Диссертация (1097926), страница 27
Текст из файла (страница 27)
 ýòîì ñëó÷àåèç (5.10) ñëåäóåò, ÷òîσF (σ) = σHf ln,σ0(5.31)ãäå σ0 êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòåíöèàë èìååò âèä:"!!# 2 222√√HσσσV = 0 24J −ln+3+ 3ln+3− 3,42σ0σ0à ñêàëÿðíîå ïîëåhHf (t−t0 )σ(t) = σ0 exp ei.(5.32)5.2.5. åøåíèÿ ñ óíêöèåé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òàíãåíñààññìîòðèì êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè, â êîòîðûõ ïàðàìåòð Õàááëà ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òàíãåíñà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ïðåäïîëîæèì ñëåäóþùóþ ýâîëþöèþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿσ(t) = A tanh [ω(t − t0 )] ,(5.33)ãäå A, ω è t0 êîíñòàíòû. Äëÿ òàêèõ óíêöèé èç óðàâíåíèÿ (5.6) ïîëó÷àåì1 2F (σ) = ω A − σ .(5.34)AÒàê êàê t0 ìîæåò áûòü êîìïëåêñíûì, òî ìíîæåñòâî óíêöèé (5.33) âêëþ÷àåòè óíêöèè σ(t) = A coth [ω(t − t0 )].Ïóñòü U (σ) = −σ 2 /12 + J , òîãäàY = c0pωA12J − σ 2 −σ.6J(5.35)184Åñëè c0 = 0, òî ïàðàìåòð Õàááëà ïðîïîðöèîíàëåí σ , à ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿïîëèíîìîì ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè:(6J + A2)2ω 2 4V = −σ +72J 2A2A21+ 1 ω 2 σ 2 − ω 2 A2 .3J2Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîèòü ìîäåëü ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà, ñòðåìÿùåìñÿ êêîíå÷íîìó ïðåäåëó, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàäàòü H = Y (σ) è îïðåäåëèòü F (σ)îðìóëîé (5.34).
Ôóíêöèÿ U (σ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.7).ÏóñòüH = Y (σ) = B − Cσ,(5.36)ãäå B è C êîíñòàíòû. Ïîäñòàâëÿÿ (5.34) è (5.36) â óðàâíåíèå (5.7), ïîëó÷àåìñëåäóþùåå ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà:′′2Ω(A2 − σ 2)U,σσ+ 2 [(C − 2Ω)σ − B] U,σ′ − 4CU + (A2 − σ 2)Ω = 0,(5.37)ãäå Ω = ω/A.×àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.37) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì ïîëèíîìîì1 2B2A2CΩ + 4A2Ω2 − B 2U (σ) = − σ +σ+,126(2Ω + C)12C(2Ω + C)(5.38)ò.å. èìååò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè âèä (5.19).
Ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ A, B , C èΩ, êðîìå Ω = −C è Ω = −C/2, ïîëó÷àåìûé ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà ñ êîýèöèåíòîì ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå ðàâíûì −(Ω+C)2/2. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñëó÷àé B = A è C = 1.Ïîëó÷àåì1 2A(2Ω + 4Ω2 − 1)A2U (σ) = − σ +σ+,126(2Ω + 1)12(2Ω + 1)(5.39)ñëåäîâàòåëüíî, U (σ) = 0 ïðèσ1,2√1 ± 2 2Ω2 + 2Ω3=A.2Ω + 1Ïîäñòàâèâ σ = A, ïîëó÷èì, ÷òî U (A) > 0 ïðè âñåõ Ω > 0, ïîýòîìó, âûáðàâ âêà÷åñòâå ðåøåíèÿ σ(t) = A tanh(ωt) ñ A > 0, ïîëó÷èì ÷òî U (t) ïîëîæèòåëüíà185VUσσèñóíîê 5.1.
