Диссертация (1097926), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Àêòèâíî èçó÷àþòñÿ òàêæå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå îáîáù¼ííûìãàìèëüòîíèàíîì ÕåíîíàÕåéëåñà ñ ðàçëè÷íûìè íåïîëèíîìèëüíûìè ÷ëåíàìè [431, 432℄. Îòìåòèì òàêæå íåàâòîíîìíîå îáîáùåíèå ìîäåëè ÕåíîíàÕåéëåñà [433℄.6.3.2. åçóëüòàòû òåñòà Ïåíëåâå äëÿ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñàñ µ=0Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé â âèäå îðìàëüíîãî ðÿäà Ëîðàíà àëãîðèòìÀáëîâèöààìàíèÑåãóðà òåñòà Ïåíëåâå îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíûì.åøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà äëÿ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà áåç äîïîëíèòåëüíîãî íåïîëèíîìèàëüíîãî ñëàãàåìîãî è ñ λ2 = 1 ïîñòðîåíû â ñòàòüå [213℄. ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñëó÷àé λ2 = 1.
Ñâîéñòâî èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû (6.7) çàâèñèò òîëüêî îò îòíîøåíèÿ λ1 /λ2 , ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü λ2 = 1 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè. Ýòè ðåøåíèÿ ïîìîãàþò íàéòèòî÷íûå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå. ×òîáû ðàçëè÷àòü îðìóëû ñ λ2 = 1 è ñ ïðîèçâîëüíûì λ2 , èñïîëüçóþùèåñÿ â ñëåäóþùèõðàçäåëàõ äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé, â äàííîì ðàçäåëå ìû îáîçíà÷èìλ1 = λ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.7) áåç íåïîëèíîìèàëüíîãî ñëàãàåìîãî è ñ λ2 = 1 â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè t0 ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, ò.å. ðåøåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè êàêx = aα (t − t0 )αèy = bβ (t − t0)β ,ãäå α, β , aα è bβ íåêîòîðûå êîíñòàíòû. àçóìååòñÿ, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè α221è β äîëæíû áûòü ìåíüøå íóëÿ, à òàêæå aα 6= 0 è bβ 6= 0.Åñëè α è β öåëûå ÷èñëà, òî ïîäñòàíîâêà ðàçëîæåíèé âèäà:αx = aα (t − t0 ) +NmaxXk=1ak+α (t − t0 )k+α,βy = bβ (t − t0 ) +NmaxXk=1bk+β (t − t0 )k+β ,ïîçâîëÿåò ñâåñòè ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê ìíîæåñòâó ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàåìûõ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íà êîýèöèåíòû akè bk .
 îáùåì ñëó÷àå òî÷íûå ðåøåíèÿ (â âèäå îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà)âîçìîæíî ïîëó÷èòü, òîëüêî ðåøèâ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñèñòåì (Nmax = ∞). Âòî æå âðåìÿ, ðåøåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñèñòåì ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ ñòî÷íîñòüþ äî O(tNmax ). Ïîñëåäîâàòåëüíîå ðåøåíèå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõñèñòåì ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî íà ÝÂÌ ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, íàïðèìåð, REDUCE [415, 416℄. Îäíàêî äëÿ ïîäîáíîé àâòîìàòèçàöèèíåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ êîíñòàíò α, β , aα è bβ è íîìåðà ñèñòåì, äåòåðìèíàíòû êîòîðûõ ðàâíû íóëþ.
Ýòè ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóþòòåì ñòåïåíÿì t (÷àñòî íàçûâàåìûì ðåçîíàíñàìè èëè ýêñïîíåíòàìè Êîâàëåâñêîé), â êîýèöèåíòàõ ïðè êîòîðûõ ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå ïðîèçâîëüíûåïàðàìåòðû. Òîëüêî ïîñëå èññëåäîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì ìîæíî ïåðåõîäèòüê àâòîìàòè÷åñêîìó ïîëó÷åíèþ ðåøåíèé. Âñþ ýòó íåîáõîäèìóþ èíîðìàöèþìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîâåäÿ òåñò Ïåíëåâå (ñì., íàïðèìåð, [334℄). Áîëåå òîãî, ðåçóëüòàòû àíàëèçà Ïåíëåâå ïîäñêàçûâàþò ñëó÷àè, â êîòîðûõ ïîëåçíî âêëþ÷àòüâ ðàçëîæåíèÿ ÷ëåíû ñ äðîáíûìè ñòåïåíÿìè t − t0 .Ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ òèïà ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (6.7) âîêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíîñòè [334, 421, 422, 434℄.  Òàáëèöå 6.1 çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé r îáîçíà÷àþò ðåçîíàíñû: r = −1 ñîîòâåòñòâóåò t0 , r = 0 (â Ñëó÷àå2 ) ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî âåäóùèé ÷ëåí ïðîïîðöèîíàëåí ïðîèçâîëüíîìó ïàðàìåòðó c1 .
Îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ r îïðåäåëÿþò ñòåïåíè t, à èìåííî, tα+r äëÿx è tβ+r äëÿ y , ïðè êîòîðûõ ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ïðîèçâîëüíûå êîýèöèåíòû(êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ íóëåâûì äåòåðìèíàíòîì). Íàëè÷èå îòðèöàòåëüíûõ ðåçîíàíñîâ, îòëè÷íûõ îò âñåãäà ñóùåñòâóþùåãî r = −1, îçíà÷àåò, ÷òî222Òàáëèöà 6.1. åçóëüòàòû àíàëèçà Ïåíëåâå ñèñòåìû (6.7)Ñëó÷àé 1:α = −2,Ñëó÷àé 2: (β < ℜe(α) < 0)√1± 1−48/Cα=,2β = −2,β = −2,√aα = ±3 2 + C ,bβ = −3,r = −1, 6,52−√aα = c1 (ïðîèçâîëüíî),1−24(1+C) 5, 22+√bβ = C6 ,1−24(1+C)2r = −1, 0, 6, ∓q1−48Cðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò íå îáùåìó, à îñîáîìó ðåøåíèþ.Äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû (6.7) íåîáõîäèìî, ÷òîáû âñå çíà÷åíèÿ αè r áûëè áû öåëûìè (èëè ðàöèîíàëüíûìè) è âñå ñèñòåìû ñ íóëåâûìè äåòåðìèíàíòàìè èìåëè ðåøåíèÿ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íèõ ñâîáîäíûõïàðàìåòðîâ.
Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ (i)(iii).Äëÿ ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ èíòåðåñíûìè òå çíà÷åíèÿC , ïðè êîòîðûõ α è r öåëûå (èëè ðàöèîíàëüíûå) ÷èñëà ëèáî òîëüêî â Ñëó÷àå 1, ëèáî òîëüêî â Ñëó÷àå 2. Íàéä¼ì âñå ñëó÷àè, êîãäà ñóùåñòâóåò ÷àñòíîå(íå îñîáîå) ðåøåíèå, ïðåäñòàâèìîå â âèäå òð¼õïàðàìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ëîðàíà√(âîçìîæíî, óìíîæåííîãî íà t − t0 ). Èç òðåáîâàíèÿ íàòóðàëüíîñòè çíà÷åíèér ïîëó÷àåì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðÿäà Ëîðàíàëèáî ïðè C = −1 è C = −4/3 (Ñëó÷àé 1), ëèáî ïðè C = −16/5, C = −6 è√1− 1−48/CC = −16 (Ñëó÷àé 2, α =), à òàêæå â ñëó÷àå C = −2, êîãäà äâà òèïà2ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé â îêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíîñòè ñëèâàþòñÿ â îäèí.àññìîòðèì âñå ýòè âîçìîæíîñòè. Ïðè C = −2, ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå:aα = 0 (ñì. Ñëó÷àé 1).
Ýòî ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî, âîïðåêè íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, òàê êàê âåäóùèé ïîðÿäîê âêëþ÷àåò ëîãàðèìè÷åñêèå ÷ëåíû [334℄.223Ïðè C = −6 è ëþáîì çíà÷åíèè λ1 èçâåñòíû òî÷íûå ÷åòûð¼õïàðàìåòðè÷åñêèåðåøåíèÿ.  ñëó÷àÿõ C = −1 è C = −16 ïîäñòàíîâêà íåèçâåñòíûõ óíêöèéâ âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì íà λ1 : ñîîòâåòñòâåííî λ1 = 1è λ1 = 1/16. Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíûå îò ëîãàðèìîâ ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî â èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ. ×àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà Ëîðàíà,çàâèñÿùåãî îò òð¼õ ïàðàìåòðîâ, ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî â äâóõ íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ, à èìåííî ïðè C = −16/5 è ïðè C = −4/3.
Ïðèìå÷àòåëüíî,÷òî äàííûå ðÿäû Ëîðàíà îáîáùàþò òî÷íûå ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå â [384℄.6.3.3. Íàõîæäåíèå ðåøåíèé â âèäå îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíààññìîòðèì ñèñòåìó ÕåíîíàÕåéëåñà ïðè C = −16/5.  Ñëó÷àå 2 ïîëó÷àåì α = −3/2 è r = −1, 0, 4, 6, ñëåäîâàòåëüíî, x ñëåäóåò èñêàòü â òàêîì âèäå,÷òîáû x2 â îêðåñòíîñòè t0 ðàçëàãàëñÿ â ðÿä Ëîðàíà, íà÷èíàþùèéñÿ ñ (t − t0 )−3 .Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëîæèòü t0 = 0. Ïîäñòàâèâ!∞∞X√15 −2 X−2kx = t c1 t +ak tèy= − t +bk tk8k=−1k=−1â ñèñòåìó (6.7), ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì íà êîýèöèåíòû ak è bk :k−1X2k − 4 ak + 2c1bk = −λak−2 − 2aj bk−j−2,j=−1k−1k−1X16 X(k − 1)k − 12 bk = − bk−2 −aj ak−j−3 −bj bk−j−2.5j=−2j=−1(6.8)Äåòåðìèíàíòû ñèñòåì, ñîîòâåòñòâóþùèõ k = 2 è k = 4, ðàâíû íóëþ.
