Диссертация (1097926), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Ïîäñòàâëÿÿ x1 (N ) èz1 (N ) â óðàâíåíèÿ (3.102) è (3.103), ìû ïîëó÷èì óáûâàþùèå ïî ìîäóëþ h1 (N )113è w1 (N ). Îòìåòèì, ÷òî h1 (N ) èìååò íåçàâèñÿùóþ îò N ÷àñòü: H1 . Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî,÷òî ïðè Λ = 0 çíà÷åíèå H0 ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî,ïîýòîìó ìîæíî âûáðàòü H̃0 = H0 +H1 âìåñòî H0 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè Λ = 0 ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñòàáèëüíû, åñëè 1/2 6 α < 3/4. Åñëè f0 > 0, òî ñòàáèëüíûåðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñîîòâåòñòâóþò ρ0 6 0.Èòàê, ìû ðàññìîòðåëè ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé äå Ñèòòåðà â Áüÿíêè I ìåòðèêå è ïîëó÷èëè, ÷òî ïðè H0 > 0 è α > 0, ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñòàáèëüíûäëÿ âñåõ íåíóëåâûõ çíà÷åíèé Λ.  ñëó÷àå Λ = 0 ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñòàáèëüíû ïðè H0 > 0 è 3/4 > α > 1/2.

Îòìåòèì, ÷òî âñå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà,êîòîðûå ñòàáèëüíû îòíîñèòåëüíî èçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé, òàêæå ñòàáèëüíûîòíîñèòåëüíî àíèçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé ìåòðèêè Áüÿíêè I [228, 245℄.3.11. Ñòåïåííûå ðåøåíèÿ äëÿ ìîäåëè ñ ïîêàçàòåëüíîéóíêöèåé3.11.1. Ñëó÷àè íóëåâîãî è íåíóëåâîãî ΛÍàéä¼ì ñòåïåííûå ðåøåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëÿõ (3.5) ñ ïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé f , çàäàííîé îðìóëîé (3.55). Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ðåøåíèé ñëåäóåò è èç ïðîâåä¼ííûõ ðàíåå èññëåäîâàíèé [143, 162℄, è èç ðàññìîòðåííîé ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè. Öåëüþ ðàáîòû [233℄, ïðåäñòàâëåííîé â äèññåðòàöèè, ÿâëÿëîñü íàõîæäåíèå âñåõ ðåøåíèé òàêîãî òèïà, ïîýòîìó áûëè íå òîëüêî íàéäåíû íîâûå òî÷íûå ðåøåíèÿ, íî äîêàçàíî îòñóòñòâèå èíûõ ïîäîáíûõðåøåíèé. àññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü ìîæåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ èäåàëüíóþ êîñìè÷åñêóþ æèäêîñòü è êîñìîëîãè÷åñêóþ êîíñòàíòó.Åñëè H = n/t, òî äèíàìèêà êîñìè÷åñêîé æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé (3.25), à ïîëÿ Ψ îðìóëîé (3.26). Ôîðìóëà (3.25) âåðíà ïðè ëþáûõçíà÷åíèÿõ n è wm , îðìóëà (3.26), íàïðîòèâ, ïîäðàçóìåâàåò îãðàíè÷åíèÿ íàýòè ïàðàìåòðû, ïîñêîëüêó íåîáõîäèìî èçáåæàòü äåëåíèÿ íà íóëü.

Òàêèì îáðà114çîì, òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ðàññìîòðåíèå îòäåëüíûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Ôóíêöèÿ ψ(t) â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ n çàäà¼òñÿ îäíîé èç îðìóë(3.29)(3.31).Åñëè ψ(t) çàäàíà (3.29) è êîíñòàíòà ψ1 = 0, òî mtn(2n − 1)f (ψ(t)) = f0,m ≡ − 6α.t03n − 1Ïîäñòàâëÿÿ (3.29) è (3.109) â (3.14) ïîëó÷àåì óíêöèþ ξ(t): 1−3n mt(3n−1)ft0+, äëÿ m 6= 1 − 3n, ξ0 + ξ1t03n + m − 1 t0ξ(t) = m ttln, äëÿ m = 1 − 3n, ξ2 − mf0t0t1(3.109)(3.110)ãäå ξ0 , ξ1 , ξ2 è t1 ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ.Äàëåå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå, îïèñûâàåìîå îðìóëàìè (3.25), (3.29) è(3.110), ïîäñòàâëÿåòñÿ â óðàâíåíèÿ (3.10) è (3.11), ÷òî äà¼ò ñëåäóþùèå óñëîâèÿíà êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ• Äëÿ m 6= 1 − 3n, èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, äëÿp3(α − 1) ± 3α(3α − 2)n 6=,3(4α − 3)(3.111)ïîëó÷àþòñÿ ðàçíûå îãðàíè÷åíèÿ íà êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè Λ =0 è Λ 6= 0.