Ôóíêöèÿ U (σ), çàäàííàÿ (5.39), (ëåâàÿ êàðòèíêà) è ïîòåíöèàëV (σ), çàäàííûé (5.40), (ïðàâàÿ êàðòèíêà) ñ A = 1, B = 1, C = 1 è Ω = 1.ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ. Êàê ëåãêî âèäåòü (ñì. èñ. 5.1), ïðè Ω = 1, U (σ(t)) > 0â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, ïîñêîëüêó −A 6 σ(t) 6 A. Äëÿ Ω = 1 ïîëó÷àåì4828V (σ) = − 2σ 4 + Aσ 3 + A2σ 2 − A3 σ + A4 =33332= − (σ + A)(3σ − A)(σ − A)2.3(5.40)Ââîäÿ ïåðåìåííóþ σ̃ = σ − A/3, ïîëó÷àåìU (σ̃) = −41 2σ̃ + A2 .1227(5.41) òåðìèíàõ σ̃ îêîí÷àòåëüíî èìååì:2Y (σ̃) = A − σ̃,3F (σ̃) =(2A − 3σ̃) (4A + 3σ̃).9(5.42)Èòàê, ïîñòðîåíà ìîäåëü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì â âèäå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òàíãåíñà è U (σ) = γ2 σ 2 + J , ïðè ýòîì γ = −1/6.Êàê áûëî ïîêàçàíî â íåäàâíåé ðàáîòå [402℄, ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõêîíñòàíò äàííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé, è óäà¼òñÿ íàéòè å¼ îáùååðåøåíèå. àññìîòðèì ìîäåëü ñ óíêöèåé U , çàäàííîé (5.38), îáëàäàþùåé ðåøåíèåì òèïà "îòñêîêà".
Ïîëîæèì B = 0 è C = −ω/(2A), òîãäà ðåøåíèåïðèìåò âèäH(t) =ωtanh [ω(t − t0 )] ,2σ(t) = A tanh [ω(t − t0 )] .(5.43)186Ìîäåëü ñ ðåøåíèåì (5.43) çàäà¼òñÿ óíêöèÿìè1 2 A2,U (σ) = − σ −123ω2 4 1 2 2V (σ) = − 2 σ − A ω .8A2Îñîáåííîñòüþ äàííîé ìîäåëè, îòìå÷åííîé â ñòàòüå [402℄, ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿíñòâî ñêàëÿðíîé êðèâèçíû R = 3ω 2 íà ðåøåíèÿõ (5.43). Áîëåå òî÷íî, âñòàòüå [402℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ñ A2 < 0, êîãäà ïîëå σ(t) â ðåøåíèè (5.43)îêàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì.Ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé A2 > 0. Ïîäñòàâëÿÿ U è V â óðàâíåíèÿ (5.2),(5.5) è (5.4) ïîëó÷àåì, ÷òî ñëåäñòâèåì äàííîé ñèñòåìû áóäåò óñëîâèå R = 3ω 2 .Òàêèì îáðàçîì, ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ ðåøåíèé, à íå òîëüêî äëÿ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ (5.43).
Ïîñêîëüêó R = 6(Ḣ + 2H 2 ), òî ýâîëþöèÿ Âñåëåííîéâñåãäà çàäà¼òñÿ óíêöèåé H(t) =ω2tanh [ω(t − t0 )]. Ïîäñòàâèâ ýòó óíêöèþ â(5.4), ìîæíî ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå äëÿ σ(t). Êàê ïîêàçàíî â ñòàòüå [402℄, ýòîîáùåå ðåøåíèå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå óíêöèè.Äàííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì èíòåãðèðóåìîé êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè ñíåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì. Äðóãèå ïðèìåðû ïîäîáíûõ èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé ïðèâåäåíû â ðàçäåëàõ 5.4 è 5.5.5.2.6. Ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìèÏðè ðàññìîòðåíèè êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, ñâÿçàííûõ ñ íåêîòîðîé óíäàìåíòàëüíîé òåîðèåé, íàïðèìåð, ïîëåâîé òåîðèåéñòðóí, òðóäíî ïîëó÷èòü òî÷íûé âèä ïîòåíöèàëà, íî âîçìîæíî ïîëó÷èòü, ïîêðàéíåé ìåðå, íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïîòåíöèàëà, íàïðèìåð, åãî ïîëèíîìèàëüíîñòü [216, 217℄.
