Диссертация (1097926), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Óäîáíî âûðàçèòü ai ÷åðåç íîâûå ïåðåìåííûå a è βi (ìûèñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ ñòàòüè [298℄):ai (t) = a(t)eβi (t) .(3.65)Íàëîæèâ îãðàíè÷åíèå, ÷òî ïðè ëþáîì t âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîβ1 (t) + β2 (t) + β3(t) = 0,(3.66)ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿa(t) = (a1 (t)a2 (t)a3(t))1/3,Hi ≡ H + β̇i ,è1H = (H1 + H2 + H3 ),3(3.67)(3.68)ãäå H ≡ ȧ/a.Çàìåòèì, ÷òî βi íå ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà è, ñëåäîâàòåëüíî, íåïîä÷èíÿþòñÿ ïðàâèëó ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà.  ñëó÷àå ìåòðèêè Ôðèäìàíàâñå βi ðàâíû íóëþ, è H ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàìåòð Õàááëà. Ñëåäóÿ [296298℄,ìû ââîäèìς 2 ≡ β̇12 + β̇22 + β̇32.(3.69)105 ìåòðèêå Áüÿíêè IR = 12H 2 + 6Ḣ + ς 2,ïîýòîìó óðàâíåíèÿ íà ñêàëÿðíûå ïîëÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:ψ̈ = − 3H ψ̇ − 12H 2 − 6Ḣ − ς 2.(3.70)22¨ξ = − 3H ξ̇ − 12H + 6Ḣ + ς f ′(ψ).(3.71)åøåíèå äå Ñèòòåðà (3.60) âêëþ÷àåò â ñåáÿ óíêöèþ ψ(t), ÿâëÿþùóþñÿëèíåéíîé óíêöèåé âðåìåíè, ïîýòîìó â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ ðåøåíèå äå Ñèòòåðà íå ñòðåìèòñÿ ê èêñèðîâàííîé òî÷êå. Äëÿ àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè ââåä¼ìâìåñòî ïîëÿ ψ(t) íîâûå ïåðåìåííûå, ñòðåìÿùèåñÿ ê êîíñòàíòàì íà ðåøåíèÿõäå Ñèòòåðà.
À èìåííî, ââåä¼ì óíêöèèφ = f (ψ) = f0 eαψ ,(3.72)χ = ψ̇.Òàêæå îáîçíà÷èì ϑ = ξ˙. Òåïåðü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà (3.70)è (3.71) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê ñèñòåìó ÷åòûð¼õ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:φ̇ = αφχ,ξ˙ = ϑ,χ̇ = − 3Hχ − 12H 2 − 6Ḣ − ς 2,2ϑ̇ = − 3Hϑ − α 12H + 6Ḣ + ς2φ.(3.73)(3.74)Óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà äëÿ äàííîé ìîäåëè â Áüÿíêè I ìåòðèêå èìåþòâèä:ς2112− 3H Ψ − ξ˙ψ̇ − 3H Ψ̇ + Λ + 2 ρm = 0 ,(3.75)22MP2ς112Ḣ + 3H 2 + − β̈j − 3H β̇j Ψ − ξ˙ψ̇ + Ψ̈ + (2H − β̇j )Ψ̇ = Λ − 2 Pm . (3.76)22MPÑóììèðóÿ óðàâíåíèÿ (3.76) äëÿ j = 1, 2, 3, ïîëó÷àåì2ς112Ḣ + 3H 2 +Ψ − ξ˙ψ̇ + Ψ̈ + 2H Ψ̇ = Λ − 2 Pm .22MP(3.77)106Íàïîìíèì, ÷òî Ψ = 1 + φ + ξ , è îòìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü óðàâíåíèé (3.75) è(3.77) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (3.12).
Âû÷èòàÿ (3.76) ïðè j = i èç óðàâíåíèÿ(3.76) ïðè j = k , ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:hiβ̈i + 3H β̇i − β̈k − 3Hβk Ψ + (β̇i − β̇k )Ψ̇ = 0.Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (3.66), ìîæíî ïîëó÷èòühiβ̈j + 3H β̇j Ψ + Ψ̇ = 0,(3.78)(3.79)d 22ς + 6Hς Ψ + 2ς 2Ψ̇ = 0.(3.80)dtÄëÿ àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè òðåáóåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà,ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ (3.73)(3.74), ìû ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (3.77) ê âèäó2 [1 + (1 − α)φ + ξ] Ḣ = 4H [αφχ + ϑ] − α2 φχ2 +4α+ 24αH 2φ + χϑ −ρm − [1 + (1 − 2α)φ − ξ] ς 2 .23MP(3.81)Ôóíêöèè H(t), ς 2 (t), ξ(t), ψ(t) è ρm (t) ìîæíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèé(3.73)(3.75), (3.80) è (3.81).
