Диссертация (1097926), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4.15 ìû ïîëîæèëè A = 1, ω = 1è m2p = 1/6). Ïðè ïðîèçâîëüíîì C ïàðàìåòð Õàááëà èìååò âèä2A2 et0 −t + (C 2 + 4A2)et−t0H=(e2(t0 −t) + 6Cet0−t +36m2p (et0 −t + 2C + (C 2 + 4A2)et−t0 )2+ 10(C 2 + 4A2) + 6C(C 2 + 4A2)et−t0 + C 2 + 4A2 e2(t−t0) ).(4.100)Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ âñåõ C , êðîìå C = ±2A,Ḣ(t) = 0 â ÷åòûð¼õ òî÷êàõ:!√224A + C ± 2A 8A + 2C= t0 − ln −,(C ± 2A)(C 2 + 4A2)2tmk2k = 1, . . . , 4,(4.101)163àáâèñóíîê 4.13. Ïîëÿ φ è ξ (à), ïàðàìåòð Õàááëà H (á), ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ wDEïðè C = 0, t1 = 0 (â).ãäå äâà ñèìâîëà ± íåçàâèñèìû. Îòìåòèì, ÷òî ïðè C 6= ±2A âûïîëíÿåòñÿóñëîâèå Ḧ(tmk ) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êàõ tmk ïàðàìåòð Õàááëà H(t) èìååòýêñòðåìóìû.Ïðè C > 2A íè îäíà èç òî÷åê tmk íå ïðèíàäëåæèò äåéñòâèòåëüíîé îñè.Åñëè C = 2A, òî Ḣ(t) ðàâíÿåòñÿ íóëþ â äâóõ òî÷êàõ, íå ïðèíàäëåæàùèõäåéñòâèòåëüíîé îñè:t̃m1 = t0 − ln(−2A),t̃m2 = t0 − ln(−4A).(4.102)Òàêèì îáðàçîì, ïðè C ≥ 2A ïàðàìåòð Õàááëà H(t) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé óíêöèåé, è åãî ïîâåäåíèå íàïîìèíàåò ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà H(t) â îäíîïîëåâîé àíòîìíîé ìîäåëè [217℄.Ïðè −2A < C < 2A óíêöèÿ H(t) èìååò ýêñòðåìóìû â äâóõ òî÷êàõ.Åñëè t1 = 0, òî φ(t) íå÷¼òíàÿ óíêöèÿ, à ξ(t) ÷¼òíàÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî,ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðàìåòð Õàááëà, âû÷èñëåííûé ñ ïîìîùüþ îðìóëû (4.72),ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé óíêöèåé. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íà ïîëóîñè t > 0 ïàðàìåòðÕàááëà H(t) ïîëîæèòåëåí è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìàêñèìóì (ñì. èñ. 4.14).Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå óíêöèè H(t) ïðè −2A < C < 2A ïîõîæå íà å¼ïîâåäåíèå ïðè C = 0.164àáâèñóíîê 4.14.
Ïîëÿ φ è ξ (à), ïàðàìåòð Õàááëà H (á), ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ wDEïðè C = 1, t1 = 0 (â).Åñëè C = −2A, òî Ḣ(t) ðàâíÿåòñÿ íóëþ â äâóõ òî÷êàõ:t̃m3 = t0 − ln(2A),t̃m4 = t0 − ln(4A).(4.103)Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ Ḧ = ±16A2/m2p 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî,ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà êà÷åñòâåííî íå îòëè÷àåòñÿ îò ïðèâåä¼ííîãî íàèñ.
