Диссертация (1097926), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Íåëîêàëüíûå ìîäåëè â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî,ñâÿçàííûå ñ òåîðèåé ñòðóí1.2.1. Êîðíè óíêöèè F (), ñâÿçàííîé ñî ñòðóííîé òåîðèåé ïîëÿ [126, 223, 248℄ ðàññìîòðåí ñïåöèàëüíûé êëàññ óíêöèé F ():Fsft () = ξ 2 + 1 − c e2 ,(1.24)ãäå ξ äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð, à c ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Íàïîìíèì ñïåöèè÷åñêèå îñîáåííîñòè ìîäåëåé ñ Fsft è ðàçëè÷íûìè ïîòåíöèàëàìè âïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Ìû ðàññìàòðèâàåì ðåøåíèÿ, çàâèñÿùèå òîëüêî îòâðåìåíè, ïîýòîìóφ = − φ̈ ≡ − ∂ 2 φ. ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ïîòåíöèàëà V óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.17) â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî èìååò ñëåäóþùèé âèä:2−ξ 2∂ 2φ + φ − ce−2∂ φ = 0,(1.25)ãäå îïåðàòîð ∂ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî êîñìè÷åñêîìó âðåìåíè t. Ïîäñòàâëÿÿ φ(t) â âèäå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà:φ(t) = Jφ(t),(1.26)ïîëó÷àåì èç (1.25) õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåFsft (J) = ξ 2 J + 1 − ce2J = 0.(1.27)43Ýòî óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:12c −2/ξ 22Jn = 2 2 + ξ W n − 2 e,2ξξ(1.28)ãäå n öåëîå ÷èñëî, Wn ÿâëÿåòñÿ n-îé âåòâüþ óíêöèåé Ëàìáåðà W (z), çàäàâàåìîé ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì W (z)eW (z) = z .
Ôóíêöèÿ Ëàìáåðà ÿâëÿåòñÿìíîãîçíà÷íîé óíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé, èìåþùåé áåñêîíå÷íîå ÷èñëîâåòâåé, ïîýòîìó óíêöèÿ Fsft (J) èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé. Ïàðàìåòðûξ è c äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ÷èñëî Jn êîðåíü Fsft (J),òî è êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¼ííîå ÷èñëî Jn∗ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì.Êîðåíü J = J˜0 áóäåò íå ïðîñòûì, åñëè íå òîëüêî Fsft (J˜0 ) = 0, íî è′′Fsft(J˜0) = 0, ãäå Fsft≡dFsftdJ .åøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿFsft (J) èìååò êðàòíûå êîðíè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàξ 2 (2/ξ 2 −1)c=e.2(1.29)Ïðè ýòîì, êîðåíü11J˜0 = − 2 ,(1.30)2 ξñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå êîðíè ìîãóò áûòü êðàòíûìè. Òàê êàê˜′′ ˜Fsft(J0) = − 4ce2J0 6= 0,(1.31)òî êðàòíîñòü J˜0 ðàâíÿåòñÿ äâóì.Ôóíêöèÿ Fsft ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ξ è c èìååò áåñêîíå÷íîå÷èñëî êîìïëåêñíûõ êîðíåé.
Êîëè÷åñòâî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé âñåãäà êîíå÷íî è çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ:• Ïðè c < 1 è ëþáîì çíà÷åíèè ξ óíêöèÿ Fsft (J) èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõêîðíÿ: îäèí ïîëîæèòåëüíûé è îäèí îòðèöàòåëüíûé.• Ïðè c = 1 ñóùåñòâóåò êîðåíü J = 0, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì êîðíåìïðè ξ 2 6= 2 è äâóêðàòíûì êîðíåì ïðè ξ 2 = 2. Ïðè ξ 2 > 2 ñóùåñòâóåò åù¼òîëüêî îäèí ïîëîæèòåëüíûé ïðîñòîé êîðåíü, à ïðè ξ 2 < 2 òîëüêî îäèíîòðèöàòåëüíûé ïðîñòîé êîðåíü.44• Åñëè c > 1, òî óíêöèÿ Fsft (J) èìååò äâà ïðîñòûõ îòðèöàòåëüíûõ êîðíÿ ïðè ξ 2 < ξ12 , èìååò îäèí îòðèöàòåëüíûé äâóêðàòíûé êîðåíü ïðè ξ 2 = ξ12 , íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé ïðè ξ22 > ξ 2 > ξ12 , èìååò îäèí ïîëîæèòåëüíûé äâóêðàòíûé êîðåíü ïðè ξ 2 = ξ22 , èìååò äâà ïðîñòûõ ïîëîæèòåëüíûõ êîðíÿ ïðè ξ 2 > ξ22, ãäåξ12 = −2,W−1( − exp(−1)/c)ξ22 = −2.