Êîãäà H(t) è äèíàìèêà ñêàëÿðíûõ ïîëåé èçâåñòíû,óíêöèè βj (t) ìîãóò áûòü íàéäåíû èç (3.79).Ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó, â êîòîðîé ìàòåðèÿ èìååò âèä èäåàëüíîé êîñìè÷åñêîé æèäêîñòè, ïðè÷¼ì å¼ ïëîòíîñòü ýíåðãèè è äàâëåíèå ñâÿçàíû óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè (3.9) ñ ïîñòîÿííûì wm , îòëè÷íûì îò −1. Îòìåòèì, ÷òîâèä óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè â ÔËÓ è Áüÿíêè I ìåòðèêàõ îäèíàêîâ.Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå äå Ñèòòåðà (3.60) èìååò ñëåäóþùèé âèäρm = ρ0 e−3(wm+1)H0 (t−t0 ) ,Λ = 3H02(1 + ξ0),4wm = α − 1,3−4H0 αtφ = f0 e.Pm = wm ρm ,χ = − 4H0,Ïðè ýòîìξ=äëÿ α 6= 3/4 è3f0 −4H0α(t−t0 )c0 −3H0 (t−t0 )e−e+ ξ03 − 4α3H0ξ = f0(c0 + 3H0(t − t0 ))e−3H0(t−t0 ) + ξ0(3.82)(3.83)107äëÿ α = 3/4.Ïðè t ñòðåìÿùåìñÿ ê +∞,ρm → 0,φ → 0,ψ = − 4H0 ,ξ → − ξ0,(3.84)äëÿ âñåõ H0 > 0 è α > 0.
Ñòàáèëüíîñòü ýòèõ ðåøåíèé äå Ñèòòåðà îòíîñèòåëüíîëóêòóàöèé íà÷àëüíûõ äàííûõ ñëåäóåò èç ñòàáèëüíîñòè èêñèðîâàííîé òî÷êèφ = 0,ξ = − ξ0 ,ψ = − 4H0,ρm = 0.Îòìåòèì, ÷òî íåëüçÿ çàèêñèðîâàòü H0 , ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèå Λ =3H02(1 + ξ0 ) ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð ξ0. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé.3.10.2. Ñëó÷àé íåíóëåâîãî ΛÀíàëèç ñòàáèëüíîñòè ïðè Λ = 0 è Λ 6= 0 ñóùåñòâåííî ðàçëè÷åí.
 ñëó÷àå Λ = 0 ñòàáèëüíîñòü ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíà ñ ïîìîùüþ çàìåíûïåðåìåííûõ. Ýòîò àíàëèç áóäåò ïðåäñòàâëåí â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.Äëÿ Λ 6= 0 ìû ïîëó÷àåì ξ0 6= −1, ñëåäîâàòåëüíî, â îêðåñòíîñòè èêñèðîâàííîé òî÷êè(1 + (1 − 6α)φ + ξ) ≈ 1 + ξ0 6= 0(3.85)è èç óðàâíåíèÿ (3.81) ïîëó÷àåòñÿ íóæíîå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà:14α222Ḣ =4H (αφψ − ϑ) − α φψ + 24αH φ − ϑψ −ρm .2 (1 + (1 − 6α)φ + ξ)3MP2Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t1 , +∞), ÷òî1 + (1 − 6α)φ + ξ 6= 0 .Ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî ïðè Λ > 0 è îòðèöàòåëüíî ïðè Λ < 0.108 îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåøåíèþ äå Ñèòòåðà, óíêöèè ïðåäñòàâèìû êàêH(t) = H0 + εh1 (t) + O(ε2 ),φ(t) = εφ1 (t) + O(ε2 ),ψ(t) = − 4H0 + εψ1(t) + O(ε2),ξ(t) = ξ0 + εξ1 (t) + O(ε2 ),ϑ(t) = εϑ1 (t) + O(ε2 ),ρm (t) = ερm1 (t) + O(ε2 ),ς 2 (t) = ες12 (t) + O(ε2 ).ãäå ε ìàëûé ïàðàìåòð. ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ε ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:ρ̇m1 = − 4αH0 ρm1 ,(3.86)φ̇1 = − 4αH0φ1 ,(3.87)ϑ̇1 = − 3H0ϑ1 − 12αH02φ1 ,(3.88)α1 22ḣ1 =2α (1 − 2α) H02 φ1 −ρ−ς ,(3.89)m1(1 + ξ0)3MP22 112αψ̇1 = 2ς12 − 3H0ψ1 − 12H0h1 −2α(1 − 2α)H02 φ1 −ρm1 (3.90),(1 + ξ0 )3MP2dς12= − 6H0ς12.(3.91)dtÎòìåòèì, ÷òî â ýòó ñèñòåìó ìû íå âêëþ÷èëè äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåíà óíêöèþ ξ1 , ïîñêîëüêó îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿñâÿçè (6.72).
