Диссертация (1097926), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ìåòîä Êîâàëåâñêîé [174℄ ÿâëÿåòñÿìåíåå îáùèì, ÷åì α-ìåòîä, íî çàòî ãîðàçäî áîëåå ïðîñòûì. Ñîâðåìåííûé âàðèàíò ýòîãî ìåòîäà áûë ïðåäëîæåí Àáëîâèöåì, àìàíè è Ñåãóðîì [180℄ â 1980ãîäó. Äàííûé àëãîðèòì èñïîëüçîâàí â ëàâå 4 ïðè èññëåäîâàíèè äâóõïîëåâûõêîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé.Íà îñíîâå òåñòà Ïåíëåâå áûë ðàçðàáîòàí [377℄ àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ÎÄÓ â âèäå êîíå÷íûõ ðàçëîæåíèé ïî íåèçâåñòíîé óíêöèèϕ(t − t0 ). Ôóíêöèÿ ϕ(t − t0 ) è êîýèöèåíòû îêàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè íåêîòîðîé ñèñòåìû ÎÄÓ, ÷àñòî áîëåå ïðîñòîé, ÷åì èñõîäíîå óðàâíåíèå.
Äàííûéìåòîä áûë èñïîëüçîâàí [411℄ äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ÎÄÓ. Ñ ïîìîùüþ òåñòà Ïåíëåâå, îñíîâàííîãî íà òåîðèè âîçìóùåíèé [412℄, áûëî ïîñòðîåíî [413℄ ÷åòûð¼õïàðàìåòðè÷åñêîå îáîáùåíèå òî÷íîãî òð¼õïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äåâÿòîé êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè Áèàíêè(Mixmaster).215Ïóñòü äàíî àâòîíîìíîå ïîëèíîìèàëüíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåF (y (n) (t), y (n−1)(t), .
. . , y(t)) = 0,(6.1)èíûìè ñëîâàìè, óíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ïî y è å¼ ïðîèçâîäíûì è íåçàâèñèò ÿâíî îò t.Òðåáóåòñÿ íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ â êëàññå ýëëèïòè÷åñêèõ èëè âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé. Êàê èçâåñòíî, ëþáàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ (â òîì ÷èñëå è âûðîæäåííàÿ) ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì íåêîòîðîãî àâòîíîìíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿïåðâîãî ïîðÿäêà:R(yt , y) = 0,yt ≡dy.dt(6.2)Ñòàíäàðòíûì ìåòîäîì ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6.1) ÿâëÿåòñÿåãî ñîâìåñòíîå ðåøåíèå ñ âûáðàííûì óðàâíåíèåì òèïà (6.2), êîòîðîå ïîçâîëÿåò âûðàçèòü yt êàê óíêöèþ îò y è òåì ñàìûì ïðåâðàòèòü äèåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå (6.1) â ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ñëîæíîñòü ïîëó÷àåìîéñèñòåìû ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âèäà óðàâíåíèÿ (6.2) è äàííûé àëãîðèòì îñîáåííî ýåêòèâåí â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé, òèïà:yt2 = A3 y 3 + A2y 2 + A1y + A0 ,(6.3)ãäå Ak êîýèöèåíòû, êîòîðûå íóæíî îïðåäåëèòü.Êàê áûëî ïîêàçàíî â [384℄, íîâûå ðåøåíèÿ óäà¼òñÿ íàéòè, åñëè äîáàâèòü÷ëåíû ñ äðîáíûìè ñòåïåíÿìèyt2 = A3 y 3 + A5/2y 5/2 + A2y 2 + A3/2y 3/2 + A1y + A1/2y 1/2 + A0.(6.4)Èíûì ñïîñîáîì [386, 387℄ ðàñøèðåíèÿ êëàññà ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ èõ ïîèñêâ âèäå ïîëèíîìà îò óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ òèïà (6.3).Íè ñòàíäàðòíûé ìåòîä, íè óêàçàííûå åãî îáîáùåíèÿ íå èñïîëüçóþò òîãî àêòà, ÷òî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà ÀáëîâèöààìàíèÑåãóðà [180℄ (ñì.
