Диссертация (1097926), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Êîîðäèíàòû (t, xi) è ïîëå φ áóäåì ñ÷èòàòü áåçðàçìåðíûìè. ÔËÓ ìåòðèêå íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èìåòü âèä:3H 2 =1̺,m2p3H 2 + 2Ḣ = −1p,m2p(4.14)ãäå áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð m2p = go2 MP2 /Ms2 ,1̺ = − φ̇2 + V (φ),21p = − φ̇2 − V (φ).2(4.15)Îòìåòèì, ÷òî áîëåå ïîçäíåé ñòàòüå È.ß. Àðåüåâîé [120℄ áûëî ïðåäëîæåíî ñ÷èòàòü ïàðàìåòð m2p çàäàííûì îðìóëîé (1.13). Óêàçàííûé âûáîð áîëååñîãëàñîâàí ñ ïîëåâîé òåîðèåé ñòðóí.128Ïîìèìî óðàâíåíèé (4.16) èç äåéñòâèÿ (4.13) ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ φ, à èìåííî óðàâíåíèå (4.4) ñ C = −1, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñèñòåìû (4.14).
Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (4.14) â âèäå, ïîõîæåì íà (4.3):1 211 22φ̇ ,3H = 2 V (φ) − φ̇ .Ḣ =(4.16)2m2pmp2Ñèñòåìà óðàâíåíèé (4.16) ñ ïðîèçâîëüíûì ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîìV (φ) íåèíòåãðèðóåìà. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà, èç ñèñòåìû (4.16)ïîëó÷àåì:φ̇ = 2m2p Wφ′ ,(4.17)2(4.18)V = 2m4p Wφ′ + 3m2p W 2 .Íàéäåì ïîòåíöèàë, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ φ âèäà (4.12). Ýòà óíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþφ̇ = 1 − φ2 ,(4.19)ñëåäîâàòåëüíî, èç (4.17) èìååì11 3W =φ − φ + C,2m2p3ãäå C êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Çíàÿ W (φ), ïî îðìóëå (4.18) ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë V (φ). àçëè÷íûå çíà÷åíèÿ C ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì âèäàìïîòåíöèàëà V (φ). Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîëèíîì V (φ) áûë ÷¼òíîé óíêöèåé, ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ C = 0.
 ýòîì ñëó÷àåV (φ) =21122 21 − φ2 +φ3−φ.212m2p(4.20)Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè φ(t) ðåøåíèå ñèñòåìû (4.17)(4.18) ñ íåêîòîðûì ïîòåíöèàëîì V (φ), òî è φ(−t) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèåì ñ òåì æå ïîòåíöèàëîì. Íàïðèìåð, φ2 (t) = tanh(−t) = − tanh(t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.17),(4.18) ñ ïîòåíöèàëîì (4.20). Îòìåòèì, ÷òî äàííûå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò îäíîé è òîé æå óíêöèè H(t), íî äâóì ðàçíûì óíêöèÿì W (φ).129Ìû ïîñòðîèëè ïîòåíöèàë V , èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ðåøåíèÿ2.
Òåïåðü ìûðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ çàäà÷ó è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõäâóõ òðåáîâàíèé: φ(t) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé óíêöèåé ñ íåíóëåâûìè àñèìïòîòèêàìè φ(±∞) = ±A è ñóïåðïîòåíöèàë W (φ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ïî φ íå âûøå3-åé ñòåïåíè.  ïåðâîì óñëîâèè áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî âûáðàòüA = 1. Âòîðîå óñëîâèå ãàðàíòèðóåò òî, ÷òî ïîòåíöèàë V (φ) áóäåò ïîëèíîìîìïî φ íå âûøå 6-îé ñòåïåíè. Ñîðìóëèðîâàííûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò ïåðåïèñàòüóðàâíåíèå (4.17) â ñëåäóþùåì âèäå:φ̇ = α + βφ + γφ2.(4.21)Èç àñèìïòîòè÷åñêèõ óñëîâèé ñëåäóåòγ = −α,β = 0.(4.22)åøàÿ óðàâíåíèå (4.21) ñ ó÷¼òîì (4.22), ïîëó÷àåìφ(t) = tanh(α(t − t0 )).(4.23)åøåíèå φ(t) = coth(α(t − t0 )) íàìè íå ðàññìàòðèâàåòñÿ, ïîñêîëüêó îíî íåÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé óíêöèåé.
