Диссертация (1097926), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Äëÿ ðåøåíèé äåÑèòòåðà ñ σf± çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Õàááëà îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (5.50).Íà èñ. 5.2 ïîêàçàíî ðåøåíèå òèïà "îòñêîêà" ñ H(0) = 0, Ḣ(0) > 0.190Hφttèñóíîê 5.2. Ôóíêöèè H(t), çàäàííàÿ (5.50), è σ(t) = σ+ (t), ñîîòâåòñòâóþùèåðåøåíèþ òèïà "îòñêîêà". Ïàðàìåòðû èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: γ = 1, C2 =7/2, C1 = −3, C0 = 5/8, è t0 = 2 ln(8/9) ≃ −0.235.Îäíà è òà æå óíêöèÿ σ(t), äàííàÿ (5.53), ïîðîæäàåò ðåøåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà.
Íà èñ. 5.3 ïðèâåäåíû íåñêîëüêî íåìîíîòîííûõH(t), ñîîòâåòñòâóþùèõ σ(t), ïðåäñòàâëåííîé íà èñ. 5.2.Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì C0 > 0 è C2 > 0. Ôóíêöèÿ H(t) íå ÿâëÿåòñÿìîíîòîííîé ïðèp2 (8γ + 1)C2C0√−< C1 < 0 ïðè σ(t) = σ+ (t),4γ + 1p2 (8γ + 1)C2C0√0 < C1 <ïðè σ(t) = σ− (t).4γ + 1(5.56)Êàê ëåãêî âèäåòü, ïàðàìåòð Õàááëà èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿC1 → − C1 è σ(t) → −σ(t).
Ïî ýòîé ïðè÷èíå òî÷êà ýêñòðåìóìà t1 (Ḣ(t1 ) = 0)ÿâëÿåòñÿ îäíîé è òîé æå êàê äëÿ ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê σf+ , òàê è äëÿðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê σf− :t1 = t0 −4γ + 1ln4γC0"4(8γ + 1)C0C2 − (4γ +(8γ + 1)C0C121)C12C2#.(5.57)åøåíèÿ (5.53) ñòðåìÿòñÿ ê èêñèðîâàííîé òî÷êå. Åñëè ω > 0, òîp(8γ + 1)C0lim σ(t) = σf± ≡ ± p.(5.58)t→∞(4γ + 1)C2191HHHtttèñóíîê 5.3. Íåìîíîòîííûå óíêöèè H(t), çàäàííûå (5.50). Ñîîòâåòñòâóþùàÿóíêöèÿ σ(t) ïðåäñòàâëåíà íà èñ.
5.2. Ïàðàìåòðû èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: γ = 1, C2 = 7/2, C0 = 5/8 è t0 = 2 ln(8/9). Ïàðàìåòð C1 = −1 (ëåâàÿ),C1 = −2 (ñðåäíÿÿ), C1 = −2.7 (ïðàâàÿ).Ïðè ω < 0, óíêöèÿ σ(t) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.  ñëó÷àå C0 = 0, σ(t) òàêæåñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàìåòð Õàááëà ñòðåìèòñÿ ê ïîñòîÿííîìóçíà÷åíèþ â ëþáîì ñëó÷àå.5.3.2. Ñòàáèëüíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèéàññìîòðèì ñòàáèëüíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèÿ, ñòðåìÿùåãîñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñòàáèëüíîñòè ýòîé òî÷êè.
Îáîçíà÷èì ðåøåíèå ñèñòåìû (5.49) êàê y(t) =(σ(t), ϑ(t), H(t)), à íåïîäâèæíóþ òî÷êó ýòîé ñèñòåìû êàê yf = (σf , ϑf , Hf ).Åñòåñòâåííî, ϑf = 0.Ïðè Hf 6= 0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà áóäåò ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà. Äëÿ ìîäåëèñ ïðîèçâîëüíûìè U (σ) è V (σ) ðåøåíèå äå Ñèòòåðà îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåìV ′ (φdS )U (φdS ) = 2V (φdS )U ′(φdS ).Ââåäÿ ýåêòèâíûé ïîòåíöèàë [167℄VEff =V,U2ïîëó÷àåì óñëîâèå (5.59) â êîìïàêòíîì âèäå:′VEffV ′ U − 2V U ′=U3⇒′VEff(φdS ) = 0.(5.59)192Åñëè U (φdS ) > 0, òî ñòàáèëüíûå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ñîîòâåòñòâóþò ìèíèìóìàì VEff .