òàêæå [184, 334℄) òåñòà Ïåíëåâå óäà¼òñÿ ïîñòðîèòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1) â âèäå216îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà. Ïðè ýòîì, êàê ïîêàçàíî â [213℄, äëÿ ïîñòðîåíèÿïîäîáíûõ ðåøåíèé ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ òðåáóåòñÿ ðåøèòü òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ïðè÷¼ì êîëè÷åñòâî íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íå ïðåâûøàåò ïîðÿäîê äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî òåñòÏåíëåâå ìîæåò áûòü ïðîâåäåí ñ ïîìîùüþ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Íàïðèìåð, íàïèñàííûé íà Mathematia ïàêåò PainleveTest.m [414℄ âûäà¼ò, êàê÷àñòü ðåçóëüòàòà, ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6.1) ñ ïîìîùüþðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà è óðàâíåíèÿ (6.2) ïðåäëîæåí â ñòàòüå Êîíòàè Ìþçåòòû [208℄. Äàííûé àëãîðèòì ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ êàê íåçàâèñèìî, òàêè â ñî÷åòàíèè ñ âûøåóêàçàííûìè ìåòîäàìè. Îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé äàííîãîàëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ íàèáîëåå îáùèé âèä óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Êàê èçâåñòíî, ýëëèïòè÷åñêèå óíêöèè ÿâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íûìèóíêöèÿìè íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è íå èìåþò îñîáåííîñòåé, îòëè÷íûõ îò ïîëþñîâ. Êàê äîêàçàíî Ôóêñîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.2) áûëî îäíîçíà÷íîé óíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óðàâíåíèå (6.2) èìåëî âèä2 :m (p+1)(m−k)/pXXk=0hjk y j yt k = 0,h0m = 1,(6.5)j=0ãäå m îïðåäåëÿåò ñòàðøóþ ñòåïåíü yt , hjk ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè, à p ïîðÿäîê ïîëþñîâ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ.
Ïðè ýòîì åäèíñòâåííî âîçìîæíûìèîäíîçíà÷íûìè ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (6.5) îêàçûâàþòñÿ ëèáî ðàöèîíàëüíàÿóíêöèÿ, ëèáî ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ îò ïîêàçàòåëüíûõ èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé, ëèáî ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ [177, ë. 2℄.. Êîíò è Ì. Ìþçåòòe ïðåäëîæèëè ñëåäóþùèé àëãîðèòì ïîèñêà ðåøåíèéâ âèäå ýëåìåíòàðíûõ è ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé [208℄:• Ïîñòðîèì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1) â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà. Åñëè òàêèõ2Ñóììèðîâàíèå â (6.5) èä¼ò ïî öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì j , ìåíüøèì èëè ðàâíûì (p + 1)(m − k)/p.217ðåøåíèé íåò èëè âñå îíè ñîîòâåòñòâóþò óæå èçâåñòíûì ðåøåíèÿì, òîíèêàêèõ èíûõ îäíîçíà÷íûõ òî÷íûõ ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò.