Ïîëèíîìèàëüíûå ïîòåíöèàëû ÷àñòî ïîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòåïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè, ïîòîìó ÷òî ìíîãî÷ëåíû ÿâíî èíòåãðèðóþòñÿ è ñèñòåìàòè÷åñêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà. Ìîæíî ïîëó÷èòü îãðàíè÷åíèÿ íà óíêöèè F è U , äîñòàòî÷íûå äëÿïîëó÷åíèÿ ìîäåëè ñ ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì.187Ïóñòü F (σ) ïîëèíîì ñòåïåíè K :F (σ) =KXBj σ j .(5.44)j=0Äëÿ U = γσ 2/2 èç óðàâíåíèÿ (5.7) ìû ïîëó÷àåì (2γ + 1)B0 (6γ + 1)B2σY (σ) =−σ ln+ YP (σ),4γσ2γσ0(5.45)ãäå YP (σ) òîæå ïîëèíîì.
Êàê ëåãêî âèäåòü (ñìîòðè îðìóëó (5.8)), ÷ëåí,ïðîïîðöèîíàëüíûé σ −1 , äà¼ò âêëàä â êîíñòàíòó â ïîòåíöèàëå. Íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü òîëüêî ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé σ ln(σ). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãîìíîãî÷ëåíà F (σ) ìû ïîëó÷àåì ïîëèíîìèàëüíûé ïîòåíöèàë, åñëè γ = −1/6.Ýòî çíà÷åíèå γ ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ êîíîðìíîé êîíñòàíòû ñâÿçè [360℄.
Ïðèäðóãèõ çíà÷åíèÿõ γ ïîëèíîìèàëüíûé ïîòåíöèàë ïîëó÷àåòñÿ ïðè B2 = 0. Íàïåðâûé âçãëÿä ñëó÷àé γ = −1/6 íàèáîëåå óäîáåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ñïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì, îäíàêî, àíàëèç âñåõ óðàâíåíèé ìîäåëè ïîêàçûâàåò [361℄, ÷òî îíè ïðè γ = −1/6 îêàçûâàþòñÿ çàâèñèìûìè è ñîîòâåòñòâóþùàÿìîäåëü èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ â ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêîé ÔËÓ ìåòðèêå òîëüêî ïðè V (σ) = V0 σ 4 . Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò âàæíîñòü ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ âñåõ óðàâíåíèé ïðèïðîâåäåíèè ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà.Åñëè U ïðîèçâîëüíûé êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò [246℄: êîýèöèåíòû Y (σ), ïðîïîðöèîíàëüíûå B0 è B1 , âñåãäàÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûå B2 è B3 ïîëèíîìû òîëüêî ïðèγ = −1/6, a êîýèöèåíò, ïðîïîðöèîíàëüíûé B4 , âñåãäà âêëþ÷àåò ëîãàðèìè÷åñêèå ÷ëåíû.
Ôóíêöèÿ Y (σ) òàêæå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîåpU (σ), óìíîæåííîìó íà ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîëèíîìèàëüíûé ïîòåíöèàë V (σ) ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äîëæíàáûòü ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîëèíîìèàëüíûé ïîòåíöèàë, ìû äîëæíû ëèáî âûáðàòü K = 1, ëèáî K = 3 è γ = −1/6.  ïîñëåäíåìñëó÷àå, ìû ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë øåñòîé ñòåïåíè äëÿ íåíóëåâûõ B3 .1885.3. Ìîäåëü èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñíåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà5.3.1. Òî÷íûå ðåøåíèÿ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé U (σ), çàäàííîé (5.19).Ñëó÷àé èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè (C1 = 0 è J = 0) áûë ïîäðîáíî ðàññìîòðåí â [360℄, ãäå áûë èñïîëüçîâàí äðóãîé ìåòîä ðåêîíñòðóêöèè.  ýòîì ðàçäåëåìû íàõîäèì íîâûå êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà. Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî îäíà è òà æå ýâîëþöèÿ σ(t) ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì äëÿ ìîäåëåé ñ ðàçíûìèïîòåíöèàëàìè è êà÷åñòâåííî ðàçíûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà.àññìîòðèì ìîäåëü èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñ U (σ) = γ2 σ 2 .