(1.32)W0( − exp(−1)/c)×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ïðèâåä¼ííûé âûøå ðåçóëüòàò, îïðåäåëèì óíêöèþ g(J, c), ðàâíóþ çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà ξ 2 :c e2J − 1g(J, c) = ξ =.J2(1.33)Èíûìè ñëîâàìè, óíêöèÿ g(J, c) çàäà¼ò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ξ 2 ïî çíà÷åíèÿìïàðàìåòðà c è êîðíÿ J .ξ2ξ2ξ2JJJèñóíîê 1.1. Çàâèñèìîñòü óíêöèè g(J, c), ðàâíîé ξ 2 , îò J ïðè c = 1/2 (ëåâûé),c = 1 (öåíòðàëüíûé) è c = 3 (ïðàâûé).Íà èñ. 1.1 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü g(J, c) êàê óíêöèè J äëÿ òð¼õ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà c. Âèäíî, ÷òî ïðè c = 1/2 äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãîçíà÷åíèÿ ξ 2 ñóùåñòâóþò äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ óðàâíåíèÿ J , îòðèöàòåëüíûé è ïîëîæèòåëüíûé. Ïðè c = 1 äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ξ 2ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí êîðåíü J , à ïðè c > 1 êîëè÷åñòâî êîðíåé çàâèñèò îòçíà÷åíèÿ ξ .451.2.2.
Èíòåãðàëüíàÿ îðìóëà äëÿ òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà âñëó÷àå FsftÄëÿ Fsft è V (φ) = 0 ïëîòíîñòü ýíåðãèè è èìïóëüñ ìîãóò áûòü íàéäåíû ââèäå îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ [119, 126, 276℄. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ðàâíÿåòñÿ:E = Ek + Ep + Enl1 + Enl2,ãäåEnl1ξ2Ek = (∂φ)2,2Z1 22= c e−ρ∂ Φ ∂ 2(eρ∂ Φ) dρ,0(1.34)1cEp = − φ2 + Φ2 ,22Z1 22Enl2 = −c ∂(e−ρ∂ Φ) ∂(eρ∂ Φ) dρ.0Äàâëåíèå (ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü) ðàâíîP = Ek − Ep − Enl1 + Enl2,(1.35)ñëåäîâàòåëüíî:Z1hihi hihiξ21c222−ρ∂ 22 ρ∂ 2−ρ∂ 2ρ∂ 2P = (∂φ) + φ − Φ −c eΦ ∂ (e Φ) − ∂(eΦ) ∂(e Φ) dρ.2220Âû÷èñëèì ïëîòíîñòü ýíåðãèè è äàâëåíèå äëÿ ñëåäóþùåãî ðåøåíèÿφ=NXC̃n eαn t ,(1.36)n=1ãäå N íàòóðàëüíîå ÷èñëî, C̃n êîíñòàíòû, à αn ñâÿçàíû ñ ðåøåíèÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.27) ïî îðìóëå Jn = −αn2 .Äëÿ N = 1 èφ = C̃eαt(1.37)ïîëó÷àåìE(C̃eαt ) = 0,ãäåP (C̃eαt ) = C̃ 2pα e2αt ,pα ≡ α2 ξ 2 − 2 + 2ξ 2α2 .(1.38)46Äëÿ N = 2 èφ = C̃1eα1 t + C̃2 eα2 t ,(1.39)ãäå α1 è α2 ðàçëè÷íûå êîðíè (1.27), ïîëó÷àåì:E C̃1 eα1 t + C̃2eα2 t = −2C̃1C̃2pα1α1 tα2 tE C̃1e + C̃2 e=0ïðè α2 = − α1 ,ïðèα2 6= − α1 .Äàâëåíèå P (φ) äëÿ ðåøåíèÿ (1.39) èìååò âèä −αtαt2 −2αt2 2αtP C̃1 e + C̃2e= C̃1 e+ C̃2 epα . îáùåì ñëó÷àå ïðèõîäèì ê îðìóëàì!NN XNXXαn tEC̃n e= −2C̃nC̃k pαn δαn ,−αk ,n=1ãäåPn=1(1.41)n=1 k=n+1δαn ,−αk =NX(1.40)αn tC̃n e!=1, αn = − αk ,0, αn 6= −αk .NXC̃n2Pn=1αn te=NX(1.42)C̃n2pαn e2αn t .(1.43)n=1Ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ñëó÷àÿ c 6= 1.