Òàêèì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåðàñòÿæêè èñäâèãà ïî âðåìåíè ïîëó÷àåì ðåøåíèå (4.12). Î÷åâèäíî, ÷òî ïîòåíöèàë, ïîëó÷àåìûé èç óðàâíåíèÿ (4.18), ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì (4.20). Èíòåðåñíî, ÷òî â ðàìêàõ ïðèâåä¼ííûõ óñëîâèé íà ðåøåíèå èñóïåðïîòåíöèàë, ïîòåíöèàë 6-îé ñòåïåíè ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé âîçìîæíîñòüþäëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåðïîëèðóþùåãî ðåøåíèÿ. Òàêæå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîòåíöèàëîì4-îé ñòåïåíè áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèé Ôðèäìàíà ëèáî ñ ïîëèíîìèàëüíûìïîòåíöèàëîì 6-îé ñòåïåíè, ëèáî ñ íåïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì [218℄.Îòìåòèì, ÷òî ïðåäëîæåííûé íàìè â ñòàòüå [217℄ ïîòåíöèàë áûë âïîñëåäñòâèè èñïîëüçîâàí â ñòàòüå [328℄ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñâÿçàííîé ñ òåîðèåé ñòðóí êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé ïåðåõîä ÷åðåçáàðüåð êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû w = −1.2130Ïàðàìåòð Õàááëà äëÿ ïîñòðîåííîãî ðåøåíèÿ èìååò âèä11 2112H=φ 1− φ =tanh(t) 1 − tanh(t) .2m2p32m2p3(4.24)Ýòîò ïàðàìåòð ñòðåìèòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ê 1/(3m2p) ïðè t → ∞, ïðè ýòîì φ →1.
Çíàÿ H(t), ëåãêî ïîëó÷èòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ìàñøòàáíîãî ìíîæèòåëÿ!2221eφ /(12mp)cosh(t)−12,a = a0= a0 (cosh(t)) 3mp exp(4.25)1/(6m2p )212m2p cosh(t)2(1 − φ )ãäå a0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.4.2.3. Êîñìîëîãè÷åñêèå ñëåäñòâèÿÔóíêöèÿ a(t) îáëàäàåò ñëåäóþùèì àñèìïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì:lim a(t) ∼ e1t3m2pt→∞(4.26).Êàê ñëåäóåò èç îðìóë (4.25) è (4.26), Âñåëåííàÿ óñêîðåííî ðàñøèðÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ïàðàìåòð çàìåäëåíèÿ îòðèöàòåëåíq(t) = −äa25 + cosh(4t)=−−.22ȧsinh(t)2(2 + cosh(2t))2Ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàèêè ïðåäñòàâëåíû íà èñ. 4.1 (Âñå ãðàèêè, äëÿ êîòîðûõ ïàðàìåòð mp íå óêàçàí ÿâíî, ïîñòðîåíû ïðè mp = 1). Íà èñ.
