Диссертация (1097926), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Äëÿ áîëüøèõm2p (ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå ñ ãðàâèòàöèåé) àíòîìíîå ïîëå èñïîëüçóåò íà÷àëüíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, ÷òîáû âçîáðàòüñÿ íà õîëì ïðè φ = 1. Óâåëè÷èâàÿâçàèìîäåéñòâèå ñ ãðàâèòàöèåé, òî åñòü óìåíüøàÿ m2p , ìû óìåíüøàåì âûñîòóõîëìà â òî÷êå φ = 1 ïåðåâåðíóòîãî ïîòåíöèàëà. Ïðè m2p = 2/3 ðàçíîñòü âûñîòõîëìîâ â òî÷êàõ φ = 0 è φ = 1 èñ÷åçàåò è âñÿ íà÷àëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿóõîäèò íà ðàáîòó ïðîòèâ òðåíèÿ. Äëÿ m2p < 2/3 òðåíèå ñòàíîâèòñÿ ñèëüíååè ÷àñòèöà èìååò äîñòàòî÷íî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ÷òîáû äîñòè÷ü õîëìà ïðèφ = 1, êîòîðûé òåïåðü íèæå, ÷åì õîëì â òî÷êå φ = 0.4.2.5. Ñòàáèëüíîñòü òî÷íûõ ðåøåíèéÄëÿ ïîñòðîåíèÿ êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè âàæíî çíàòü íå òîëüêî ÿâíûéâèä ðåøåíèé, íî è åãî ñòàáèëüíîñòü. àññìîòðèì ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìûóðàâíåíèé (4.16) â îêðåñòíîñòè ïîëó÷åííîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ:112φ0(t) = tanh(t),H0(t) =tanh(t) 1 − tanh(t) ,2m2p3ñ öåëüþ èçó÷åíèÿ åãî ñòàáèëüíîñòè.
Ïîäñòàâëÿÿφ(t) = φ0 (t) + εφ1 (t),H(t) = H0 (t) + εH1 (t)(4.28)136â ñèñòåìó (4.16), ìû ïîëó÷àåì â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ε ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:Ḣ1φ̇11 21 − tanh(t) φ̇1 ,=m2p18 − 24m2p + 24(m2p − 1) tanh(t)2 + 6 tanh(t)4 tanh(t)=φ1 −2 (1 − tanh(t)2 )12mp3 − tanh(t)2 tanh(t)−H1 .1 − tanh(t)2(4.29)Ñèñòåìà (4.29) èìååò ñëåäóþùåå ðåøåíèå:φ1 (t) = 2m2p C1 1 − tanh(t)2 +2J(t) + (cosh(2t) − 1)(cosh(t))cosh(2t) + 14m2pC2 J(t)2 2,H1 (t) = C1 1 − tanh(t) −(cosh(2t) + 1)2+ 2m2p C2ãäåZt1−1/m2pJ(t) = sinh (τ ) (cosh(τ ))022m2p2− 12mpe12m2p (cosh(2t)+1)2− 1 cosh(τ ) − 1 e,124m2p cosh(τ )(4.30)dτ.Åñëè C2 = 0, òî H1 (t) è φ1 (t) ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè íà âñåé âðåìåííîéîñè t ∈ (−∞, ∞) è äëÿ âñåõ çíà÷åíèé mp óíêöèÿìè. àññìîòðèì ñëó÷àéC2 6= 0.
