Диссертация (1097926), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ñîîòíîøåíèå (3.30) ìîæíî ïåðåïèñàòü ââèäå√t=C3.ψ − C4Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ (3.47), ìû ïîëó÷èì1−3wmC4 C14ΛC344ρ0C3C1 2f = 2 ψ − 2 2 − D1 ψ + D2 ++.C3C315[ψ − C4]4 3[3wm − 2]MP2 ψ − C4Òàê êàê óíêöèÿ f (ψ) îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, ìîæíî ïîëîæèòü, ÷òî êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ D2 = 0.Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (3.10), ïîëó÷àåì óñëîâèå íà êîíñòàíòûC2 = C3 D1 + 6C1,C3(3.48)êîòîðîå èêñèðóåò çíà÷åíèå ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà â âûðàæåíèè (3.26) äëÿóíêöèè Ψ(t). Èòàê, ïîëó÷åííàÿ óíêöèÿ f (ψ) ñîäåðæèò 4 ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðà: C1 , C3 , C4 è D1 .  ÷àñòíîñòè, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî âñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî êâàäðàòè÷íîãî ïîëèíîìà f (ψ) ìîäåëü èìååò ñòåïåííûåðåøåíèÿ ñ H = 1/(2t) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Λ = 0 è ρm (t) = 0.99àññìîòðèì ðåøåíèÿ ñ H = 1/(3t).
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (3.16) óíêöèþ ψ(t), çàäàííóþ (3.31), è Ψ(t), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðåøåíèå:19s(t) =[3C3 − 1 + 2 ln(t)]Λt2 + D̃1 +2[2 ln(t) + 3C3] 49ρ0[(wm − 1)(2 ln(t) + 3C3) + 2] 1−wm 2C1[3 + 2 ln(t) + 3C3]t−+.(3wm − 5)MP2t2/3Óðàâíåíèå (3.10) ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:1123H Ψ = − Ψ̇ − sψ̇ ψ̇ − 3H Ψ̇ + Λ + 2 ρm ,2MP(3.49)è ïðèâîäèò ê óñëîâèþ D̃1 = 6C2 .Äàëåå ìû âûðàæàåì âðåìÿ â âèäå óíêöèè îò ïîëÿ ψ :q(−3C̃3 ±J)/2t=e,ãäå J = 9C̃32 + 12ψ − 12C̃4 ,(3.50)è ïîëó÷àåì f ′ (ψ). Îòìåòèì, ÷òî óíêöèÿ ψ(t) èìååò ìèíèìóì, ïîýòîìó ñóùåñòâóþò äâå îáðàòíûå óíêöèè.
Èíòåãðèðóÿ f ′(ψ) ïî ψ , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèéðåçóëüòàò:(wm −1)J33ρ01f (ψ) = −e 2 (wm −1)C̃3 e∓ 2 + Ei 1, ± (wm − 1)J+2(3wm − 5)MP2JC̃3∓ J3+ C1 ee + Ei 1, ±(3.51)+3 C2 23Λe−3C̃3 ±J+e + Ei (1, ∓J) +ln 3C̃3 + 4ψ − 4C̃4 + D̃2 ,82ãäå D̃2 êîíñòàíòà. Äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî çíà÷åíèÿ x èíòåãðàëüíàÿ ïîêàçàòåëüíàÿ óíêöèÿ Ei(1, −x) ≡ −Ei(x) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ei (x) =Zx−∞ezdz.z ñâÿçè ñ îñîáåííîñòüþ ïîäûíòåãðàëüíîé óíêöèè â íóëå äëÿ ïîëîæèòåëüíûõçíà÷åíèé ïåðåìåííîé èíòåãðàë ñëåäóåò ïîíèìàòü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàññìîòðåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óíêöèè f (ψ) äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìèóíêöèÿìè. Ìû òàêæå ïîëó÷èëè ñòåïåííîå ðåøåíèå â ÿâíîì âèäå.1003.8.
Ïðîöåäóðà ðåêîíñòðóêöèè äëÿ ìîäåëè ñ áîëååñëîæíîé ìàòåðèåéÄî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ìîäåëè òîëüêî ñ îäíîé èäåàëüíîé æèäêîñòüþ.  ýòîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, ÷òî ïðîöåäóðà âîññòàíîâëåíèÿ ïîçâîëÿåòíàéòè ìîäåëè ñî ñòåïåííûìè ðåøåíèÿìè, êîòîðûå âêëþ÷àþò íåñêîëüêî èäåàëüíûõ æèäêîñòåé, ðàçëè÷àþùèõñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà wm . Ïóñòüρm =NXρi ,Pm =k=1NXPi ,Pi = wi ρi ,k=1ãäå wi êîíñòàíòû. åøàÿ óðàâíåíèÿρ̇i = − 3H(wi + 1)ρi(3.52)ρi (t) = ρ0i t−3n(wi +1).(3.53)ñ H = n/t, ïîëó÷àåìÏîäñòàâëÿÿ (3.53) â óðàâíåíèå (3.12), ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðåøåíèå1N−2nΨ = C1 t1−3n+ C2 t1 X ρ0i (wi − 1)t2−3(1+wi)nΛ2+t − 2.(n + 1)(3n + 1)MP k=1 (3nwi − 1)(n + 3nwi − 2)Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííóþ óíêöèþ Ψ(t) â óðàâíåíèå (3.15) è èñïîëüçîâàâ (3.32),ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó:Λt20e(1−3n)ψ/(3n(2n−1)) +6n(1 + n)(n − 1)t−2n20 C1 (3n−1)ψ/(3(2n−1))+e+ D1 e(3n−1) ψ/(3n(2n−1)) −2(2n − 1)Ni1 X ρ0i t2−3n−3nw0− 2e(3n(1+wi )−2)(3n−1)ψ/(6n(2n−1)) + D2 .MP k=1 3n(n − 2 + 3nwi)f0(ψ) =(3.54)Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ñòåïåííûõ ðåøåíèé íóæíîïîäñòàâèòü ïîëó÷åííûå óíêöèè â óðàâíåíèå (3.10).
