Диссертация (1097926), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Íåëîêàëüíûå ïîïðàâêè ïîÿâëÿþòñÿ óæå êëàññè÷åñêè (ò.å., íà äðåâåñíîì óðîâíå â âåðøèíàõ) è ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû íàêèíåòè÷åñêèå ÷ëåíû ñ ïîìîùüþ ïåðåîïðåäåëåíèÿ ïîëåé (φ → e− φ).Òåîðèÿ ñòðóí ñòèìóëèðóåò èññëåäîâàíèÿ â äàííîé îáëàñòè, íî ïîêà èç êîíêðåòíîãî äåéñòâèÿ òåîðèè ñòðóí íå ïîëó÷åíû ãðàâèòàöèîííûå ìîäåëè è ñâÿçüñêîðåå èäåéíàÿ, à íå íà óðîâíå ñòðîãèõ îðìóëèðîâîê. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ðàññìàòðèâàåìûå ìîäåëè âêëþ÷àþò ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
Âàæíûì âîïðîñîìÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå òåõ èëè èíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé â äàííûõ ìîäåëÿõâ çàâèñèìîñòè îò âèäà óíêöèè, îïðåäåëÿþùåé âêëàä íåëîêàëüíîé ïîïðàâêèê äåéñòâèþ èëüáåðòàÝéíøòåéíà.Âàæíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå òàêèõ ïîïðàâîê, ÷òîáû ìîäèèöèðîâàííîå äåéñòâèå áûëî ñâîáîäíî îò äóõîâ, ïðèâîäÿùèõ ê íåñòàáèëüíîñòèâàêóóìà. Ïîïûòêè íàéòè òàêîå äåéñòâèå ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ñîñòàðøèìè ïðîèçâîäíûìè [116, 289℄ íå áûëè î÷åíü óñïåøíûìè. Åñòü íàäåæäà,÷òî ñ ïîìîùüþ íåëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ óäàñòñÿ îáîéòè ýòó ïðîáëåìó. ýòîé ãëàâå ðàññìîòðåíà íåëîêàëüíàÿ ìîäåëü ñ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåéîïåðàòîðà Äàëàìáåðà, äåéñòâóþùåé íà ñêàëÿð êðèâèçíû.
 ñëåäóþùåé ãëàâåðàññìàòðèâàåòñÿ äðóãîé âèä ìîäåëåé íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, à èìåííî, ìîäåëè, ñîäåðæàùèå îáðàòíûé îïåðàòîð Äàëàìáåðà.772.2. Ìîäåëü ñ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé îò îïåðàòîðàÄàëàìáåðàÄàííàÿ ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [137℄ è ðàçâèòà â ñòàòüÿõ [138140, 230, 235, 290℄.  äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ñòàòåé [230, 235℄,â êîòîðûõ áûëî íàéäåíî íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå äëÿ äàííîé ìîäåëè è ïîêàçàíî,÷òî àíçàö, èñïîëüçóåìûé â ðàáîòàõ [137, 138, 230, 290℄ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ òî÷íûõ ðåøåíèé, ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì f (R) ãðàâèòàöèè.Íåëîêàëüíàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ìîäåëü [137℄ îïèñûâàåòñÿ äåéñòâèåì 2ZMP14 √R + RFR − Λ + LM ,S = d x −g(2.1)22M∗2ãäå M∗ ìàññà, íà ìàñøòàáå êîòîðîé âûñøèå ïðîèçâîäíûå â äåéñòâèè ñòàíîâÿòñÿ âàæíûìè, LM ëàãðàíæèàí ìàòåðèè.Èäåÿ ìîäèèêàöèÿ ãðàâèòàöèè ñ ïîìîùüþ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè XF /M∗2 =fnnn>0ñâÿçàíà ñî ñòðóííîé òåîðèåé ïîëÿ. Åñëè óíêöèÿ F ðàçëàãàåòñÿ â áåñêîíå÷íûéðÿä Òåéëîðà, òî äåéñòâèå (2.1) ñòàíîâèòñÿ íåëîêàëüíûì.Óäîáíî èñïîëüçîâàòü áåçðàçìåðíûå êîîðäèíàòû x̄µ = M∗ xµ è mP =¯ ), ïðè ýòîì ¯ Äàëàìáåðòèàí â òåðìèMP /M∗ , äëÿ êîòîðûõ F (/M∗2 ) = F (íàõ áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò.