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè m2p > 1/2, òî φ1 (t) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòèïðè t → ∞ è, ñëåäîâàòåëüíî, íàøè ðåøåíèÿ íå ñòàáèëüíû. Ïðè m2p = 1/2 èç(4.30) ñëåäóåòãäå J2 =Rt2H1(t) = tanh(t)2 − 1 (C1 − C2J2 ) ,12φ1 (t) = − tanh(t)2 − 1 (C1 − C2 J2) − C2e− tanh(t) /2,22− tanh(τ )0e/2tanh(τ )dτ . Òàêèì îáðàçîì, H1 è φ1 ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè óíêöèÿìè. Ïðè m2p < 1/2 óíêöèè φ1 (t) è H1 (t) òàêæå ÿâëÿþòñÿîãðàíè÷åííûìè. Òàêèì îáðàçîì, íàøè ðåøåíèÿ ñòàáèëüíû, ïåðâûå ïîïðàâêè îãðàíè÷åííûå óíêöèè ïðè m2p 6 1/2. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè m2p < 1/2 òî÷êèφ = ±1 ÿâëÿþòñÿ ìèíèìóìàìè, à ïðè m2p = 1/2 òî÷êàìè ïåðåãèáà.137Äëÿ èçó÷åíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ñèëüíî îòëè÷íûìè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé òî÷íîãî ðåøåíèÿ, è îòâåòà íà âîïðîñ ÿâëÿþòñÿ ëè òðàåêòîðèè òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþùèìè,ïîñòðîèì àçîâûå ïîðòðåòû ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ m2p .Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî èç òîãî, ÷òî H(t) äåéñòâèòåëüíàÿ óíêöèÿ, ïîëó÷àåòñÿ îãðàíè÷åíèå íà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå φ̇(t)2 , à èìåííî, äëÿ âñåõ φ íåðàâåíñòâî φ̇2 6 2V (φ) âûïîëíÿåòñÿ.
Íàïðèìåð, åñëè φ(0) = 0, òî èçè÷åñêèé ñìûñëèìåþò òîëüêî ðåøåíèÿ ñ φ̇(0) 6 1, èíûìè ñëîâàìè, íàøå òî÷íîå ðåøåíèå ñòàðòóåò èç ýòîé òî÷êè ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ.Ìû íå ìîæåì íàéòè òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4.16) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè φ(0) = 0 è φ̇ < 1, ïîýòîìó ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé.Íà èñ. 4.5 ïðåäñòàâëåíû àçîâûå ïîðòðåòû äëÿ mp > 1/2, ò.å. â îáëàñòèíåñòàáèëüíîñòè íàøåãî ðåøåíèÿ.
Êàê âèäíî èç ãðàèêîâ, ýâîëþöèÿ ðåøåíèéçàêàí÷èâàåòñÿ â òî÷êàõ ìèíèìóìà ïåðåâåðíóòîãî ïîòåíöèàëà −V , à èìåííî âpíóëå ïðè m2p = 100 è m2p = 1 è â òî÷êå φ = 2/3 ≈ 0.816 ïðè m2p = 7/12 (ñì.èñ. 4.4).m2p = 1,m2p = 100,m2p = 7/12φ̇φ̇0,4φ̇0,50,50,40,40,20,30,30-0,3-0,2-0,1-0,200,10,20,3φ0,20,20,10,100-0,4-0,10,050,10,150,20,250,3φ000,20,40,6φ0,8èñóíîê 4.5. Ôàçîâûå ïîðòðåòû äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé m2p > 1/2. Æèðíûåëèíèè èçîáðàæàþò ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì φ̇(0) = 1/2.àññìîòðèì àçîâûå ïîðòðåòû ïðè m2p 6 1/2, ïðåäñòàâëåííûå íà èñ.
4.6. ñëó÷àå m2p = 1/2, êîãäà φ = ±1 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà, ðåøåíèå ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ φ̇(0) = 1/2, êàê è òî÷íîå ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå φ = 1,îäíàêî, ñîâïàäàåò ñ íèì òîëüêî â ýòîé òî÷êå. Ïðè m2p = 1/4 è m2p = 1/100138ìû âèäèì, ÷òî ÷èñëåííîå ðåøåíèå áëèçêî ê òî÷íîìó ðåøåíèþ è ïðè φ < 1,ïðè÷¼ì ÷åì ìåíüøå m2p , òåì ìåíüøå çíà÷åíèå φ, ïðè êîòîðîì ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè φ̇(0) = 1/2 è φ̇(0) = 1 îáðåòàþò îäèíàêîâóþ ñêîðîñòü.Òàêèì îáðàçîì, è ïîâåäåíèå ïåðâûõ ïîïðàâîê, è àçîâûå ïîðòðåòû óêàçûâàþòm2p = 1/2,φ̇m2p = 1/4,1φ̇m2p = 1/1001φ̇10,80,80,80,60,60,60,40,40,40,20,20,20000,20,40,60,8φ1000,20,40,60,8φ100,20,40,60,8φ1èñóíîê 4.6.