Ïàðàìåòð Õàááëà äëÿ ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà çàäà¼òñÿ îðìóëîé:2HdS=V (φdS )V ′ (φdS )=.6U (φdS ) 12U ′(φdS )(5.60)Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, èñõîäÿ èçóðàâíåíèé (5.46) è (5.48), ìû ïîëó÷èì:V (σf ) = 3γσf2 Hf2 ,V ′ (σf ) = 12γσf Hf2 ,(5.61)îòêóäà1V (σf ) = σf V ′ (σf ).4(5.62) îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êèσ(t) = σf + εσ1(t),ϑ(t) = εϑ1(t),H(t) = Hf + εH1(t).(5.63) ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ε ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé [247℄:σ̇1 = ϑ1 , ′1V (σf )′′ϑ̇1 =3− V (σf ) σ1 − 3Hf ϑ1 ,1 + 6γσfV ′′ (σf )σf − V ′ (σf )4Hf24γHfḢ1 =σ+ϑ−H1 ,11(1 + 6γ)σf2(1 + 6γ)σf1 + 6γ(5.64)êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùàÿ ìàòðèöà0A=36γHf2 −V ′′ (σf )1+6γV ′′ (σf )σf −V ′ (σf )(1+6γ)σf210−3Hf04Hf(1+6γ)σf−(5.65)24γHf1+6γÀíàëèç ñòàáèëüíîñòè èçîëèðîâàííîé íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðîâåä¼ì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà [335, 336℄, îïèñàííûì â ðàçäåëå 4.5.
Äëÿ ïîñòðîåííîé ìàòðèöû193A ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (4.114):q9(22γ + 1)Hf2 − 4V ′′(σf )3√,λ1 = − Hf +22 1 + 6γq9(22γ + 1)Hf2 − 4V ′′ (σf )(5.66)3√λ2 = − Hf −,22 1 + 6γ24γHf.λ3 = −1 + 6γÈç òðåáîâàíèÿ îòðèöàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé âñåõ λi ïîëó÷àþòñÿ óñëîâèÿ íà Hf è V ′′ (σf ), äîñòàòî÷íûå äëÿ ñòàáèëüíîñòè ðåøåíèé. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé γ > 0, ñëåäîâàòåëüíî, èç òðåáîâàíèÿ λ3 < 0 ñëåäóåò, ÷òîíåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñòàáèëüíà òîëüêî ïðè Hf > 0.Íàñ èíòåðåñóåò ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé, çàäàííûõ îðìóëàìè (5.50) è(5.53). Èñõîäÿ èç (5.50), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî óñëîâèå√√(8γ+1)C02(6γ+1) C0 C2,C1 > − √äëÿ σf = σf+ ≡ √(4γ+1)(8γ+1)(4γ+1)C2Hf > 0 ⇔√√(8γ+1)C02(6γ+1)CC02 C1 < √.äëÿ σf = σf− ≡ − √(4γ+1)(8γ+1)(5.67)(4γ+1)C2Åñëè ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê σf+ , òîp33 C0(8γ + 1)λ1+ = − Hf+ + pC1 +22 C2(4γ + 1)p3 C0(8γ + 1)3λ2+ = − Hf+ − pC1 +22 C2(4γ + 1)!√2(14γ + 3) C0C2p,3 (8γ + 1)(4γ + 1)!√2(14γ + 3) C0C2p.3 (8γ + 1)(4γ + 1)Àíàëîãè÷íî, äëÿ ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê σf − , èìååì!p√33 C0 (8γ + 1)2(14γ + 3) C0C2λ1− = − Hf− + pC1 − p,22 C2 (4γ + 1)3 (8γ + 1)(4γ + 1)!p√33 C0(8γ + 1)2(14γ + 3) C0C2λ2− = − Hf− − pC1 − p.22 C2(4γ + 1)3 (8γ + 1)(4γ + 1)(5.68)(5.69)Èòàê, âñå λi âåùåñòâåííû.
Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîλ1+ = −4γC0 .4γ + 1(5.70)194Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé C0 > 0 è γ > 0, ñëåäîâàòåëüíî, λ1+ < 0. Ñòàáèëüíîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè σf+ çàâèñèò òîëüêî îò çíàêàλ2+p(8γ + 1)C032γ + 6C0 .= − 3pC1 −4γ + 1(4γ + 1)C2(5.71)Ìû ïîëó÷èëè [247℄, ÷òîλ2+ < 0⇔√2(16γ + 3) C0 C2C1 > − p.3 (8γ + 1)(4γ + 1)(5.72)Èññëåäîâàòü ñòàáèëüíîñòü òî÷êè σf− ïðîùå âñåãî, ðàññìàòðèâàÿ λi± êàêóíêöèþ ïàðàìåòðà C1 è çàìå÷àÿ, ÷òî λ1− (C1 ) = λ2+ (−C1) è λ2− (C1 ) =λ1+ (−C1). Òàêèì îáðàçîì,p32γ + 6(8γ + 1)C0λ1− = 3 pC1 −C0 ,4γ + 1(4γ + 1)C2λ1− < 0⇔λ2− = −4γC0 .4γ + 1√2(16γ + 3) C0C2C1 < p.3 (8γ + 1)(4γ + 1)(5.73)(5.74)Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé C0 > 0, C2 > 0 è γ > 0.
 ýòîì ñëó÷àå íåïîäâèæíàÿ òî÷êà σf+ ñòàáèëüíà ïðè λ2+ < 0, à σf− ñòàáèëüíà ïðè λ1− < 0.Ïðîàíàëèçèðóåì ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé ñ íåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà. Äëÿ ðåøåíèÿ, ñòðåìÿùåãîñÿ ê σf+ , óñëîâèå (5.72) âûïîëíÿåòñÿ èðåøåíèå ñòàáèëüíî ïðè√2(16γ + 3) C0C2− p< C1 < 0,3 (8γ + 1)(4γ + 1)Ñòðåìÿùååñÿ ê σf− ðåøåíèå ñòàáèëüíî ïðè√2(16γ + 3) C0C20 < C1 < p,3 (8γ + 1)(4γ + 1)σ(t) = σ+(t).(5.75)σ(t) = σ−(t).Íàïðèìåð, ìû ïîëó÷àåì ÷òî äëÿ γ = 1, C2 = 7/2 è C0 = 5/8, ðåøåíèå√ñòàáèëüíî ïðè óñëîâèè C1 > −19 7/18 ≈ −2.7927. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèÿ,ïðåäñòàâëåííûå íà èñ. 5.3, ñòàáèëüíû, òîãäà êàê ðåøåíèå òèïà "îòñêîêà"(èñ.
5.2) íåñòàáèëüíî.195Èíòåðåñíî ïðîñëåäèòü, êàê ìåíÿþòñÿ ïîòåíöèàë è ýåêòèâíûé ïîòåíöèàë ïðè ïåðåõîäå îò ñòàáèëüíîãî ðåøåíèÿ ê íåñòàáèëüíîìó. Íà èñóíêå 5.4ïðåäñòàâëåíû ýåêòèâíûå ïîòåíöèàëû ïðè C1 = 2.7 è C1 = 3. Êàê ëåãêîâèäåòü, ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèå σ , ýåêòèâíûé ïîòåíöèàë VEff èìååòìèíèìóì ïðè C1 = 2.7 è ìàêñèìóì â ñëó÷àå C1 = 3. Ýòî íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèÿ ïðè C1 = 2.7 è íåñòàáèëüíîñòü ïðè C1 = 3.VEf fVEf fσσèñóíîê 5.4.