4.13 è èñ. 4.14.àññìîòðèì ñëó÷àé C < −2A. Âñå ÷åòûðå òî÷êè ýêñòðåìóìà (4.101) äåéñòâèòåëüíû. Òàêèì îáðàçîì, âûáðàâ C < −2A, ìû ïîëó÷àåì êà÷åñòâåííî èíîåïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà. Åñëè t1 = 0, òî, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïàðàìåòðÕàááëà ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé óíêöèåé. Ïðîèçâîäíàÿ ïàðàìåòðà Õàááëà â íóëåïîëîæèòåëüíà, ñëåäîâàòåëüíî, H(t) èìååò ìàêñèìóì â íåêîòîðîé òî÷êå tm1 > 0,ìèíèìóì â íåêîòîðîé òî÷êå tm2 > tm1 è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè t > tm2 . Îòìåòèì, ÷òî wDE < −1 ïðè t > tm2 .
Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ,ñîîòâåòñòâóþùèå íåìîíîòîííîé óíêöèè H(t) ñ àíòîìíûì ïîâåäåíèåì ïðèáîëüøèõ âðåìåíàõ (ñì. èñ. 4.15).Èòàê, èñïîëüçóÿ ñóïåðïîòåíöèàë, ìû íàøëè äëÿ ìîäåëè ñ ïîòåíöèàëîì"#2 2 2 2113φAφξ2Ve = ω 21 − φ2 + ξ 2 −φ2 ξ 2 +1−+(4.104)282A4m2p 23A22Aäâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî òî÷íûõ ðåøåíèé. Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå165àáâèñóíîê 4.15. Ïîëÿ φ è ξ (à), ïàðàìåòð Õàááëà H (á), ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ wDEïðè C = −5, t1 = 0 (â).ðåøåíèÿ èìåþò îäèíàêîâûå àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ, òîãäà êàê ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ wDE ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷íûì. Òàêèìîáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ñâÿçàííàÿ ñ òåîðèåé ñòðóí ìîäåëüñ ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì äîïóñêàåò êàê wDE > −1, òàê è wDE < −1ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ.
Îòìåòèì, ÷òî ïîõîæåå ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëàáûëî íàéäåíî è â ìîäåëè ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, íå ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñ ãðàâèòàöèåé. Êîíêðåòíî, â ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè èïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì øåñòîé ñòåïåíè [232, 247℄. Äàííàÿ ìîäåëü ðàññìîòðåíà â ðàçäåëå 5.3.4.4.8. Äðóãîé âûáîð óñëîâèé íà êîýèöèåíòû ñóïåðïîòåíöèàëà ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî ñëó÷àé a2,1 = 0. Äðóãîé âûáîð êîýèöèåíòîâ ai,j ïðåäëîæåí â íàøåé ñòàòüå [216℄.
Íàëîæèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:a3,0 + a2,1 = − (a2,1 + a1,2) = a1,2 + a0,3 = −c,(4.105)166ãäå c êîíñòàíòà. Ñèñòåìà (4.78) ïðèîáðåòàåò âèä:φ̇(t) = −a3,0 a2 + a3,0 φ2 (t) + 2(a3,0 + c)φ(t)ξ(t) + (a3,0 + 2c)ξ 2(t),˙ = (a3,0 + c)a2 − (a3,0 + c)φ2 (t) − 2(a3,0 + 2c)φ(t)ξ(t) − (a3,0 + 3c)ξ 2(t).ξ(t)(4.106)Èç ñèñòåìû (4.106) ñëåäóåò óðàâíåíèå˙ = cA2 − c[φ(t) + ξ(t)]2,φ̇(t) + ξ(t)êîòîðîå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ:φ(t) + ξ(t) = A tanh(Ac(t + t0 )).Ïîäñòàâèâ ξ(t) = A tanh(Ac(t + t0 )) − φ(t) â (4.106), íàéä¼ìA2(a3,0 + c)t − C̃,φ = A tanh(Ac(t + t0 )) −cosh2 (Ac(t + t0))(4.107)a2 (a3,0 + c)t − C̃,ξ=cosh2(Ac(t + t0 ))(4.108)ãäå t0 è C̃ ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû. Èòàê, íàìè íàéäåíî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî òî÷íûõ ðåøåíèé. Ïîâåäåíèå ðåøåíèé çàâèñèò îò âûáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ A, c, t0 è C̃ . Ñâÿæåì t0 è C̃ òàê, ÷òîáû φ(0) = 0:C̃ = −Asinh(2Act0).2åøåíèå ñ óíêöèÿìè (4.107) è (4.108) äà¼òA3a3,01H(t) = −tanh(Ac(t + t0 )) 2 +−6m2pcosh2 (Ac(t + t0 ))A3 2tAc(a3,0 + c) + sinh(2Act0)−.4m2pcosh4 (Ac(t + t0 ))(4.109)Ïðè îïðåäåë¼ííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ óíêöèÿ H(t) èìååò äâà ýêñòðåìóìà íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè (ñì.