Óêàçàííàÿ ïîäñòàíîâêà1Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî n è wi òàêîâû, ÷òî íåò äåëåíèÿ íà íóëü.101ïðèâîäèò ê óñëîâèþ D1 = 0, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì, ïîëó÷åííûì äëÿìîäåëåé ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì (óðàâíåíèå (3.35)).Èòàê, ïðîöåäóðà âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà ñëó÷àéìàòåðèè, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ èäåàëüíûõ æèäêîñòåé ñ ïîñòîÿííûìèïàðàìåòðàìè ñîñòîÿíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ìû ÿâíî ïîêàçàëè, ÷òî ìîäåëè ñ f (ψ), çàäàííûå îðìóëîé (3.36) ñ êîýèöèåíòàìè (3.38), îáëàäàþò ñòåïåííûìè ðåøåíèÿìè ñH = n/t. Ïîëó÷åííûå óíêöèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ïðîèçâîëüíóþ êîíñòàíòó,ïîýòîìó ìû â äåéñòâèòåëüíîñòè íàøëè îäíî-ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà óíêöèé f (ψ).
Ýòîò ðåçóëüòàò âåðåí äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ n, çà èñêëþ÷åíèåì n = −1, n = 1/3 è n = 1/2.  ýòèõ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ óíêöèÿ f (ψ)èìååò èíîé âèä, êîòîðûé òàêæå áûë ïîëó÷åí ÿâíî [231℄. Äðóãèì èíòåðåñíûìðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìîäåëè ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè f (ψ) ìîãóò èìåòüè ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà, è ñòåïåííûå ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.3.9. åøåíèÿ äå Ñèòòåðà â ñëó÷àå ïîêàçàòåëüíîéóíêöèè f (ψ)Êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ðàññìîòðåíèÿ ìîäåëü ñf (ψ) = f0eαψ ,(3.55)ãäå f0 è α êîíñòàíòû, îáëàäàåò ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà.
Áîëåå òîãî, äàííàÿóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé èç ìíîæåñòâà óíêöèé f (ψ), äëÿ êîòîðûõ äàííàÿ ìîäåëü îáëàäàåò ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñëó÷àé ïîêàçàòåëüíîé óíêöèè f (ψ) èçó÷àëñÿ î÷åíü àêòèâíî [143145, 160162℄, äî ïðåäñòàâëåííîé â äèññåðòàöèè ðàáîòû [228℄ íå áûë èçâåñòåí íàèáîëåå îáùèé âèä ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà äëÿ äàííîé ìîäåëè. Ñòðåìÿñü ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà,àâòîðû ñòàòåé [143, 161℄ íàëàãàëè îãðàíè÷åíèÿ íà ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.102 ÷àñòíîñòè, îíè áðàëè ÷àñòíîå ðåøåíèå (3.17), ïîëàãàÿ, ÷òî êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ψ0 = 0. Ìû èñïîëüçîâàëè ïîäîáíîå îãðàíè÷åíèå äëÿ ïðîâåäåíèÿïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè, ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ðàíåå ðåøåíèå äå Ñèòòåðà ìîæåò îêàçàòüñÿ íå íàèáîëåå îáùèì è íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü îòäåëüíî ñëó÷àéψ0 6= 0.Ïîäñòàâèâ ðåøåíèå (3.17) ñ ψ0 6= 0 â óðàâíåíèå (3.14), ìû ïîëó÷èì îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.14) â âèäå:ZtZt1ξ = 12H02f0α C1 − e(−ψ0 exp[−3H0(t2 −t0 )]−4H0(t2 −t0 ))α+3H0 t2 dt2 e−3H0t1 dt1 − ξ0,00(3.56)ñ ïðîèçâîëüíûìè êîíñòàíòàìè C1 è ξ0 .