 ýòîé ãëàâå ìû èñïîëüçóåì òîëüêî áåçðàçìåðíûåêîîðäèíàòû (îáîçíà÷àåìûå áåç íàä÷¼ðêèâàíèé).Âàðüèðóÿ äåéñòâèå (2.1), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:1 21 X Xh µρµµ[mP + 2F ()R] (2Rν − δν R) =fng ∂ρ l R∂ν n−l−1R +22 n=1 l=0iµρln−l−1µρσln−l−1ln−l+g ∂ν R∂ρ R − δν g ∂ρ R∂σ R + R R +∞n−1(2.2)1+2(g µρ ∇ρ ∂ν − δνµ )F ()R − RF ()Rδνµ − Λδνµ + Tνµ ,2ãäå ∇µ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, Tνµ òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ìàòåðèè.78Ïîëåçíûì ñëåäñòâèåì ñèñòåìû (2.2) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ñëåäà ýòîé ñèñòåìû:m2P R−∞Xn=1fnn−1Xl=0∂µ l R∂ µn−l−1R + 2l Rn−l R − 6F ()R = 4Λ − Tµµ .(2.3)2.3.
Ôîðìóëèðîâêà â âèäå ÎÒÎ ñ íåìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèì íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåìÓðàâíåíèÿ íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, îïèñûâàåìîé äåéñòâèåì (2.1), ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ëîêàëüíîé ãðàâèòàöèîííîé ìîäåëè ñ äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, îäíî èç êîòîðûõ íåëîêàëüíî, à äðóãîå íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóåò ñ ãðàâèòàöèåé.Äåéñòâèòåëüíî, âàðüèðîâàíèå äåéñòâèÿ, ïðåäëîæåííîãî â ñòàòüå [138℄: 2Z2√m1mPS = d4 x −g(1 + Φ)R + τ F ()τ − P Φτ − Λ ,(2.4)222ãäå Φ è τ ñêàëÿðíûå ïîëÿ, äà¼ò ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:m2F ()τ = P Φ ,τ = R,2∞n−111 X X2mP (1 + Φ) Rµν − Rgµν =fn∂µ l τ ∂ν n−1−l τ +22 n=1 l=0ln−1−lρσln−1−lln−l+ ∂ν τ ∂µ τ − gµν g ∂ρ τ ∂σ τ + τ τ +1+ gµν τ F ()τ − m2P Φτ + m2P (Dµ ∂ν Φ − gµν Φ) − Λgµν .2(2.5)(2.6)Ïîäñòàâëÿÿ τ = R â ïåðâîå óðàâíåíèå (2.5), ïîëó÷àåì ñâÿçü R Φ, êîòîðàÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà äà¼ò òðåáóåìûå óðàâíåíèÿíåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè.
Âûïèøåì òàêæå óðàâíåíèå ñëåäà:m2P (1+ Φ)R =∞Xn=1fnn−1Xl=0g ρσ ∂ρl τ ∂σ n−1−l τ + 2l τ n−l τ −− 2 τ F ()τ − m2P Φτ + 3m2P Φ + 4Λ.(2.7)Äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé áåç ñêàëÿðíûõ ïîëåéîêàçûâàåòñÿ óäîáíåå.792.4. Àíçàö äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèéÑèñòåìà (2.2) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé íåëîêàëüíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.åøåíèå äàííîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé äàæå ïîñëå âûáîðà âèäàìåòðèêè.  òî æå âðåìÿ, íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ àíçàöà, êîòîðûé ëîêàëèçóåò ñèñòåìó (2.2). Ñëåäóÿðàáîòàì [137139, 230℄, áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ â êëàññå óíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:(2.8)R = r1 R + r2 ,ãäå r1 6= 0 è r2 ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.8) ïîëó÷àåì:r2nn R = r1 R +, äëÿ ëþáîãî n > 0,r1r2F ()R = F (r1)R + (F (r1) − f0 ).r1(2.9)Åñëè ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2.8), òî óðàâíåíèÿ(2.2) ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:1r22mP + 2 F (r1)R + (F (r1) − f0 ) (2Rνµ − δνµ R) = Tνµ +2r1"2 !#µδr2+F ′ (r1) ∂ µ R∂ν R − ν g σρ ∂σ R∂ρ R + r1 R +− Λδνµ +2r1δνµr22µµ2+2F (r1) [∇ ∂ν R − δν (r1R + r2)] −F (r1)R − 2 (F (r1) − f0 ) ,2r1(2.10)ãäå F ′ ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè F ïî å¼ àðãóìåíòó.Åñëè ìîäåëü ñîäåðæèò òîëüêî ðàäèàöèþ, äëÿ êîòîðîé Tµµ = 0, òî óðàâíåíèå (2.3) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ:AR + F ′ (r1) 2r1R2 + ∂µ R∂ µR + B = 0 ,(2.11)ãäå êîíñòàíòû A è B îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:r2A = 4F ′ (r1)r2 − m2P − 2 (F (r1) − f0) + 6F (r1)r1,r1B = 4Λ +r2 2r2mP + A.r1r180Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ïîëó÷èòü ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.11) íàëîæèòüóñëîâèÿF ′ (r1) = 0,A = 0,B = 0.(2.12)Ïîñëåäíèå äâà ñîîòíîøåíèÿ ñâÿçûâàþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ r1 , r2 è êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû:r1[m2P − 6F (r1)r1]r2 = −,2[F (r1) − f0]2r2m2P2 [mP − 6F (r1 )r1 ]Λ= −= mP.4r18[F (r1) − f0](2.13)Ïîäñòàâëÿÿ óñëîâèÿ (2.12) â ñèñòåìó (2.10), ïîëó÷àåì1 µ 2µµµρ2F (r1)(R + 3r1)Gν = Tν + 2F (r1) g ∇ρ∂ν R − δν R + 4r1R + r2 .