Î÷åâèäíî, ÷òî ξ1 íå ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, åñëè âñåîñòàëüíûå ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà îãðàíè÷åíû.109åøåíèå ñèñòåìû (3.86)(3.91) èìååò ñëåäóþùèé âèä:ρm1 (t) = d0e−4H0 αt ,φ1 (t) = d1e−4H0 αt ,h1 (t) = d2 −6MP2 H02 d1(1 − 2α) − d0 −4H0 αtd5 −6H0te+e,6MP2 H0(1 + ξ0 )12H0ς12 (t) = d5e−6H0 t .Ïðè α 6= 3/4 ðåøåíèå ñîäåðæèò óíêöèè2(1 − 2α)[6MP2 H02 d1 (1 − 2α) − d0 ] −4H0 αtd5 −6H0tψ1 =e+ d4 e−3H0t − 4d2 −e,2H0 MP (3 − 4α)(1 + ξ0 )3H0H0d1 α −4H0αte+ d3 e−3H0t ,ϑ1 = 123 − 4αà ïðè α = 3/4:!3H02d1 + κ2 d0 td5 −6H0 tψ1 (t) =+ d4 e−3H0 t − 4d2 −e,1 + ξ03H0ϑ1 (t) = 9H02d1 t + d3 e−3H0t .Êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ îáîçíà÷åíû êàê di .Äàííûå ïîïðàâêè îãðàíè÷åíû, è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå äå Ñèòòåðà ñòàáèëüíî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé H0 > 0 è α > 0.3.10.3. Ñëó÷àé Λ = 0Èññëåäîâàíèå ñòàáèëüíîñòè â ýòîì ñëó÷àå òðåáóåò ïåðåõîäà ê íîâûì ïåðåìåííûì.
Îíî áûëî ïðîâåäåíî â íàøèõ ðàáîòàõ [228, 245℄. Ââåä¼ì íîâûå çàâèñèìûå ïåðåìåííûåψ̇X= −,4Hξ˙W = −,6Hf1+ξY =,3fρmZ=,3MP2 H 2 fς2K=,2H 2êîòîðûå áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê óíêöèè àêòèâíî èñïîëüçóåìîé â êîñìîëîãèè áåçðàçìåðíîé ïåðåìåííîé N = ln(a/a0 ):dd1 d≡a =.dNda H dt(3.92)110Èñïîëüçîâàíèå äàííûõ ïåðåìåííûõ äåëàåò áåçðàçìåðíûìè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (3.9), (3.70), (3.71) è (3.80) â òåðìèíàõ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèîáðåòàþò ñëåäóþùèé âèä:dXdNdWdNdZ dNdKdN1= 3(1 − X) +H3−X2dH K+ ,dN21dH α= 2α (1 + 2W X) − 3W + (α − W )+ K,HdN3Z dH= 4α(X − 1)Z − 2, H dN2K dH++ 6K (3Y + 1) = 4K (2Xα + 3W ) .H dN(3.93)(3.94)(3.95)(3.96)×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà íàì íóæíîíàéòè óðàâíåíèå äëÿdHdNè èñêëþ÷èòü èç óðàâíåíèé Y .
Óðàâíåíèå (3.75) âíîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèîáðåòàåò âèäY = −1 2(2X − 3)W − 4αX − Z+.3K−3(3.97)Äèåðåíöèðóÿ (3.97), ïîäñòàâëÿÿ (3.93)(3.96) è èñïîëüçóÿ4αX dY= 2 (2αXY − W ) =(K − 3) + 6(3 − 2X)W + 12αX + 3Z − 2W,dN3(3 − K)ïîëó÷àåì óðàâíåíèåWZ1 dH82(2X − 3)− 1 − − 2K= α(3 − K)X 2 +ααH dN34912+6 − W + K X + 2Z + (W − α)+3αα212+ 2 − Z + (2W + Z) K + K 2.3α3(3.98)Ñèñòåìà (3.93)(3.96), (3.98) îáëàäàåò èêñèðîâàííîé òî÷êîéH = H0 ,X = 1,Z = Z0 = 2(1−2α),W = W0 =2α,3 − 4αK = 0, (3.99)êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ äå Ñèòòåðà (3.60) äëÿ α 6= 3/4 ñ c0 = 0. Âñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî c0 , ðåøåíèþ äå Ñèòòåðà ñîîòâåòñòâóåò óíêöèÿW =2αc0 (4α−3)(N −N0)−e,3 − 4α 6H0f0(3.100)111ãäå N0 = H0 t0 .