 ñëó÷àå c = 1ñóùåñòâóåò ðåøåíèå:φ1 (t) = C1t + C0,(1.44)ãäå C0 è C1 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Ïîëó÷àåì 2 2ξξ2E(φ1) =− 1 C1 ,P (φ1 ) =− 1 C1222è ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ w ≡ P/E = 1. Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò [126℄,÷òî äëÿφ=NXn=1C̃neαn t + φ147E(φ) = ENXC̃n eαn t + φ1n=1P (φ) = PNXC̃n eαn t + φ1n=1!!=ENXC̃n eαn tn=1=PNXC̃n eαn tn=1!!+ E (φ1 ) ,+ P (φ1 ) .1.2.3. Ïðåäñòàâëåíèå ÎñòðîãðàäñêîãîÏîñòðîèì ïðåäñòàâëåíèå Îñòðîãðàäñêîãî [96, 277, 278℄ äëÿ äåéñòâèÿZ1 4Sf lat =d xφFsft (−)φ.(1.45)2Ñ ýòîé öåëüþ èñïîëüçóåì ïðîèçâåäåíèå Âåéåðøòðàññà óíêöèè Fsft :Y2Fsft α2 = ef (α )α2 − αn2 ,(1.46)nãäå(1.47)f (z) = A + βz,à êîíñòàíòû A è β îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ξ è c.Óäîáíî âûäåëèòü äåéñòâèòåëüíûå êîðíè (1.46) è ñêîìáèíèðîâàòü êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¼ííûå êîðíè:2F (α2 ) = eA+βαYα2 − m2kYα2 − αn2ãäå mk îáîçíà÷àåò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè.α2 − αn∗2 ,(1.48) ñëó÷àå ïðîñòûõ êîðíåé ëàãðàíæèàí äåéñòâèÿ (1.45) ñ òî÷íîñòüþ äîïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå:i11 Xh2f (∂ 2 )22L = φF (∂ )φ ∼ǫn ψn e−∂ + αn ψn + c.c.
,22(1.49)ãäå ǫn êîíñòàíòû.Êàê ëåãêî âèäåòü,L=XL(ψn ),L(ψn ) =ǫnψn ef (−) + αn2 ψn ,2(1.50)48Eψ =Xǫn ˙ 222 2En =ψn − αn ψn ef (αn ) ,2ǫn ˙ 222 2Pn =ψn + αn ψn ef (αn ) .2En ,nPψ =XPn ,n(1.51)(1.52)Óðàâíåíèå äâèæåíèå äëÿ ψn èìååò âèä∂ 2 − αn2 ψn = 0,è åãî ðåøåíèÿìè áóäóò(1.53)ψn = An eαn t + Bn e−αn t .(1.54)Äëÿ ðåøåíèÿ (1.54) ïîëó÷àåìX2Eψ = 2αn2 ǫn An Bn eβαn ,XnPψ =n(1.55)2ǫn αn2 A2n e2αn t + Bn2 e−2αn t eβαn .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç îðìóë (1.41) è (1.43) ñëåäóåò, ÷òîXE = −2AnBn αn2 ξ 2 − 2 + 2ξ 2αn2 ,P =Xn(1.56)(1.57)nA2n e−2αn t + Bn2 e2αn t αn2 ξ 2 − 2 + 2ξ 2 αn2 .(1.58)Ñðàâíèâàÿ (1.55) è (1.56) ñ (1.57) è (1.58) è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (1.27),ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàòE = Eψ ,(1.59)P = Pψòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà−2α2nǫn = − 2ce+ξ22e−βαn ,(1.60)÷òî, åñòåñòâåííî, ñîîòâåòñòâóåò îáùåé îðìóëå äëÿ ǫn [278℄.Îñíîâíûå èçëîæåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ êîíêðåòíîãî âèäà óíêöèè F èïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî áûëè ïîëó÷åíû â ñòàòüå [126℄.
Îíè ïîìîãëè ñîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ëîêàëèçàöèè íåëîêàëüíûõ ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé ñêâàäðàòè÷íûì èëè ëèíåéíûì ïîòåíöèàëàìè, ïðåäëîæåííûé è ðàçâèòûé â ðàáîòàõ [223, 224, 226, 242℄. Äàííûé àëãîðèòì ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñëåäóþùåìðàçäåëå.491.2.4. Íåêâàäðàòè÷íûé ïîòåíöèàë ñëó÷àå ïîòåíöèàëà V (φ), îòëè÷íîãî îò êâàäðàòè÷íîãî, íàõîæäåíèå ðåøåíèé äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé.