4.2 ïðåä50,5aH40,430,320,20123045t-1-2-310,1-40001234t501234t5q-5èñóíîê 4.1. Ìàñøòàáíûé àêòîð a(t) (ëåâûé), a0 = 1, ïàðàìåòð Õàááëà H(t)(öåíòðàëüíûé) è ïàðàìåòð çàìåäëåíèÿ q (ïðàâûé)˙ 2 /ȧ3 è kerk ïàðàìåòð k = −äa¨ 3 /ȧ4 .ñòàâëåíû jerk ïàðàìåòð j = äa1313802120123405401t-1000-21234t051234t5-1-3-40-2-4kjk-3-80-5èñóíîê 4.2. jerk ïàðàìåòð (ëåâûé), kerk ïàðàìåòð (öåíòðàëüíûé) è åãîòîíêàÿ ñòðóêòóðà (ïðàâûé).Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå ðåøåíèå (4.12) è ïîòåíöèàë (4.20) â âûðàæåíèÿäëÿ ïëîòíîñòè äàâëåíèÿ è ýíåðãèè, ïîëó÷àåìp(φ) = − 1 − φ22−122 2φ3−φ,12m2p̺(φ) =122 2φ3−φ.12m2pÑëåäîâàòåëüíî, ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ w èìååò âèä2 212m2p cosh(t)21−φp2w ≡ = − 1 − 12mp= −1−.̺φ2 (3 − φ2 )2sinh(t)2 (1 + 2 cosh(t)2)2ðàèêè ïëîòíîñòè ýíåðãèè ̺(t), äàâëåíèÿ p(t), è ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ w(t)ïðåäñòàâëåíû íà èñ. 4.3.0,50123450̺123400-0,2-0,4t5t0,4-10,3-2-0,60,2-0,8-1p-30,1-4-1,2-1,4001234t5w-5èñóíîê 4.3.
p(t) (ëåâûé), ̺(t) (öåíòðàëüíûé) è w(t) (ïðàâûé)Îòìåòèì, ÷òî óíêöèÿ w(φ) ìåíüøå −1 ïðè |φ| 6= 1 è ðàâíà −1 ïðè|φ| = 1. Òî÷êà φ = 1 ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîìó áóäóùåìó: t = +∞.Òàêèì îáðàçîì, â ñòàòüå [217℄ áûëà ïîñòðîåíà òî÷íî ðåøàåìàÿ ìîäåëüóñêîðåííî ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé ñ äîìèíèðóþùåé ò¼ìíîé ýíåðãèåé. Ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè âñåãäà ìåíüøå −1 è ñòðåìèòñÿ ê132−1 ïðè t → ∞.
Òàêîå ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ ïðèâîäèò ê îòñóòñòâèþâ ýòîé ìîäåëè ñèíãóëÿðíîñòè òèïà Big Rip, êîòîðàÿ èìååò ìåñòî â ìîäåëÿõ ñïîñòîÿííûì w < −1. Îòìåòèì, ÷òî äàííûå ñâîéñòâà ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ ñîõðàíÿòñÿ è ïðè âêëþ÷åíèè â íàøó ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ ñ õîëîäíîé ò¼ìíîéìàòåðèåé, êàê áûëî ïîêàçàíî â íàøåé ñòàòüå [215℄ (ñì. ðàçäåë 4.3). Ïîëó÷èòüòî÷íî ðåøàåìóþ ìîäåëü, â êîòîðîé w ïåðåñåêàåò áàðüåð êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé w = −1 ìîæíî ëèáî ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ,ëèáî ñ ïîìîùüþ íåìèíèìàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ îáû÷íîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñãðàâèòàöèåé.
Ïðèìåðû òàêèõ ìîäåëåé ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè øåñòîé ñòåïåíè ïîñòðîåíû â ðàáîòàõ [216, 222, 232℄ è ïðèâåäåíû â ïîñëåäóþùèõðàçäåëàõ.4.2.4. Ýâîëþöèÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ è îðìà ïîòåíöèàëàåøåíèå (4.12) óðàâíåíèÿ (4.11) åñòü óíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ èíòåðïîëÿöèþ ïîëÿ φ ìåæäó òî÷êàìè −1 è 1 (íî íå íàîáîðîò) ñ íóëåâîé íà÷àëüíîéè êîíå÷íîé ñêîðîñòÿìè â ïîòåíöèàëå (4.20) ñ òðåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûìqsign(H) − 21 φ̇2 + V (φ), êîòîðîå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè.