Ôàçîâûå ïîðòðåòû ïðè m2p 6 1/2. Æèðíûå ëèíèè èçîáðàæàþòðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè φ̇(0) = 1/2 è φ̇(0) = 1.íà ñòàáèëüíîñòü ïîëó÷åííîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïðè m2p 6 1/2.Èçëîæåííûé çäåñü àíàëèç ñòàáèëüíîñòè îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé â ìåòðèêå ÔËÓ ïðîâåä¼í â ðàáîòå [217℄. Äàííûé àíàëèç áûë óëó÷øåí â ñòàòüå [279℄,íå âîøåäøåé â äèññåðòàöèþ, ãäå áûëà ïðîàíàëèçèðîâàíà ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèÿ (4.28) îòíîñèòåëüíî àíèçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé â ìåòðèêå Áüÿíêè I è áûëîïîêàçàíî, ÷òî ïîñòðîåííîå ðåøåíèå (4.28) ñòàáèëüíî îòíîñèòåëüíî ìàëûõ èçìåíåíèé íà÷àëüíûõ äàííûõ â ìåòðèêå Áüÿíêè I ïðè m2p < 1/2.  äâóõïîëåâûõìîäåëÿõ àíàëèç ñòàáèëüíîñòè ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê èêñèðîâàííîé òî÷êå,áóäåò ïðåäñòàâëåí â ðàçäåëå 4.5. Îòìåòèì, ÷òî åñëè âûáðàòü çíà÷åíèå m2p òî æå,÷òî è ìîäåëè ð-àäè÷åñêîé èíëÿöèè, ò.å.
âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé (1.15), òîñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Õàááëà áóäåò H 2 ∼ m−4p ∼go210−108MP2 .v62Ýòî çíà÷åíèå áëèçêî ê íàáëþäàåìîìó, íî òàêîå ðåøåíèå íå ìîæåò îïèñàòü ò¼ìíóþ ýíåðãèþ, ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ íåñòàáèëüíûì. Ìîäåëü, â êîòîðîé îò ÷èñëåííîãî ïàðàìåòðà â ïîòåíöèàëå çàâèñèò ïàðàìåòð Õàááëà, íî íå çàâèñèò ñàìîðåøåíèå, ìîæíî ïîñòðîèòü è â ñëó÷àå íåìèíèìàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ãðàâèòàöèè. Ïðèìåð òàêîé ìîäåëè äàí â àçäåëå 5.3.1394.3. Êîñìîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ àíòîìíûì ñêàëÿðíûìïîëåì è ò¼ìíîé ìàòåðèåé4.3.1. Äåéñòâèå è óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè [217℄ ìû íå ó÷ëè âëèÿíèÿ ò¼ìíîé ìàòåðèè íàïîâåäåíèå ðåøåíèé.
Äàííûé àíàëèç ñäåëàí â [215℄ è ïðèâåä¼í â ýòîì ðàçäåëå.àññìîòðèì êîñìîëîãè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ, à èìåííî, èçìåíåíèå ïîâåäåíèÿïàðàìåòðà Õàááëà ïðè äîáàâëåíèè õîëîäíîé ò¼ìíîé ìàòåðèè â òî÷íî ðåøàåìóþ ìîäåëü ñ àíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì, ðàññìîòðåííóþ â ïðîøëîì ðàçäåëå, è ïðîàíàëèçèðóåì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïî îòíîøåíèþ êìàëûì ëóêòóàöèÿì íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ò¼ìíîé ìàòåðèè.Äåéñòâèå (4.13) ñîäåðæèò òîëüêî ò¼ìíóþ ýíåðãèþ.