 ñèëó àâòîíîìíîñòè óðàâíåíèÿ (6.1), êîýèöèåíòû ðÿäà Ëîðàíà íå çàâèñÿò îòïîëîæåíèÿ òî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè. Îíè ìîãóò çàâèñåòü îò ÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå (6.1), êðîìå òîãî íåêîòîðûå èç íèõ (èõêîëè÷åñòâî ìåíüøå ïîðÿäêà äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n) ìîãóò îêàçàòüñÿ ïðîèçâîëüíûìè.• Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûé ðÿä Ëîðàíà â óðàâíåíèå (6.2), ìû ñâåä¼ì åãî ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðè ýòîì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ëèíåéíû ïî hjk è íåëèíåéíû, âîçìîæíî, äàæå íå ïîëèíîìèàëüíû ïî ÷èñëåííûìïàðàìåòðàì, âõîäÿùèì â ðÿä Ëîðàíà.• Èñêëþ÷àåì âñå êîýèöèåíòû hjk è ðåøàåì ïîëó÷åííóþ íåëèíåéíóþñèñòåìó.Îòìåòèì, ÷òî åñëè óðàâíåíèå (6.1) íå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíûõ ÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ è ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ â âèäå ðÿäà Ëîðàíà îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå, òî èñêëþ÷åíèå êîýèöèåíòîâ hjk ïîëíîñòüþ ðåøàåò çàäà÷ó è íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà íå âîçíèêàåò. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé òðåáóåòñÿ òîëüêîêîíå÷íîå, áîëüøåå ÷åì êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ, ÷èñëî êîýèöèåíòîâ ðÿäàËîðàíà, ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ äîëæíû áûòü ïðîâåðåíû.
Îáû÷íî ýòîìîæíî ñäåëàòü ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé. Îòìåòèì, ÷òî äàííûé àëãîðèòì ìîæåòáûòü èñïîëüçîâàí â ñî÷åòàíèè ñ îïèñàííûìè âûøå òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè,ïîçâîëÿÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, èëè äàæå ëèíåàðèçîâàòü, ïîëó÷àåìûå òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. äàííîé ãëàâå ïîêàçàíî, ÷òî èçâåñòíûå ìåòîäû ìîãóò áûòü óëó÷øåíû èîáîáùåíû. Òàêæå îïèñàíû íàéäåííûå â ïîìîùüþ ýòèõ ìåòîäîâ íîâûå òî÷íûåðåøåíèÿ äëÿ èçè÷åñêè âàæíûõ ìîäåëåé.
Äàííàÿ ãëàâà îñíîâàíà íà ðåçóëüòàòàõ ñòàòåé [213, 214, 218221, 236238℄.218Ñèñòåìàòè÷åñêèé ïîèñê ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû [415,416, 418℄.  Ïðèëîæåíèè 3 îïèñàíû ðàçðàáîòàííûå àâòîðîì äèññåðòàöèè ïàêåòû ïðîöåäóð êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.6.3. Ïîñòðîåíèå ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà ïîìîùüþ òåñòà Ïåíëåâå6.3.1. Îáîáù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí ÕåíîíàÕåéëåñàÍà÷èíàÿ ñ ðàáîò [419, 420℄, èññëåäîâàíèÿ äâóìåðíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè ïðèâëåêàþò áîëüøîå âíèìàíèå, ïîñêîëüêó â íèõ îáíàðóæèëè ÿâëåíèå "äèíàìè÷åñêîãî õàîñà". Íå ñóùåñòâóåò ìåòîäà íàõîæäåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îáùèõ ðåøåíèé äâóìåðíûõ íåèíòåãðèðóåìûõñèñòåì â àíàëèòè÷åñêîì âèäå.
 òî æå âðåìÿ, âàæíîé è ðåøàåìîé ïðîáëåìîéÿâëÿåòñÿ ïîèñê îäíîçíà÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé â àíàëèòè÷åñêîé îðìå. Èññëåäîâàíèå ðåøåíèé ñ íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè, íàïðèìåð,ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé, èãðàåò âàæíóþ ðîëü â èçó÷åíèè èçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Äðóãàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòü òàêèå íåèíòåãðèðóåìûåñëó÷àè, â êîòîðûõ îäíîçíà÷íûå ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ ìîãóò çàâèñåòü îò ìàêñèìàëüíîãî ÷èñëà ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ. øåñòèäåñÿòûå ãîäû â àñòðîíîìèè àêòèâíî èçó÷àëèñü ìîäåëè äâèæåíèÿçâ¼çä â öèëèíäðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì è íåçàâèñÿùåì îò âðåìåíè ïîòåíöèàëå.Òð¼õìåðíàÿ çàäà÷à, áëàãîäàðÿ ñèììåòðèè ïîòåíöèàëà, ñâîäèòñÿ ê äâóõìåðíîé,îäíàêî, íàõîæäåíèå âòîðîãî èíòåãðàëà ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â àíàëèòè÷åñêîéâèäå, íàïðèìåð, â âèäå ïîëèíîìà ïî àçîâûì ïåðåìåííûì, îêàçûâàåòñÿ íåðàçðåøèìîé çàäà÷åé äàæå äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïîòåíöèàëîâ.