(2.14)4Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ âñåõ óðàâíåíèé ïîòðåáóåòñÿ òàêæå çàèêñèðîâàòüêîëè÷åñòâî ðàäèàöèè â äàííîé ìîäåëè [138℄. Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèìè è ìû íå îãðàíè÷èâàåì âèä ìåòðèêè.2.5. Ñâÿçü íåëîêàëüíîé ìîäåëè ñ ìîäåëÿìè R2ãðàâèòàöèèÊàê õîðîøî èçâåñòíî [111, 113, 291℄, ìîäåëè f (R) ãðàâèòàöèè îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì äåéñòâèåì:Z√Sf = d4 x −gm2Pf (R) + LM ,2âàðüèðîâàíèåì êîòîðîãî ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ:1m2P f (1) (R)Rνµ − f (R)δνµ − (g µρ ∇ρ ∂ν − δνµ )f (1)(R) = Tνµ ,2(2.15)(2.16)ãäå f (1) (R) ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè f (R) ïî R.Äëÿ áåññëåäíîé ìàòåðèè ñèñòåìà (2.16) äà¼ò ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ñëåäà:f (1) (R)R − 2f (R) + 3f (1)(R) = 0.(2.17)81Ëåãêî óãëÿäåòü, ÷òî ïðèf (R) =F (r1) 2R+6rR+3r12 ,m2P(2.18)óðàâíåíèå (2.17) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì àíçàöà (2.8).
Áîëåå òîãî, óðàâíåíèÿ(2.14) îêàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíû (2.16). Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (2.13) äà¼ò ñëåäóþùóþ ñâÿçü:m2P =2 3F (r1)r12 − (F (r1) − f0)r2 .r1Òàêèì îáðàçîì, êàê ìû ïîêàçàëè â ðàáîòå [235℄, ëþáîå ðåøåíèå R2 ãðàâèòàöèè (2.15), áåç ìàòåðèè èëè ñ ðàäèàöèåé, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèé íåëîêàëüíîé ìîäåëè, îïèñûâàåìîé äåéñòâèåì (2.1). Îòìåòèì, ÷òîäàííûé ðåçóëüòàò íå ïîäðàçóìåâàåò íåêîòîðóþ ñïåöèàëüíóþ îðìó ìåòðèêè è ñïðàâåäëèâ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìåòðèêè.
Ïðè ýòîì íåëîêàëüíàÿ ìîäåëüíå ýêâèâàëåíòíà ìîäåëè R2 , ïîñêîëüêó ïîëíîå ðàññìîòðåíèå ìîäåëè âêëþ÷àåò íå òîëüêî ïîñòðîåíèå îíîâîãî ðåøåíèÿ, íî è âîçìóùåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò íå óäîâëåòâîðÿòü àíçàöó (2.8). Àíàëèç êîñìîëîãè÷åñêèõ âîçìóùåíèé âðàññìàòðèâàåìîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè äàí â ðàáîòàõ [139, 140℄. Õîòèì îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî R2 ãðàâèòàöèÿ àêòèâíî èçó÷àåòñÿ óæå ìíîãîëåò [9, 10, 12, 17, 107, 108, 288, 292295℄ è ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ðåàëèñòè÷íàÿìîäèèêàöèÿ òåîðèè òÿãîòåíèÿ.2.6.