Äëÿîïðåäåëåíèÿ a2 è b2 ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:c1 557056c81 + 15552000λ − 4860000 c41 +2+ 864000000b2 + 108000000λ − 67500000λ + 10546875 = 0,hi818176c81 + 15660000λ − 4893750 c41 − 810000000b2 = 6328125.(6.9)224Êàê ëåãêî âèäåòü, â äàííîé ñèñòåìå íåò ÷ëåíîâ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ a2 ,ñëåäîâàòåëüíî, a2 íîâàÿ êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îòáðàñûâàÿ ðåøåíèå ñc1 = 0, ïîëó÷àåì ñèñòåìó íà c̃1 ≡ c41 è b2, èìåþùóþ ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:√1125(4 35(2048λ2−1280λ+387)−1680λ+525)c̃1 =,167552√(10944λ−3420) 35(2048λ2−1280λ+387)−4403456λ2+2752160λ−789065b2 = −117956608èëèc̃1 =b2 =1125(−4√35(2048λ2−1280λ+387)−1680λ+525),167552√(10944λ−3420)35(2048λ2−1280λ+387)−4403456λ2+2752160λ−789065.117956608Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè íîâóþ êîíñòàíòó èíòåãðèðîâàíèÿ a2 , íî ïðèýòîì íàì ïîòðåáîâàëîñü çàèêñèðîâàòü c1 , è ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâîñòàëîñü ðàâíûì äâóì.
Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðè k = 4 ñèñòåìà ñâîäèòñÿê îäíîìó óðàâíåíèþ, è b4 íîâûé ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Èòàê, ïîëó÷åíîàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå, çàâèñÿùåå îò òð¼õ ïàðàìåòðîâ: t0 , a2 è b4 .Ïîëó÷èòü òåïåðü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþìîæíî ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ λâûáèðàåì îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé c1 , ïîñëå ýòîãî aj è bj íàõîäÿòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè C = − 16/5 èìååì ÷åòûðå òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèõðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷åòûð¼ì òî÷íûì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ðåøåíèÿì,íàéäåííûì â [384℄.Ïðè C = −4/3 ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà.  ñëó÷àå 1 èìååì r = −1, 1, 4, 6.Ïîäñòàâëÿÿ ðÿäûx=√−26t+∞Xk=−1kdk tè−2y = − 3t+∞Xfk tkk=−1â ñèñòåìó (6.7), ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì íà êîýèöè225åíòû dk è fk :k−1X√(k − 1)k − 6 dk + 2 6fk = −λdk−2 − 2dj fk−j−2,j=−1k−1k−1X√4 Xdj dk−j−3 −fj fk−j−2.(k − 1)k − 8 fk + 2 6dk = − fk−2 −3j=−2j=−1Ïðè k = −1, 2, 4 ñèñòåìû èìåþò íóëåâîé äåòåðìèíàíò.
 ïåðâîì ñëó÷àå(k = −1) ñèñòåìà âñåãäà èìååò ðåøåíèå, è f−1 íîâûé ïàðàìåòð, êîòîðûéèêñèðóåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ñ k = 2. Åñëèsp7(1216λ2 − 1824λ + 783) − 140λ + 105f−1 = ±385èëèf−1s p− 7(1216λ2 − 1824λ + 783) − 140λ + 105=±,385òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèÿ, à f2 íîâûé ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñ C = −16/5, ïðè k = 4 ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ,è f4 íîâûé ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Òàêèì îáðàçîì, ïðè C = − 4/3 ìû ñíîâà èìååì ÷åòûðå òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèõ (t0 , f2 , f4 ) ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ÷åòûð¼ì òî÷íûì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ðåøåíèÿì, íàéäåííûì â [384℄.
ÿäûËîðàíà òî÷íûõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò ñ íàéäåííûìè ðÿäàìè ïðè îïðåäåë¼ííûõçíà÷åíèÿõ f2 è f4 . Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà ïðèâîäèò ê ìûñëè î âîçìîæíîñòè îáîáùåíèÿ èçâåñòíûõ òî÷íûõ ðåøåíèé.Äàííîå îáîáùåíèå áûëî ñäåëàíî â íàøåé ñòàòüå [214℄ è äâóõïàðàìåòðè÷åñêèåòî÷íûå ðåøåíèÿ áûëè íàéäåíû.Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ îðìàëüíîãî ðÿäà åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î åãîñõîäèìîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