Ýåêòèâíûé ïîòåíöèàë VEff (σ). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: γ = 1,C2 = 7/2 è C0 = 5/8. Ïàðàìåòð C1 = −2.7 (ëåâàÿ) è C1 = −3 (ïðàâàÿ).VVσσèñóíîê 5.5. Ïîòåíöèàë V (σ). Ïàðàìåòðû èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: γ = 1,C2 = 7/2 è C0 = 5/8. Ïàðàìåòð C1 = −2.7 (ëåâàÿ) è C1 = −3 (ïðàâàÿ).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïîòåíöèàë V ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼í â ñëó÷àå C1 =2.7, à ïðè C1 = 3 åãî çíà÷åíèå â ìèíèìóìå ìåíüøå íóëÿ (ñì. èñóíîê 5.5). Êàêïîêàçàíî â ðàáîòå [361℄, ýâîëþöèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îòòîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ïîòåíöèàë ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûì èëè íåò. Äàííàÿìîäåëü ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíîé äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ.1965.4. Èíòåãðèðóåìûå êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè5.4.1. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó îáùèìè ðåøåíèÿìè â ìîäåëÿõ ñìèíèìàëüíî è íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìè ñêàëÿðíûìèïîëÿìèàññìîòðèì äåéñòâèåZ1 µν4 √S = d x −g U (σ)R − g σ,µ σ,ν + V (σ) .2(5.76)Ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêóþ ìåòðèêó ÔËÓ ìîæíî çàäàòü íå òîëüêî èíòåðâàëîì (1.1), íî è ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêîãî âðåìåíè è èíòåðâàëàds2 = − N 2(τ )dτ 2 + a2 (τ )2 dx21 + dx22 + dx23 ,(5.77)ãäå ââåäåíû äâå óíêöèè a(τ ) è N (τ ) ïàðàìåòðè÷åñêîãî âðåìåíè τ . ìåòðèêå (5.77) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:6U ȧ2 6U ′ ȧσ̇1 2+=σ̇ + N 2V,2aa2(5.78)4U ä 2U ȧ2 4U ′ȧσ̇ 4U ȧṄ2U ′ σ̇ Ṅ1′′ 2′+ 2 +−+ 2U σ̇ + 2U σ̈ −= − σ̇ 2 + N 2 V, (5.79)aaaaNN2!ȧ Ṅä ȧ2ȧṄ ′σ̈ + 3 −σ̇ − 6U ′+ 2 +6U + N 2V ′ = 0.(5.80)a Na aaNÓäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ óðàâíåíèé (5.78)è (5.79):ä ȧ2ȧȧṄṄ 144U+ 2 = −6U ′ σ̇ +4U−2U ′′ σ̇ 2 −2U ′σ̈+2U ′σ̇ − σ̇ 2 + N 2 V.
(5.81)a aaaNN 33Ñ å¼ ïîìîùüþ, ìîæíî çàïèñàòü (5.80) â âèäå:"! #"#′2′ UU′ 2Uȧ Ṅσ̈ + 3 −σ̇ 1 + 3+σ̇ [1 + 6U ′′] + N 2 V ′ − 2 V = 0.a NU2UU(5.82)Ñäåëàåì êîíîðìíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìåòðèêè(E)gµν = Ω2 gµν=U0 (E)g ,U µν(5.83)197ãäå U0 êîíñòàíòà. Òàêæå ìû ââåä¼ì íîâîå ïîëå ϕ ïî îðìóëåpZpdϕU0(U + 3U ′2)U0(U + 3U ′2)=⇒ ϕ=dσ.dσUU(5.84)Ñêàëÿð êðèâèçíû ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìR=Ω−2hR(E)i(E)µν(E) (E)(E)− 6 ln Ω + g∇µ ln Ω∇ν ln Ω .(5.85)Òåïåðü äåéñòâèå (5.76) ñòàíîâèòñÿ äåéñòâèåì ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì:Zq1(E)4(E)S = d x −g (E) U0R − gµν ϕ,µ ϕ,ν + VE (ϕ) ,2ãäåU02 V (σ(ϕ))VE (ϕ) =.U 2 (σ(ϕ))(5.86)(5.87)2~ , ãäå íîâûå óíêöèèÌåòðèêà (5.77) ïðèíèìàåò âèä ds2 = Ñ 2 dτ 2 − ã2 dlîïðåäåëåíû êàêÑ =sUN,U0ã =sUa.U0(5.88)Îòìåòèì, ÷òî ïðè êîíîðìíîì ïðåîáðàçîâàíèè ìåòðèê ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìâðåìåíåì ìåíÿåòñÿ óíêöèÿ õîäà N (τ ), ïðè ýòîì ñàìî ïàðàìåòðè÷åñêîå âðåìÿâ îáîèõ îðìóëèðîâêàõ îäíî è òî æå.Óðàâíåíèÿ (5.78)(5.80) ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:16U0h̃2 = ϕ̇2 + Ñ 2 VE ,2Ñ˙1˙24U0h̃ + 6U0h̃ − 4U0h̃ = − ϕ̇2 + Ñ 2 VE ,2Ñ!Ñ˙′ϕ̈ + 3h̃ −ϕ̇ + Ñ 2 VE,ϕ= 0,Ñ(5.89)(5.90)(5.91)˙ .ãäå h̃ ≡ ã/ãÏóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïîòåíöèàëà VE ìû çíàåì îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû(5.89)(5.91), òî åñòü íàì èçâåñòíû óíêöèè σ(τ ), ã(τ ) è Ñ (τ ).