Òî÷íîå êîñìîëîãè÷åñêîå ðåøåíèå áåç ðàäèàöèèàññìîòðèì êîñìîëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ â ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêîé ìåòðèêå ÔËÓ (1.1). Ïåðâûå ïîäîáíûå ðåøåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû â [137, 138℄ â ìîäåëèñ íåíóëåâîé êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòîé è ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ðàäèàöèè, ðàâíîéρr = ρ0 a 40a.(2.19)82 ðàññìàòðèâàåìîé ìåòðèêå àíçàö (2.8) ñòàíîâèòñÿ äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà íà ïàðàìåòð Õàááëà:...r2222.H + 7H Ḧ + 4Ḣ + 12H Ḣ = − 2r1H − r1 Ḣ −6(2.20)Ïîñëå òîãî, êàê ðåøåíèå (2.20) íàéäåíî, îñòà¼òñÿ òîëüêî îäíî íåçàâèñèìîå óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà, èç êîòîðîãî ìîæíî âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè ðàäèàöèèâ íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. ñòàòüå [137℄ áûëî íàéäåíî íåñèíãóëÿðíîå ðåøåíèå òèïà "îòñêîêà"(boune solution), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó Âñåëåííîé îò àçû ñæàòèÿê àçå ðàñøèðåíèÿ, òàêèì îáðàçîì ðåøàÿ ïðîáëåìó îñîáåííîñòè â òåîðèÿõÁîëüøîãî âçðûâà.
Ýòî ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:rrr r1r1r1a(t) = a0 cosht, ⇒ H =tanht222(2.21)è óäîâëåòâîðÿåò àíçàöó, åñëè r2 = −6r12 :R = r1 R − 6r12 .Èç óðàâíåíèé (2.13) è (2.26) ìû ïîëó÷àåì, ÷òî3Λ = r1m2P ,2ρ0 = −27F (r1)r12.2(2.22)Òàêèì îáðàçîì, ðàäèàöèÿ íå äóõîâàÿ, ò.å. èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïëîòíîñòüýíåðãèè ïðè óñëîâèè F (r1 ) < 0.Îïèñàííîå âûøå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì òîëüêî â ìîäåëè ñ ðàäèàöèåé. ñòàòüå [230℄ íàìè áûëî ïîëó÷åíî òî÷íîå ðåøåíèå äëÿ ìîäåëè áåç ðàäèàöèè.Äàííîå ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:λ2a(t) = a0 e 2 (t−t0 ) ,(2.23)ãäå a0 è t0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿH(t) = λ(t − t0 ),R = 12λ2(t − t0 )2 + 6λ,(2.24)83ñëåäîâàòåëüíî,R = − 72λ3 (t − t0 )2 − 24λ2 ,⇒r1 = −6λ,r2 = 12λ2.(2.25)Óñëîâèå (2.13) çàäà¼ò çíà÷åíèå êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû Λ = λm2P /2 è ñëåäóþùåå óñëîâèå:m2Pf0F (r1) = −− .32λ8 ìåòðèêå ÔËÓ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà ñâîäèòñÿ ê äâóì íåçàâèñèìûì óðàâíåíèÿì, íàïðèìåð, óðàâíåíèþ ñëåäà è 00 óðàâíåíèþ.
Ïîñëåäíååóðàâíåíèå äëÿ óäîâëåòâîðÿþùåãî àíçàöó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñëåäà èìååò âèä:1rr12F (r1) H Ḧ + 3H 2 Ḣ − Ḣ 2 + H 2 += 0.(2.26)2224Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå (2.24), ìû óáåæäàåìñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (2.26) âûïîëíåíî. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ (2.23) óäîâëåòâîðÿåò âñåì óðàâíåíèÿì Ýéíøòåéíà â ìîäåëè áåç ðàäèàöèè. Äàííîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ óçìàéêèíûõ [107, 167, 295℄ äëÿ R2 ãðàâèòàöèè. Êàê îòìå÷åíî â ñòàòüå [139℄, ïðè Λ > 0äàííîå ðåøåíèå âðÿä ëè ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè Âñåëåííîé, ïîñêîëüêó ëèíåéíî ðàñòóùèé ïàðàìåòð Õàááëà â ýòîé ìîäåëè çàòðóäíÿåò îïèñàíèåâûõîäà èç ñòàäèè ñâåðõ óñêîðåííîãî ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé.  òîæå âðåìÿ, âìîäåëè ñ îòðèöàòåëüíûì Λ äàííîå ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òèïà "îòñêîêà", àñèìïòîòè÷åñêè èäåíòè÷íî ñ ðåøåíèåì, èñïîëüçóåìûì â èíëÿöèè Ñòàðîáèíñêîãî [9, 10, 17℄ è ÿâëÿåòñÿ èçè÷åñêè ïðèåìëåìûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