Îáùåãî ìåòîäà ïîèñêà ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ìû ïðèâåä¼ì òîëüêî íåñêîëüêî ïðèìåðîâ èçâåñòíûõ ðåøåíèé. ñòàòüå [119℄ òî÷íûå ðåøåíèÿ áûëè íàéäåíû äëÿ ñïåöèàëüíîãî âèäàF () è íåêîòîðûõ ñòåïåííûõ ïîòåíöèàëîâ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ óðàâíåíèÿ2eβ∂ φ(t) =√kφk (t),(1.61)ãäå k è β äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå ðåøåíèå:b2φ(t) = e− 4β t ,b=1−k.k(1.62)Ïðè 0 < k < 1, b > 0 è ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èìååò íóëåâûå àñèìïòîòèêè.Äëÿ êóáè÷åñêîãî è ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîòåíöèàëîâ ðåøåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî áûëè íàéäåíû â ñòàòüå [281℄.1.3. Ïîèñê òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ïóò¼ì ëîêàëèçàöèèãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëåé1.3.1.
ðàâèòàöèîííàÿ ìîäåëü ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì èêâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîìðàâèòàöèîííàÿ ìîäåëü ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì, ìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèì ñ ãðàâèòàöèåé, è êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì èññëåäîâàëàñü, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [124, 126, 223, 224, 226, 248, 252℄.
Ïîäîáíàÿ ìîäåëüâ ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî ÿâëÿåòñÿ ëèíåàðèçàöèåé ìîäåëè, ïîëó÷àåìîé ñïîìîùüþ ïîëåâîé òåîðèè ñòðóí. Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ñ ïðîèçâîëüíîé ìåòðèêîé ïîëó÷àåìûå óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè, îäíàêî îáëàäàþò íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ÷òî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåí50íî óïðîñòèòü èõ àíàëèç, ñâåäÿ åãî ê àíàëèçó ëîêàëüíûõ óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà [223, 224, 226℄.Îäíîé èç âàæíûõ ïðîáëåì ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèé íåëîêàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîëüíûì ïîòåíöèàëîì ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ýòàçàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ ïîìîùüþ ëèíåàðèçàöèè ìîäåëè â îêðåñòíîñòèýêñòðåìóìà ïîòåíöèàëà è ëîêàëèçàöèè ïîëó÷åííîé ìîäåëè. Ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áåñêîíå÷íîãî ñàìîñîãëàñîâàííîãîíàáîðà íà÷àëüíûõ äàííûõ. Íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà ñ ïîëó÷åííûìè íà÷àëüíûìèäàííûìè ìîæåò áûòü èññëåäîâàíà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ äèóçèè [248℄.Ïóñòü ïîòåíöèàë V (φ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì êâàäðàòíûì ïîëèíîìîì:V (φ) = C2φ2 + C1φ + Λ.(1.63)¯ ) φ, êîòîðîå ñîäåðÏîñêîëüêó â äåéñòâèå (1.85) âõîäèò òàêæå ñëàãàåìîå φ F (æèò êâàäðàòè÷íûé ÷ëåí áåç ïðîèçâîäíûõ f0 φ2 , òî ìîæíî ïîëîæèòü C2 = 0 áåçîãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàë V (φ) ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíûì.
Óäîáíî âíà÷àëå ðàññìîòðåòü ïðîñòåéøèé ñëó÷àé C1 = 0, êîãäà ïîòåíöèàëÿâëÿåòñÿ êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòîé Λ, à ïîòîì îáîáùèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî C1 .Îñíîâíîé èäååé ïîèñêà ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî óíêöèÿ φÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðà Äàëàìáåðà â ïðîñòðàíñòâå, ìåòðèêàêîòîðîãî gµν áóäåò íàéäåíà ïîçæå. Åñëèφ = Jφ,(1.64)òî óíêöèÿ φ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.17) V (φ) = Λ òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäàF (J) = 0.(1.65)Îòìåòèì, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ (1.65), èçâåñòíîãî êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, íå çàâèñÿò îò ìåòðèêè. Ïîýòîìó, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷åííûå â ïðîñòðàí51ñòâå Ìèíêîâñêîãî çíà÷åíèÿ êîðíåé Fsft (J) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â ãðàâèòàöèîííûõ ìîäåëÿõ. ðàáîòàõ [126, 223, 248℄ èçó÷àëñÿ ñïåöèàëüíûé êëàññ óíêöèé Fsft (),çàäàâàåìûé îðìóëîé (1.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
