â ýòîé ãëàâå ìû èñïîëüçóåì òîëüêî áåçðàçìåðíûå êîîðäèíàòû èïàðàìåòðû, íå âûäåëÿÿ èõ äîïîëíèòåëüíûìè íàä÷¼ðêèâàíèÿìè.
Ïîÿâëåíèå âîðìóëå mp âìåñòî ìàññû Ïëàíêà áóäåò óêàçûâàòü íà áåçðàçìåðíîñòü.Îöåíèì ÷èñëåííîå çíà÷åíèå m2p . Ìàñøòàá êîìïàêòèèêàöèè îáû÷íî ïîëàãàþò ïëàíêîâêèì: Mc = MP . Ñòðóííûé ìàñøòàá Ms íåèçâåñòåí è â êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ åãî îáû÷íî çàäàþò òàê, ÷òîáû ïðåäñêàçàíèÿ ìîäåëè íåïðîòèâîðå÷èëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì.  ÷àñòíîñòè, èç ìîäåëè p-àäè÷åñêîéèíëÿöèè [132, 133℄ ñëåäóåò, ÷òî ìàññà ñòðóíû äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþMs 6 10−6MP . Åñëè ïîëîæèòü Ms = 10−6MP , òîm2p =go 8goM̄P = 1048 .v6v6(1.15)Âàðüèðîâàíèåì äåéñòâèÿ (1.85) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:Rµν −1Rgµν = 2 (Tµν − Λgµν ) ,2mpF ()φ =dV,dφ(1.16)(1.17)ãäå Tµν òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.
Øòðèõ çäåñü è äàëååîáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó óíêöèè, òîãäà êàê òî÷êà îáîçíà÷àåòâðåìåííóþ ïðîèçâîäíóþ. Áîëåå ïîäðîáíî èñïîëüçóåìûå îáîçíà÷åíèÿ è îñíîâíûå îðìóëû ÎÒÎ ïðåäñòàâëåíû â Ïðèëîæåíèè A1.Òåíçîð Tµν , âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñòàíäàðòíîé îðìóëå2 δSfTµν = − √−g δg µνè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â ñëåäóþùåì âèäå [224℄:Tµν = Eµν + Eνµ − gµν (g ρσ Eρσ + W ) ,(1.18)41ãäåEµν∞n−11X Xfn∂µ l φ∂ν n−1−l φ,≡2 n=1 l=0∞(1.19)n−11 X X l n−lf0fn φ φ − φ2 + V (φ).W ≡2 n=2 l=12(1.20) ñëó÷àå V (φ) = 0, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (1.17), ïîëó÷àåì∞n−11 X X l n−lW = W0 ≡fn φ φ.2 n=1 l=0ðÿäà(1.21)Àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ F ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñõîäÿùåãîñÿF (J) =∞Xfn J n ,(1.22)n=0à òàêæå, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà [275℄, â âèäå ñëåäóþùåãî ïðîèçâåäåíèÿ: J J2∞ 1YJJk + 2J 2 +···+ pkm Y (J)kF (J) = J e1−eJkJJkpk,(1.23)k=1ãäå m ïîðÿäîê êîðíÿ J = 0 (m ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ), Jk íóëè óíêöèèF (J), Y (J) ÿâëÿåòñÿ öåëîé óíêöèåé.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà pn âûáðàíû òàê,÷òî ðÿä∞ XJ pn +1n=1Jnñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî.Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ðåçóëüòàòîâ â ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, ñâÿçàííûé ñ ðàññìîòðåíèåì ÷àñòíûõ ïðèìåðîâ, íàèáîëååóäîáíûõ äëÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé è îáîáùåíèåì ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Êîíå÷íî, îáîáùåíèå âûâîäà, ñäåëàííîãî èç ÷àñòíîãî ïðèìåðà, äîëæíî áûòüìàòåìàòè÷åñêè îáîñíîâàíî.
 òî æå âðåìÿ, èìåííî ðàññìîòðåíèå ÷àñòíûõ ïðèìåðîâ ÷àñòî ïîçâîëÿåò ïðàâèëüíî ñîðìóëèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðåìû,êîòîðûå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü. Îïèñàíèå ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ìû íà÷í¼ì ñ èçëîæåíèÿ èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèñâÿçàííîãî ñî ñòðóííîé òåîðèåé íåëîêàëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå42Ìèíêîâñêîãî [126℄. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, êàê äàííûå ðåçóëüòàòû îáîáùàþòñÿíà ñëó÷àé ãðàâèòàöèè è ñëó÷àé áîëåå îáùåãî âèäà óíêöèè F .  äàííîé ãëàâåïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì, îïèñàííûå â ñòàòüÿõ [223, 224, 226, 227, 241244℄.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