Ìíîæèòåëü sign(H) äåëàåò òðåíèå îòðèöàòåëüíûì äëÿ îòðèöàòåëüíûõ φ, òî åñòü÷àñòèöà óñêîðÿåòñÿ çà ñ÷¼ò íåãî.  ñàìîì äåëå, âûðàæåíèå äëÿ êîýèöèåíòà√òðåíèÿ íà ðåøåíèè ðàâíî φ 3 − φ2 /(2 3mp ) êàê äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ, òàêè äëÿ îòðèöàòåëüíûõ φ.Îáñóäèì ýâîëþöèþ ÿâíî ïîñòðîåííîãî ðåøåíèÿ. àññìîòðåíèå ýâîëþöèèàíòîìíîãî ïîëÿ ýêâèâàëåíòíî ýâîëþöèè íîðìàëüíîãî ïîëÿ â ïåðåâåðíóòîìïîòåíöèàëå. Ôîðìà V ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ mp , ñì. èñ. 4.4, ãäåïåðåâåðíóòûé ïîòåíöèàë −V íàðèñîâàí ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ mp .133-1,5-1-0,5000,5∞11,5-1,5-1-0,50-0,40,511,5φφ-0,2-0,4-0,6112-0,451724-0,5-0,8-1-1,214−V-1,4-0,55−V712-0,6èñóíîê 4.4.
Ïîòåíöèàë −V ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ mp . Íà ëåâîì ðèñóíêåêðèâûì (â ïîðÿäêå ñâåðõó âíèç) ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ mp : m2p =∞, m2p = 1, m2p = 1/2 è m2p = 1/4, à íà ïðàâîì m2p = 17/24 è m2p = 7/12. Äâåâåðòèêàëüíûå ëèíèè φ = ±1 ïðèâåäåíû äëÿ íàãëÿäíîñòè.Äëÿ àíàëèçà ýêñòðåìóìà ïîòåíöèàëà ïðèâåäåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:11V (0) = ,V (±1) =,23m2p1222Vφ′ =φ1−φ(3−4m)−φ,p2m2p223−4m22m−1ppVφ′′(0) =,Vφ′′ (±1) =.22mpm2p(4.27)Èç (4.27) î÷åâèäíî, ÷òî ýêñòðåìóìû φ = ±1 è φ = 0 ñóùåñòâóþò âñåãäà, âòî âðåìÿ êàê ïîëîæåíèå äâóõ äðóãèõ ýêñòðåìóìîì ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìè mp .Áîëåå òîãî, êîíêðåòíîå çíà÷åíèå mp îïðåäåëÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé ýêñòðåìóì ìàêñèìóìîì èëè ìèíèìóìîì. Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà mp ìîæíîðàçäåëèòü íà ñëåäóþùèå îáëàñòè, îïðåäåëÿþùèå ñòðóêòóðó ýêñòðåìóìîâ ïåðåâåðíóòîãî ïîòåíöèàëà −V :• Ïðè mp = ∞ óíêöèÿ V (φ) ÿâëÿåòñÿ õîðîøî èçâåñòíûì õèããñîâñêèìïîòåíöèàëîì.• Ïðè346 m2p < ∞ ïåðåâåðíóòûé ïîòåíöèàë −V , ÿâëÿÿñü ïîòåíöèàëîì1346-îé ñòåïåíè, ãðàè÷åñêè (êà÷åñòâåííî) ïîõîæ íà ïåðåâåðíóòûé ïîòåíöèàë Õèããñà: èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì â òî÷êå φ = 0 è ìàêñèìóìû âòî÷êàõ φ = ±1.• Ïðè12< m2p <34â ïåðåâåðíóòîì ïîòåíöèàëå òî÷êà φ = 0 ñòàíîâèòñÿëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì è âîçíèêàþò äâà äîïîëíèòåëüíûõ ìèíèìóìà íàèíòåðâàëå (−1, 1), ñîçäàâàÿ äâå ÿìû è îäèí õîëì íà ïóòè íàøåãî ïîëÿ φâî âðåìÿ èíòåðïîëÿöèè ìåæäó òî÷êàìè −1 è 1, ñì.