Õåíîí è Õåéëåñ [420℄ äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè íåèçâåñòíîãî219èíòåãðàëà èññëåäîâàëè ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ïîä÷¼ðêèâàÿ, ÷òî ïðè âûáîðå ïîòåíöèàëà íåèñõîäÿò èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, îíè ïðåäëîæèëè ãàìèëüòîíèàíH̃ =1 21xt + yt2 + x2 + y 2 + x2y − y 3 ,23ïîñêîëüêó îí, ñ îäíîé ñòîðîíû, äîñòàòî÷íî ïðîñò, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî âû÷èñëÿòü òðàåêòîðèè, à, ñ äðóãîé ñòîðîíû, äîñòàòî÷íî ñëîæåí, ÷òîáû ïîëó÷åííûåòðàåêòîðèè îêàçàëèñü äàëåêî íåòðèâèàëüíûìè.  ñàìîì äåëå, ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõ ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà âûãëÿäèò èíòåãðèðóåìîé â òîì ñìûñëå, ÷òî,íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, òðàåêòîðèè, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, ëåæàò íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ, ò.å.
òàê, êàê åñëèáû ñóùåñòâîâàë âòîðîé íåçàâèñèìûé èíòåãðàë.  òî æå âðåìÿ ñ óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè ìíîãèå èç ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ðàñïàäàþòñÿ, ÷òî óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå âòîðîãî èíòåãðàëà. Ïîñëåäóþùèå ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ [421, 422℄ïîêàçàëè, ÷òî â êîìïëåêñíîé t-ïëîñêîñòè îñîáûå òî÷êè ðåøåíèé óðàâíåíèéäâèæåíèÿ ãðóïïèðóþòñÿ â ñàìîïîäîáíûå ñïèðàëè. Ïîëó÷àþòñÿ ÷ðåçâû÷àéíîñëîæíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíãóëÿðíîñòåé, îáðàçóþùèå ãðàíèöó, çà êîòîðóþ ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíî.Îáîáù¼ííàÿ ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì:1 2Cµ222H̃ =xt + yt + λ1 x + λ2 y + x2y − y 3 + 2(6.6)232xè ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé äâèæåíèÿµ xtt = − λ1 x − 2xy + ,x3 y = − λ2 y − x2 + Cy 2 ,ttãäå xtt ≡d2 xdt2è ytt ≡d2 ydt2 ,à λ1 , λ2 , µ è C ÷èñëåííûå ïàðàìåòðû.Àíàëèç Ïåíëåâå ïîçâîëèë îòûñêàòü èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè (6.7):(i)C = −1,(ii) C = −6,(iii) C = −16,λ1 = λ2,λ1 è λ2 ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà,λ1 =λ216 .(6.7)220Îòìåòèì, ÷òî äîïîëíèòåëüíûé íåïîëèíîìèàëüíûé ÷ëåí íå âëèÿåò íà ñâîéñòâàèíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû.Ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ, íå òîëüêî àêòèâíî èçó÷àåìîé ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè [377, 401, 423426℄, íî è øèðîêî èñïîëüçóåìîé â èçèêå, â ÷àñòíîñòè, â ãðàâèòàöèè [427429℄ è òåîðèèïëàçìû [430℄.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