èñ. (4.16)). Ôóíêöèè (4.107) è (4.108)äëÿ ýòîãî æå âûáîðà ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëåíû íà èñ. 4.17.1670,12H1,6H0,111,20,10,80,090,40,0802468t10456789t10èñóíîê 4.16. Ïàðàìåòð Õàááëà H(t) è åãî òîíêàÿ ñòðóêòóðà ïðè A = 1,c = 0.55, a3,0 = −0.05, t0 = −2 è m2p = 0.2.Óñëîâèÿ (4.105) îïðåäåëÿþò âèä ñóïåðïîòåíöèàëà1 a3,0 φ(φ2 − 3A2) + 3(a3,0 + 2c)φξ 2 −26mp− 3(a3,0 + c)ξ(A2 − φ2 ) + (a3,0 + 3c)ξ 3W =è ïîòåíöèàëà1V = (a3,0φ2 − a3,0 A2 + 2(a3,0 + c)φξ + (a3,0 + 2c)ξ 2)2 −221− (a3,0 + c)A2 − (a3,0 + c)φ2 − 2(a3,0 + 2c)φξ − (a3,0 + 3c)ξ 2 +21 +a3,0 φ(3A2 − φ2 ) + 3(a3,0 + c)ξ(A2 − φ2 ) −212mp2− 3(a3,0 + 2c)φξ 2 − (a3,0 + 3c)ξ 3 .Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíà êâèíòîìíàÿ ìîäåëü, îáëàäàþùàÿ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè, äëÿ êîòîðûõ wDE < −1 ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ [216℄.168-10-5050φ110t-0,2-0,40,5-0,60-10-505t10-0,8ξ -1-0,5-1,2-1,4-1èñóíîê 4.17.
Ôóíêöèè φ(t) è ξ(t) äëÿ A = 1, c = 0.55, a3,0 = −0.05, t0 = −2è m2p = 0.2.4.5. Ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ êèêñèðîâàííîé òî÷êå4.5.1. Ñòàáèëüíîñòü ïî Ëÿïóíîâóàññìîòðèì ñèñòåìó àâòîíîìíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêàẏk = Fk (y),k = 1, 2, . . .
, N,(4.110)ãäå Fk (y) ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè.Ïî îïðåäåëåíèþ ðåøåíèå y0 (t) ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì (òî åñòü àñèìïòîòè÷åñêè ñòàáèëüíî) åñëèkỹ(t) − y0(t)k → 0 ïðè t → ∞(4.111)äëÿ âñåõ ðåøåíèé ỹ(t), ÷üè íà÷àëüíûå äàííûå â ìîìåíò âðåìåíè t0 áëèçêè êíà÷àëüíûì äàííûì y0 (t0 ). Ïóñòü y(t) ñòðåìèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå yf , òàêîé÷òîFk (yf ) = 0,k = 1, 2, . . . , N.(4.112)Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ε îêðåñòíîñòü yf è òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t1 , ÷òîâñå ðåøåíèÿ îêàçàâøèåñÿ â ýòîé îáëàñòè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t > t1 îñòà169þòñÿ â íåé íàâñåãäà, òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà yf íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíîé ïî Ëÿïóíîâó [335℄.