ïðàâóþ êàðòèíêó íàèñ. 4.4. Áîëåå äåòàëüíî: Ïðè236 m2p <34òî÷êè φ = ±1 íàõîäÿòñÿ íå íèæå, ÷åì φ = 0 âïåðåâåðíóòîì ïîòåíöèàëå. Ïðè12< m2p <23òî÷êè φ = ±1 íàõîäÿòñÿ íèæå, ÷åì φ = 0 âïåðåâåðíóòîì ïîòåíöèàëå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàøå ïîëå φ ñòàðòóåòèç òî÷êè φ = −1 ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ, êàòèòñÿ âíèç, âÿìó, è çàòåì âñêàðàáêèâàåòñÿ ê òî÷êå, êîòîðàÿ âûøå åãî èçíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò èíòóèöèè, ïîêà íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå àêòîð sign(H) â êîýèöèåíòå òðåíèÿ, îòêóäàïîëó÷àåòñÿ, ÷òî òðåíèå îòðèöàòåëüíî ïðè îòðèöàòåëüíûõ φ. Êàçàëîñü áû, ÷òî ìîæíî îïðîâåðãíóòü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, ïîñêîëüêó åñòåñòâåííî îáðàòèòü âðåìÿ è ðàññìîòðåòü îáðàòíîå äâèæåíèå.Ýòî ïðîòèâîðå÷èå ëåãêî ðàçðåøèìî, òàê êàê â ñëó÷àå îáðàù¼ííîãîâðåìåíè óíêöèÿ H áóäåò èìåòü îáðàòíûé çíàê.• Ïðè m2p =12ïåðåâåðíóòûé ïîòåíöèàë èìååò òîëüêî îäèí ýêñòðåìóì: ìàêñèìóì â òî÷êå φ = 0, à òî÷êè φ = ±1 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà.• Ïðè m2p <12äâà ìèíèìóìà, âîçíèêàþùèå èç ïîñëåäíåãî ìíîæèòåëÿ ââûðàæåíèè äëÿ V ′ (4.27), óõîäÿò çà èíòåðâàë −1 < φ < 1 è ñòàíîâÿòñÿìàêñèìóìàìè, à òî÷êè φ = ±1 ñòàíîâÿòñÿ ìèíèìóìàìè ïåðåâåðíóòîãîïîòåíöèàëà.
Òî÷êà φ = 0 îñòà¼òñÿ ìàêñèìóìîì.  ýòîì ñëó÷àå ïîëå φ,135ñòàðòóÿ èç φ = −1, ñ ñàìîãî íà÷àëà êàðàáêàåòñÿ íà õîëì, à çàòåì ñêàòûâàåòñÿ âíèç è îñòàíàâëèâàåòñÿ â òî÷êå φ = 1. Òàêîå ïîâåäåíèå îêàçûâàåòñÿâîçìîæíûì áëàãîäàðÿ îòðèöàòåëüíîìó òðåíèþ äëÿ îòðèöàòåëüíûõ φ.Ïðè èçó÷åíèè êîñìîëîãè÷åñêîé ýâîëþöèè àíòîìíîãî ïîëÿ ìû èñïîëüçóåì òîëüêî îäíó ÷àñòü ðåøåíèÿ (4.12), íà÷èíàþùóþñÿ âî âðåìÿ t = tin > 0. Âýòîò ìîìåíò ïîëå íàõîäèòñÿ â òî÷êå φin = φ(tin ) = tanh(tin) è åìó íåîáõîäèìîñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü φ̇(tin ) = 1 − φ2in = 1/ cosh2 (tin).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