Ìû òàêæå198çíàåì ÿâíî óíêöèþ σ(ϕ). Ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (5.78)(5.80) ñ ïîòåíöèàëîìV (σ) =U 2 (σ)VE (ϕ(σ)).U02(5.92)Èñêîìîå îáùåå ðåøåíèå çàäà¼òñÿ óíêöèÿìè σ(ϕ(τ )),ssU0U0a(τ ) =ã(τ ),N (τ ) =Ñ (τ ).U (σ(ϕ(τ )))U (σ(ϕ(τ ))Êàê ðàáîòàåò äàííîå óòâåðæäåíèå ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì íà èçè÷åñêèâàæíîì ñëó÷àå èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, â êîòîðîìU (σ) =γ 2σ ,2ãäå γ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Èç óðàâíåíèÿ (5.84) ïîëó÷àåìs √ γσ2U0(1 + 6γ)ϕϕ=lnè, îáðàòíî,σ = σ0e 2U0 (1+6γ) .γσ0(5.93)(5.94)Äàííàÿ îðìóëà ïðàâèëüíà òîëüêî ïðè γ 6= −1/6. Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àéèíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñ γ = −1/6, ò.å.
ñëó÷àé êîíîðìíîé ñâÿçè, ÿâëÿåòñÿ îñîáåííûì, ïîñêîëüêó â í¼ì íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòüòîëüêî äëÿ ïîòåíöèàëà V = V0 σ 4 [361℄. Ïîýòîìó ïðè γ 6= −1/6 ìû äîáàâèìêîíñòàíòó â óíêöèþ U (σ):σ2U (σ) = U0 − .12(5.95)Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå êîíîðìíîé ñâÿçè ìû äîáàâëÿåì â äåéñòâèå÷ëåí èëüáåðòàÝéíøòåéíà. Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëè ñ òàêèì U (σ) ðàññìàòðèâàëèñü â ñâÿçè ñ f (R) ãðàâèòàöèåé â ñòàòüå [374℄. Äëÿ ýòîãî U (σ) èìååì√pp12U0 + σϕϕ = 3U0 ln √è σ = 12U0 tanh √.12U0 − σ12U0(5.96)1995.4.2. Íîâûå èíòåãðèðóåìûå ìîäåëèÌû ðàññìîòðèì óêàçàííûå â îáçîðå [172℄ èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè, â êîòîðûõ ÿâíûå ðåøåíèÿ äëÿ Ñ (τ ), ã(τ ) è σ(τ ) ìîæíî íàéòè, ïî êðàéíåé ìåðå, âêâàäðàòóðàõ. Äëÿ óäîáñòâà èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ ñòàòüè [172℄ ìû ïîëàãàåì U0 = 1/4 è èñïîëüçóåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå.Íà÷í¼ì ñ ðàññìîòðåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîòåíöèàëà:√2 3λϕVE = W0e(5.97),ãäå λ ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íå ðàâíîå ±1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