À èìåííî: Äëÿ Λ = 0, ïîëó÷àåì ξ0 = −1 ,6(3n − 1 + 3α − 6nα)f0n2 6n(2n−1)α/(3n−1)t0, ρ0 =(3n − 1)κ2(3.112)êîíñòàíòû t0 è ξ1 îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ïàðàìåòðn ñâÿçàí ñ ïàðàìåòðîì ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèè ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:wm + 1 −22α(2n − 1)−= 0,3n3n − 1(3.113)115ðåøåíèåì êîòîðîãî áóäåò:n = n± =3wm − 6α + 9 ±q(3wm − 6α + 1)2 + 8 (1 − 3wm )6(3wm − 4α + 3).(3.114)Òðåáîâàíèå äåéñòâèòåëüíîñòè n = n± íàëàãàåò ñëåäóþùåå óñëîâèåíà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ α è wm :(3wm − 6α + 1)2 + 8 (1 − 3wm) > 0 .(3.115)Îòìåòèì, ÷òî ïðè wm = −1 ìàòåðèÿ íåîòëè÷èìà îò êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû, ò.å.

ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò Λ 6= 0. Åñëè ìàòåðèÿÿâëÿåòñÿ ðàäèàöèåé, ò.å. wm = 1/3, óðàâíåíèå (3.114) ïðèâîäèò ên− = 1/2, êîòîðîå íóæíî èñêëþ÷èòü, ïîñêîëüêó ïðåäûäóùåå ðàññìîòðåíèå íå âåðíî äëÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ n. Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëè ñðàäèàöèåé ñîîòâåòñòâóþò òîëüêî ðåøåíèÿ ñ n = n+ . Äëÿ Λ 6= 0, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû:m = 2,6n(n + 1)f0,Λ3(1 + ξ0)n2ρ0 =,κ2t20 =(3.116)êîíñòàíòû ξ0 è ξ1 îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, à ïàðàìåòðn ñâÿçàí ñ ïàðàìåòðîì ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèè ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:n=2.3(1 + wm )(3.117)Óñëîâèå m = 2 îçíà÷àåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìîäåëü èìååò ñòåïåííûå ðåøåíèÿ òîëüêî åñëè23(1 − wm)α=.2(3wm − 1)(3.118)Ýòî óñëîâèå ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ îðìóë (3.109) è (3.117).116Óñëîâèå (3.118), â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñòåïåííûõ ðåøåíèé â ìîäåëè ñ íåíóëåâîé êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòîé è ìàòåðèåéñ wm = 1/3, ïðè óñëîâèè, ÷òî m 6= 1 − 3n.Åñëè ìàòåðèÿ îòñóòñòâóåò: ρ(t) = 0, òî ξ0 = −1.