Åñëè α = 3/2, òî ξ(t) íàõîäèòñÿ ÿâíî:ξ(t) = −8f0 −(3/2)ψ0 exp(−3H0 (t−t0 ))e+ C1e−3H0 (t−t0 ) − ξ0 .29ψ0(3.57)Ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ âêëþ÷àþò â ñåáÿ ÷åòûðå ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðà: ψ0 ,ξ0 , C1 è t0 . Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìû ìîæåì ïîëîæèòü t0 = 0 áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè.Âû÷èòàÿ èç óðàâíåíèÿ (3.11) óðàâíåíèå (3.10) è ïîäñòàâëÿÿ H(t) = H0 ,ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå1ξ˙ψ̇ = Ψ̈ − H Ψ̇ + 2 (1 + wm )ρm .MP(3.58)Èç (3.56) ñëåäóåò, ÷òîZtξ˙ = 12H02f0αe−3H0 t C1 + e[−ψ0 exp(−3H0 t2 )−4H0 t2 ]α+3H0 t2 dt2 .(3.59)0Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3.58) íå çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ψ0 è íå ñîäåðæèòïîêàçàòåëüíóþ óíêöèþ îò ýêñïîíåíòû.
Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîóðàâíåíèå (3.58) íå èìååò ðåøåíèÿ ïðè ëþáûõ íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ f0 , ψ0 è H0 . Òàêèì îáðàçîì, âñå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñîîòâåòñòâóþò ψ0 = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.13) è (3.14) èìåþò ñëåäóþùèé âèä: åñëè103α 6= 3/4, òîξ=3f0 −4αH0 (t−t0 )c0 −3H0 (t−t0 )e+e+ ξ0 ,3 − 4α3H0ψ = − 4H0(t − t0 ),(3.60)4wm = − 1 + α.3(3.61)ãäå c0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà,Λ = 3H02 (1 + ξ0 ) ,ρ0 = 6 (1 − 2α) H02 f0MP2 ,Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àé α = 1/2 ñîîòâåòñòâóåò ρ0 = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,äëÿ α = 1/2 ïîëó÷àåì wm = −1/3.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ìîäåëü ñïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé f (ψ) è ìàòåðèåé ñ wm = −1/3 íå èìååò ðåøåíèé äåÑèòòåðà. Äàííûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí è ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè (îðìóëà (3.24)).Äëÿ α = 3/4, ìû èìååìξ(t) = f0 (c0 + 3H0(t − t0 ))e−3H0(t−t0 ) + ξ0 ,Λ = 3H02(1 + ξ0),Pm = 0,ρm = − 3MP2 H02f0 e−3H0(t−t0 ) .(3.62)(3.63)Äàííîå ðåøåíèå, âïåðâûå ïîëó÷åííîå â ñòàòüå [228℄, ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ñò¼ìíîé ìàòåðèåé, ïîñêîëüêó wm = 0.3.10.
Ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé äå Ñèòòåðà3.10.1. Èçîòðîïíûå è àíèçîòðîïíûå âîçìóùåíèÿ. Ìåòðèêà Áüÿíêè IÌû ðàññìîòðèì ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé äå Ñèòòåðà â äàííîé ìîäåëè îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ àíèçîòðîïíûõ âîçáóæäåíèé. Äëÿ ýòîãîìû âûïèøåì óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà â ìåòðèêå Áüÿíêè I, îïðåäåëÿþùåé èíòåðâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì:ds2 = − dt2 + a21 (t)dx21 + a22 (t)dx22 + a23 (t)dx23.(3.64)Ïîäîáíîé àíàëèç ñòàáèëüíîñòè îòíîñèòåëüíî íå òîëüêî èçîòðîïíûõ, íî è àíèçîòðîïíûõ ëóêòóàöèé äëÿ ìîäåëè ñ îäíèì ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì104èëè àíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì áûë ñäåëàí â ðàáîòå [279℄ è îáîáù¼í íà ñëó÷àé ìîäåëåé ñ äâóìÿ ïîäîáíûìè ïîëÿìè â ðàáîòå [225℄, ðåçóëüòàòû êîòîðîéïðèâåäåíû â ðàçäåëå 4.5.Ïóñòü ðåøåíèå, ñòðåìÿùååñÿ ê èêñèðîâàííîé òî÷êå, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0, ñóùåñòâóåò ÷èñëî N1 , òàêîå ÷òîðåøåíèå íàõîäèòñÿ â ε/2 îêðåñòíîñòè èêñèðîâàííîé òî÷êè ïðè âñåõ N > N1 .Ïîýòîìó ñòàáèëüíîñòü íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ, ñòðåìÿùåãîñÿ ê íåïîäâèæíîéòî÷êå, ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óñòîé÷èâîñòè ýòîé íåïîäâèæíîé òî÷êè, êîòîðàÿîêàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà èëè Ìèíêîâñêîãî. Ñòàáèëüíîñòü èêñèðîâàííîé òî÷êè ãàðàíòèðóåò ñòàáèëüíîñòü âñåõ ñòðåìÿùèõñÿ ê íåé ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî âàðèàöèè íà÷àëüíûõ äàííûõ.Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ïåðåìåííûõ [296298℄.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