Åñëè âñå ïîäîáíûå ðåøåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê ýòîé íåïîäâèæíîé òî÷êå,òî îíà áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè ñòàáèëüíîé.Åñëè ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêè ñòàáèëüíîé íåïîäâèæíîé òî÷êå, òî îíî ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì.  ñàìîì äåëå, ïóñòü y(t) ñòðåìèòñÿ ê yf , òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè t1 òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ t > t1âûïîëíÿåòñÿ |y(t) − yf | < ε/2. Òàêæå, ïîñêîëüêó óíêöèè Fk è èõ ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû, òî ðåøåíèå ñèñòåìû (4.110) íåïðåðûâíî çàâèñèò îòíà÷àëüíûõ äàííûõ [336℄.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ìîìåíòà âðåìåíè t1 è ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêàÿ, ÷òî |y(t1 ) − ỹ(t1 )| < ε/2äëÿ âñåõ ðåøåíèé ỹ(t) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ|y(t0 ) − ỹ(t0)| < δ . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ ỹ(t) âûïîëíÿåòñÿ |ỹ(t1 ) − yf | < εè, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âñåõ t > t1 |ỹ(t) − yf | < ε è |y(t) − ỹ(t)| < ε. Èòàê, ìûïîêàçàëè, ÷òî y(t) àòòðàêòîð.Íàïîìíèì ïðîöåäóðó àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè èçîëèðîâàííîé íåïîäâèæíîéòî÷êè.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëÿïóíîâà [335, 336℄ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñòàáèëüíîñòèíåïîäâèæíîé òî÷êè yf íåëèíåéíîé ñèñòåìû (4.110) ñëåäóåò äîêàçàòü ñòàáèëüíîñòü ýòîé òî÷êè ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû (y ñòîëáåö):ẏ = Ay,Aik =∂Fi(y)|y=yf .∂yk(4.113)Ýòà ñòàáèëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé âñåõ êîðíåé λk õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿdet (A − λI) |y=yf = 0,(4.114)ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Åñëè ñóùåñòâóåò êîðåíü λj ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íåñòàáèëüíîé.  ñëó÷àå÷èñòî ìíèìûõ λj ñòàáèëüíîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãîàíàëèçà [337℄.1704.5.2. Èçîòðîïíûå ðåøåíèÿ â ìåòðèêå Áüÿíêè IÏðîàíàëèçèðóåì óñòîé÷èâîñòü èçîòðîïíûõ ðåøåíèé â ìåòðèêå Áüÿíêè I,îïðåäåë¼ííîé ñîîòíîøåíèåì (3.64). àññìàòðèâàÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ôðèäìàíà êàê èçîòðîïíûå ðåøåíèÿ â ìåòðèêå Áüÿíêè I, ìû âêëþ÷àåì â ðàññìîòðåíèåàíèçîòðîïíûå âîçìóùåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ïåðåìåííûå H , ς è βi , îïðåäåë¼ííûåîðìóëàìè (3.65), (3.68) è (3.69), ïîëó÷èì, ÷òî â ìåòðèêå Áüÿíêè I óðàâíåíèÿÝéíøòåéíà ìîäåëè ñ äåéñòâèåì (4.41) èìåþò ñëåäóþùèé âèä11̺,3H 2 − ς 2 =26m2p(4.115)112Ḣ + 3H 2 + ς 2 = −p,26m2p(4.116)φ̇ = ψ,ξ˙ = ζ,1 ∂V,B1 ∂φ1 ∂Vζ̇ = − 3Hζ −,B2 ∂ξψ̇ = − 3Hψ −(4.117)(4.118)ãäå̺=B1 2 B2 ˙2φ̇ +ξ + V (φ, ξ),22p=B1 2 B2 ˙2φ̇ +ξ − V (φ, ξ).22(4.119)Ôóíêöèè βi è ς 2 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (3.79) è (3.80).Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè èçîòðîïíûõ ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿê íåïîäâèæíîé òî÷êå äëÿ îäíîïîëåâûõ ìîäåëåé ïîëó÷åíû â ñòàòüå [279℄, íåâîøåäøåé â ñïèñîê ðàáîò, ñîäåðæàùèõ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