 ýòîì ñëó÷àå èçóñëîâèÿ m = 2, ìû ïîëó÷àåìn = n± =3(α − 1) ±√9α2 + 6α + 9.12α(3.119)Äàííîå ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî â ñòàòüå [162℄, ãäå ðàññìàòðèâàëàñüäàííàÿ ìîäåëü áåç äîáàâëåíèÿ êîñìè÷åñêîé æèäêîñòè.• Äëÿ m = 1 − 3n, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñâÿçü íà ïàðàìåòðû n è α:(3n − 1)2α−= 0.6n(2n − 1)Ñëåäîâàòåëüíî,p3(α − 1) ± 3α(3α − 2)n = n± =.3(4α − 3)(3.120)Ïðè Λ = 0 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ ξ2 = − 1 , ρ0 = − 3n(n − 1)f0 t3n−1.0κ2Ïðè ýòîì n ñíîâà îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì wm :n=1.3wm(3.121)(3.122)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïàðàìåòðû α è wm :3(1 − wm )2α=.2(2 − 3wm )(3.123)Äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé α ñóùåñòâóþò äîïîëíèòåëüíûå ðåøåíèÿ, à,èìåííî:117 Ïðè α = 2/3 è Λ = 0, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå, äëÿ êîòîðîãî ïàðàìåòðûξ2 , t0 è t1 ïðîèçâîëüíû (èêñèðóþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), à n,wm è ρ0 çàäàíû ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:n = 1,wm = −1,3ρ0 =3(ξ2 + 1).κ2(3.124) Ïðè α = 6/5 è Λ 6= 0 ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñ ïðîèçâîëüíûì t1 è1n= − ,3t20 = −4f0,3Λρ0 = 0 ,ξ2 = − 1.(3.125)Îòìåòèì, ÷òî ïðè α = 6/5 òàêæå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (3.121) ñ Λ = 0 èn = 5/9.Òàêèì îáðàçîì, â ñòàòüå [233℄ ìû ïîëó÷èëè ñòåïåííûå ðåøåíèÿ êàê äëÿíóëåâîãî, òàê è äëÿ íåíóëåâîãî çíà÷åíèÿ Λ.

Îíè îáîáùàþò ðàíåå íàéäåííûåðåøåíèÿ äëÿ äàííîé ìîäåëè áåç ìàòåðèè [162℄, à òàêæå ðåøåíèÿ, íàéäåííûå âñòàòüå [143℄. Âñå ðåøåíèÿ ñ m = 1 − 3n áûëè íàéäåíû âïåðâûå.Ïîëó÷åííûå ñòåïåííûå ðåøåíèÿ óäîáíî ñèñòåìàòèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþÒàáëèö 3.1 è 3.2.Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííûå â òàáëèöàõ ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû ïðè n 6= 1/2,n 6= 1/3. Äëÿ âñåõ ðåøåíèé ψ(t) çàäàí îðìóëîé (3.29) ñ ψ1 = 0: 6n(2n − 1)tψ(t) = −ln.3n − 1t0 êîíöå ýòîé ãëàâû ìû äîêàæåì, ÷òî ñòåïåííûå ðåøåíèÿ ñ ψ1 6= 0 íå ñóùåñòâóþò, è ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé ñ n = 1/2 è n = 1/3.3.11.2.

Äîêàçàòåëüñòâî îòñóòñòâèÿ ñòåïåííûõ ðåøåíèé â ñëó÷àåψ1 6= 0Ïîñêîëüêó íàøà öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè âñå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå H = n/t, òî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ψ1 6= 0 ñ íàäåæäîéïîëó÷èòü íîâûå ðåøåíèÿ èëè ñòðîãî äîêàçàòü, ÷òî òàêèå ðåøåíèÿ íå ñóùåñòâóþò.118Òàáëèöà 3.1. åøåíèÿ â ñëó÷àå m 6= 1 − 3nåøåíèÿΛΛ=0Λ 6= 0Óñëîâèÿ 1−3n mt(3n−1)ft0ξ(t) = −1 + ξ1+,t3n+m−1t00Óð.

(3.113)Óð. (3.114)−3n(wm +1)6f0n23α(1 − 2n)tρm (t) = 2 2 1 +,  Óð. (3.115)κ t03n − 1t0 1−3n 2t(3n−1)ft0ξ(t) = ξ0 + ξ1+,t03n + 1t0Óð. (3.116)Óð. (3.117) Óð. (3.118)3n2(1 + ξ0 ) −3n(wm +1)ρm (t) =t,κ2Òàáëèöà 3.2. åøåíèÿ â ñëó÷àå m = 1 − 3nåøåíèÿΛΛ=0 1−3n ttln,ξ(t) = − 1 + f0(3n − 1)tt01 −3n−13fn(1−n)t0, ρm (t) =2κ2 t0t0 23Λtt ξ(t) = −1 +ln,2t1Λ 6= 0 ρ (t) = 0 ,mÓñëîâèÿÓð.