Ñäåëàåì åãî áîëåå ðåàëèñòè÷íûì, äîáàâèâ â íåãî ëàãðàíæèàí ò¼ìíîé ìàòåðèè: 2ZMP1 1 µν4 √S = d x −gR+ 2g ∂µ φ∂ν φ − V (φ) + L(DM) .2Ms2go 2(4.31)Òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà äëÿ ò¼ìíîé ìàòåðèè èìååò âèäT(DM) µν = diag(̺M , 0, 0, 0). ìåòðèêå ÔËÓ èç äåéñòâèÿ (4.31) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:113H 2 =− φ̇2 + V (φ) + ̺M ,2mp212Ḣ =φ̇ − ̺M .2m2p(4.32)(4.33)Ýâîëþöèÿ àíòîìíîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (4.4) ñ C = −1:φ̈ + 3H φ̇ − Vφ′ = 0.(4.34)Ñëåäñòâèåì ñèñòåìû (4.32)(4.34) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòèýíåðãèè ò¼ìíîé ìàòåðèè:̺˙ M + 3H̺M = 0,(4.35)140êîòîðîå ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, ðàññìàòðèâàÿ ̺M êàê óíêöèþ ìàñøòàáíîãî àêòîðà a̺M = ̺M,0 e−3RtH(τ )dτ= ̺M,0aa0−3(4.36).Êîíñòàíòû ̺M,0 è a0 ýòî íà÷àëüíûå äàííûå óíêöèé ̺M è a.Èñïîëüçóÿ (4.36), ïðåîáðàçóåì (4.32) ê âèäó! a 3φ̇20V (φ) −+ ̺M,0.2a13H 2 = 2mp(4.37)Îòìåòèì, ÷òî óäîáíî èñêëþ÷èòü ̺M èç óðàâíåíèé (4.32)(4.33) è ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó òðåòüåãî ïîðÿäêà:φ̈ + 3H φ̇ − Vφ′ = 0,1 1 222Ḣ + 3H =φ̇ + V (φ) .m2p 2(4.38)(4.39) çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé óíêöèé H , φ è φ̇, ñèñòåìà (4.38)(4.39)îïèñûâàåò ìîäåëü êàê ñ ò¼ìíîé ìàòåðèåé, òàê è áåç íå¼.
Èíûìè ñëîâàìè, íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ óíêöèé H , φ è φ̇ ñ÷èòàþòñÿ íåçàâèñèìûìè è ïî íèì ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (4.32) âû÷èñëÿåòñÿ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè ýíåðãèèò¼ìíîé ìàòåðèè.Äðóãèì ñïîñîáîì àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà N = ln(a/a0 ) è çàïèñü óðàâíåíèé (4.34) è(4.37) â ñëåäóþùåì âèäå:dφ1=ψ,dNH(φ, ψ, N )ãäå1H(φ, ψ, N ) = √3MPdψ1dV (φ)= − 3ψ +,dNH(φ, ψ, N ) dφr1− ψ 2 + V (φ) + ̺M,0 e−3N ,2(4.40)ψ = φ̇ .4.3.2.
×èñëåííûå ðåøåíèÿÏîòåíöèàë V (φ) âûáèðàåòñÿ â âèäå (4.20). Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ Hf =0, φ0 = 0 è φ̇0 = Aω , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò îòñóòñòâèþ ò¼ìíîé ìàòåðèè,ïðèâîäÿò ê òî÷íîìó ðåøåíèþ (4.12) è (4.24).141Íàì íåèçâåñòåí ñïîñîá àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñ ò¼ìíîé ìàòåðèåé, ïîýòîìó ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû. Äëÿ àíàëèçà êîñìîëîãè÷åñêîé ýâîëþöèè ìû ïîñòðîèì àçîâûå êðèâûå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ,à òàêæå ýâîëþöèþ ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ wDE . Âàæíîíàéòè ÷èñëåííî îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé ýíåðãèè äëÿ ò¼ìíîé ìàòåðèè è ò¼ìíîéýíåðãèè. Íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ýòîãî îòíîøåíèÿ, êàê èçâåñòíî, îêîëî 1/3. Èçýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ìû ïîëó÷àåì ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé íûíåøíåéÂñåëåííîé, è òåêóùåå çíà÷åíèå wDE â íàøåé ìîäåëè.×òîáû èìåòü çàäàííóþ íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ò¼ìíîé ìàòåðèèìû áåðåì φ0 è φ̇0 è íàõîäèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå Hf .  ÷àñòíîñòè, ÷òîáû ïîëó÷èòü ̺M,0 = 1, φ0 = 0, φ̇0 = 1 ïðè m2p = 0.2, ìû äîëæíû âçÿòüpHf = 5/3 ≈ 1.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