Ïðè áîëüøèõ N lim W = W0 ïðè α < 3/4, à äëÿ α > 3/4 óíêN →∞öèÿ W ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîýòîìó èêñèðîâàííàÿ òî÷êà ìîæåò áûòüñòàáèëüíà òîëüêî ïðè α < 3/4. Ïðè α = 3/4 óíêöèÿ W , ñîîòâåòñòâóþùàÿðåøåíèþ äå Ñèòòåðà íå ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, ÷òî ãîâîðèò î íåîáõîäèìîñòè âûáîðà äðóãèõ ïåðåìåííûõ äëÿàíàëèçà ñòàáèëüíîñòè.  óêàçàííûõ âûøå ñòàòüÿõ è äèññåðòàöèè èññëåäóåòñÿñòàáèëüíîñòü òîëüêî â ñëó÷àå α 6= 3/4.Ïðè ýòîì óñëîâèè âñå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñòðåìÿòñÿ ê èêñèðîâàííîéòî÷êå è îïèñûâàþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0, ñóùåñòâóåò ÷èñëî N1 , òàêîå ÷òî ðåøåíèå äå Ñèòòåðà íàõîäèòñÿ â ε/2îêðåñòíîñòè èêñèðîâàííîé òî÷êè ïðè âñåõ N > N1 .
Ïîýòîìó, ñòàáèëüíîñòüèêñèðîâàííîé òî÷êè ãàðàíòèðóåò ñòàáèëüíîñòü âñåõ ðåøåíèé äå Ñèòòåðà îòíîñèòåëüíî âàðèàöèè íà÷àëüíûõ äàííûõ.àññìîòðèì âîçìóùåíèÿ â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè (3.99):X = 1+εx1,Z = Z0 (1+εz1),W = W0(1+εw1), H = H0(1+εh1 ), K = εk1. ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ε ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:dx11 dh1 1dz1dh1= − 3x1 ++ k1 ,= 4αx1 − 2,dN2 dN2dNdNdw11dh11= 4αx1 + (1 − 4α)+ (4α − 3) w1 + (3 − 4α)k1,dN2dN6dh18α2(4α − 1)2α(4α − 3)(2α − 1)4α2 − 5α + 3=x−z−k1 ,11dN12α2 − 11α + 312α2 − 11α + 312α2 − 11α + 3dk1= 2 (4α − 3) k1.dN(3.101)(3.102)(3.103)(3.104)åøàÿ (3.104), ïîëó÷èìk1 (N ) = b1 e2(4α−3)N ,(3.105)ãäå b1 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
Ôóíêöèÿ k1 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè N → ∞,åñëè α < 3/4.112Ïîäñòàâèâ k1 è (3.103) â (3.101), ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó äâóõ íåîäíîðîäíûõäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èçëþáîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äîáàâëåíèåì îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû. Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ìåòðèêå ÔËÓ (òîåñòü K = 0) è èìååò ñëåäóþùèé âèä [228℄:dx1(α − 1)(3α − 4)2(4α − 3)(2α − 1)α=x−z1 ,1dN12α2 − 11α + 312α2 − 11α + 3dz14α(4α2 + 7α − 3)4(4α − 3)(2α − 1)α= −x+z1 .1dN12α2 − 11α + 312α2 − 11α + 3(3.106)Èõ ðåøåíèåì áóäóò óíêöèèx1 = c1 eλ1 N + c2 eλ2 N ,z1 = c3 eλ1 N + c4 eλ2 N ,(3.107)ãäå c1 è c2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû,16α3 − 21α + 9 + Dc3 = −c1 ,2α(4α − 3)(2α − 1)16α3 − 21α + 9 − Dc4 = −c2 ,2α(4α − 3)(2α − 1)48α3 − 80α2 + 45α − 9 + D48α3 − 80α2 + 45α − 9 − Dλ1 =,λ2 =,2(12α2 − 11α + 3)2(12α2 − 11α + 3)pD = 768α6 + 256α5 − 1984α4 + 1104α3 + 297α2 − 378α + 81 =q= (4α − 3)(12α2 − 11α + 3)(16α3 + 32α2 − 3α − 9).Êàê ëåãêî óâèäåòü, λ1 = 0 ïðèα0 = 0,1α1 = ,23α2 = ,4α3,4√1123=±i.2424(3.108)Äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè λ1 è λ2 îòðèöàòåëüíû ïðè α < 0 è α ∈ (1/2, 3/4).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ðåøåíèå îãðàíè÷åíî è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè N → ∞,åñëè α < 0 èëè 1/2 6 α < 3/4. Äëÿ ëþáîãî α èç ýòîãî èíòåðâàëà ÷àñòíîåðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû òàêæå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïîñêîëüêó k1 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè α < 3/4. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçìóùåíèÿ x1 è z1 îãðàíè÷åíû èñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè óñëîâèè α < 0 èëè 1/2 6 α < 3/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