(3.120)Óð. (3.122) Óð. (3.123) α = 6/5 Óð. (3.125)119Ïðè ψ1 6= 0 óðàâíåíèå (3.14) íå èìååò ðåøåíèé â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõóíêöèé, ïîýòîìó óäîáíåå ðåøèòü óðàâíåíèå (3.12), ïîëó÷èòü Ψ(t), ïîäñòàâèòüξ(t) = Ψ(t) − f (ψ(t))â (3.14) è ïðîâåðèòü ðåøàåòñÿ îíî èëè íåò. ñëó÷àå n 6= −1 è n 6= −1/3 ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.13) è (3.12) çàäàþòñÿîðìóëàìè (3.26) è (3.29), ñîîòâåòñòâåííî2 . Ïîäñòàâëÿÿ ξ(t) = Ψ(t) − f (ψ(t))â (3.14), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèÿ ïðè ψ1 6= 0, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò âûðàæåíèåψ1tγ0 exp − t1−3n ,β0ãäå β0 è γ0 íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Äàííûé ÷ëåí ïðîïàäàåò òîëüêî ïðè ψ1 = 0,åãî íåâîçìîæíî îáðàòèòü â íóëü âûáîðîì äðóãèõ ïàðàìåòðîâ. Îòñþäà ñëåäóåòâûâîä î íåñóùåñòâîâàíèè ñòåïåííûõ ðåøåíèé ñ ψ1 6= 0 äëÿ âñåõ n 6= −1, n 6=−1/3. àññìàòðèâàÿ òåì æå ñïîñîáîì ñëó÷àè n = −1 è n = −1/3, ïðèõîäèì êâûâîäó, ÷òî ðåøåíèÿ ñ ψ1 6= 0 â íèõ òîæå îòñóòñòâóþò.3.11.3.

Ñïåöèàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà nàññìîòðèì òåïåðü ðåøåíèÿ ñ n = 1/2, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò R = 0.åøàÿ óðàâíåíèÿ (3.13) è (3.14), ìû ïîëó÷èìψ(t) = ψ3 t−1/2 + ψ4 ,ξ(t) = ξ3 t−1/2 + ξ4 ,(3.126)ãäå ψ3 , ψ4 , ξ3 , è ξ4 êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé è H = 1/(2t) â óðàâíåíèÿ (3.10) è (3.11) ïðèâîäèò ê âûâîäó,÷òî ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè Λ = 0.

Ïðè ýòîì êîíñòàíòû äîëæíûóäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:ψ3 = 0,24ξ4 = −1 − f0 eαψ4 + κ2 ρ0 ,31wm = .3Îòìåòèì, ÷òî wm âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû (3nwm − 1)(n + 3nwm − 2) 6= 0.(3.127)120Îòìåòèì, ÷òî êîíñòàíòû ρ0 , ψ4 è ξ3 ïðîèçâîëüíû è çàäàþòñÿ íà÷àëüíûìè äàííûìè.Ïðè n = 1/3, óðàâíåíèå (3.13) èìååò ðåøåíèå: 2 1ttψ(t) = ln+ ψ5 ln,3t2t2(3.128)ãäå ψ5 è t2 ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ôóíêöèÿ ξ(t), êàê ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (3.14), ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òîëüêî â êâàäðàòóðàõ.  òîæå âðåìÿ,ðåøàÿ (3.12), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî Ψ(t) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé óíêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ óíêöèÿ ξ(t) äîëæíàáûòü ýëåìåíòàðíîé. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò îòñóòñòâèå ðåøåíèéïðè n = 1/3.Èòàê, ìû íàøëè âñå âîçìîæíûå ñòåïåííûå ðåøåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè ñ ïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé f , ñ ó÷¼òîì âîçìîæíîãîïðèñóòñòâèÿ êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû è èäåàëüíîé êîñìè÷åñêîé æèäêîñòè.121ëàâà 4ÊÎÑÌÎËÎÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÑÌÈÍÈÌÀËÜÍÎ ÑÂßÇÀÍÍÛÌÈÑÊÀËßÍÛÌÈ ÏÎËßÌÈ.

Характеристики

Список файлов диссертации