Óðàâíåíèÿ (5.2)(5.4) äëÿ äàííîãî âûáîðà U (σ) èìåþò ñëåäóþùèé âèä:V1H2 =+3γσ 2 6γ 2σ̇σ̇− 2H ,σσ σ̈σ̇ 4γ + 1 σ̇ 2V3H + 2Ḣ = − 2 − 4H −+ 2,σσ2γσγσσ̈ + 3H σ̇ + V,σ′ − 6γσ 2H 2 + Ḣ = 0.2(5.46)(5.47)(5.48)Èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì ñèñòåìóσ̇ = ϑ,ϑ21+[4V − σV,σ′ ],σ(1 + 6γ)σ 2V,σ′4Hϑ12γ1 + 2γϑ2Ḣ =+−H −.(1 + 6γ)σ (1 + 6γ)σ 1 + 6γ2γ(1 + 6γ) σϑ̇ = − 3Hϑ −(5.49)Êàê ïîêàçàíî â [361℄ äëÿ γ = −1/6 íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþòòîëüêî ïðè V = V0 σ 4 . Ïî ýòîé ïðè÷èíå, ìû ïîëàãàåì, ÷òî γ 6= −1/6.Ïóñòü Y (σ) êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîìY (σ) = C0 + C1 σ + C2σ 2,(5.50)189ãäå C0 , C1 è C2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, ïðè÷¼ì C2 6= 0. Èç óðàâíåíèÿ(5.10) ïîëó÷àåì2 (8γ + 1)C0 − (4γ + 1)C2σ 2 γσF (σ) =+ Bσ −(1+2γ)/(2γ),(4γ + 1)(8γ + 1)(5.51)B ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
Îòìåòèì, ÷òî óíêöèÿ F (σ) íå çàâèñèò îò C1 .Äàííàÿ óíêöèÿ F (σ) ïîëó÷àåòñÿ ïðè γ 6= −1/4 è γ 6= −1/8. Ïðè B = 0óíêöèÿ F (σ) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì òðåòüåé ñòåïåíè è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.6) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé óíêöèåé. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì øåñòîé ñòåïåíè:(16γ + 3)(6γ + 1)γ 2 6 6(6γ + 1)γC2 σ +C1 C2 σ 5 +2(8γ + 1)8γ + 12(6γ + 1)(20γ + 3)γ2+ 3γC1 +C0 C2 σ 4 +(8γ + 1)(4γ + 1)V (σ) =+(5.52)6(6γ + 1)γ(16γ + 3)(6γ + 1)γ 2 2C0 C1 σ 3 +C0 σ .4γ + 1(4γ + 1)2Èìåííî ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ àíàëèçà, è òîëüêîîí áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.
Ïðè C0 6= 0 ïîëó÷àåìp(8γ + 1)C0,σ± (t) = ± p(8γ + 1)C0e−ω(t−t0 ) + (4γ + 1)C2(5.53)Ïðè C0 = 0 îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.6) èìååò âèä√8γ + 1σ̃±(t) = ± p.4γC2(t − t0 )(5.54)ãäå ω = 4γC0/(4γ + 1), à t0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ.åøåíèÿ äå Ñèòòåðà, ñîîòâåòñòâóþùèå F (σ) = 0, èìåþò âèäp(8γ + 1)C0σf0 = 0,σ f± = ± p.(4γ + 1)C2(5.55)Ïðè ýòîì σf0 ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíîé òî÷êîé ñèñòåìû (5.49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
