Диссертация (1097926), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Êàæäîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà P0 ñîîòâåòñòâóþò 6 ðå234øåíèé ñèñòåìû (6.20), äâà èç êîòîðûõ (ñ A5/2 = A3/2 = 0) ñîîòâåòñòâóþòðåøåíèÿì óðàâíåíèÿ (6.3).Çíà÷åíèÿ A5/2 è A3/2, ñîîòâåòñòâóþùèå îñòàëüíûì ðåøåíèÿì, çàâèñÿò îòλ1 è λ2 è ðàâíÿþòñÿ íóëþ òîëüêî ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ.Ìû ðàññìîòðèì òîëüêî ðåøåíèÿ A5/2 6= 0 èëè A3/2 6= 0. Ýòè ðåøåíèÿ ìîãóòáûòü ðàçáèòû íà ïàðû òàêèì ñïîñîáîì, ÷òî ðåøåíèÿ â êàæäîé ïàðå áóäóòîòëè÷àòüñÿ òîëüêî çíàêàìè A5/2 è A3/2. Åñëè ïðàâàÿ ñòîðîíà óðàâíåíèÿ (6.15)ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñ êðàòíûì êîðíåì, òî ̺ è y ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåçýëåìåíòàðíûå óíêöèè.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå y ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéóíêöèåé [280, 436℄.Î÷åâèäíî, ÷òî y(t) = ̺2 (t)+P0 = (−̺(t))2 +P0 , ïîýòîìó, ðåøåíèÿ ñèñòåìû(6.20) ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíà÷åíèÿìè A5/2 è A3/2 ïîðîæäàþò îäíî è òîæåðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.14).
Ñ ïîìîùüþ (6.15) ìû ïîëó÷àåì ïîëèíîìèàëüíîåäèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà y(t):(yt2 − A3 (y − P0 )3 − A2 (y − P0 )2 − A1 (y − P0 ))2 = (y − P0 )3(A5/2(y − P0 ) + A3/2)2.(6.22)Âûðàçèì óíêöèþ ̺(t) â òåðìèíàõ ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèè Âåéåðøòðàññà ℘(t) [436, ë. 5℄:̺(t − t0 ) =a℘(t − t0 ) + b,c℘(t − t0 ) + d(ad − bc = 1),ãäå t0 - ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Ïåðèîäû ℘(t) è êîíñòàíòû a, b, c è d îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì (6.15).Ôóíêöèÿy(t − t0 ) =a℘(t − t0 ) + bc℘(t − t0 ) + d2+ P0(6.23)ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà. Ýòà óíêöèÿ, êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.14), ìîæåò èìåòü òîëüêî ïîëþñà âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîýòîìóâ ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ ó ýòîãî ðåøåíèÿ åñòü äâà ïîëþñà ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âû÷åòàìè.
åøåíèÿ (6.23) îòëè÷àþòñÿ îò èçâåñòíûõ ðàíåå ðåøåíèé235óðàâíåíèÿ (6.14), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëèáî ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà [436℄, ëèáî âûðîæäåííûìè ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè. Îòìåòèì,÷òî â íåäàâíåé ðàáîòå [211℄ áûëî äîêàçàíî ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, ÷òî â íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà,åäèíñòâåííûìè ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè, ÿâëÿþùèìèñÿ ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿ, íàéäåííûå íàìè â ñòàòüå [214℄.Ôóíêöèÿ x(t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6.7) ñ8 2 51410µ = C P0 + 2λ1C 2 − λ2 C P04 + 2λ22 − CA1 − 4λ1 λ2 C P03 +333222+ 2λ1 λ2 − 2λ1CA1 − 4C H̃ + 3λ2 A1 P0 + 2λ1λ2 A1 + A1 + 4λ2 H̃ P0 +19 2+ 2A1H̃ + λ1 A21 +A A1 .2128 3/2(6.24)Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6.7). Ïîäñòàâëÿÿ ytt , ìû ïîëó÷àåì:32x = C − A4 y 2 + (3A4P0 − A2 − 1)y −2(6.25)p112− (5A5/2y + 3A3/2 − 5A5/2P0 ) y − P0 − (A1 + 3A4P0 − 2A2P0 ).42Åñëè A5/2 è A3/2 ðàâíÿþòñÿ íóëþ, òî ïîëó÷àþòñÿ ïðîñòûå àëãåáðàè÷åñêèåòðàåêòîðèè.
Ïîëíûé ñïèñîê òðàåêòîðèé ïðåäñòàâëåí â ðàáîòå [381℄. ÏàðàìåòðP0 îòñóòñòâóåò â ýòèõ óðàâíåíèÿõ òðàåêòîðèè.Îòìåòèì, ÷òî îäíî çíà÷åíèå ýíåðãèè H̃ ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íå áîëåå÷åì òð¼ì ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì P0 è, ñëåäîâàòåëüíî, íå áîëåå, ÷åì øåñòè ðàçëè÷íûì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ðåøåíèÿì.6.4.2. Ïðèìåð òî÷íîãî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåøåíèÿÏðè C = −16/5, λ1 = 1/9 è λ2 = 1 îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ (ñP0 = 0) áûëè ðàññìîòðåíû ñ ñòàòüå [384℄. àññìîòðèì äâóõïàðàìåòðè÷åñêîåîáîáùåíèå äàííîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ âûáðàííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïîëó÷àåì236ñëåäóþùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.20):1.
A4 = −32,15A3/2 = 0,42. A4 = − ,3A3/2 = 0,A5/2 = 0,32A1 = − P02 − 2P0 ,516 3 1 2H̃ = P0 + P0 ,152A5/2 = 0,A1 = − 4P02 −3420P0 +,333267A2 = −32P0 − 1,5A2 = − 4P0 −17,332 317 22230P0 −P0 +P0 −,153303267323433√328i 153243 − 4. A4 = − ,A5/2 = ±,A2 = − P0 − ,15 √45594i 15328A3/2 = ±P0 ,A1 = − P02 − P0 ,959716H̃ = P03 − P02 ,1572√ √3265 5615 − 6. A4 = − ,A3/2 = ±(26928P0 + 8125),15113299568 √ √323496333125A5/2 = ±65 561, A1 = − P02 −P0 −,8415516837553304321748A2 = − P0 −,51683167291 2642687517551324375H̃ = P03 +P0 +P0 +.15134641812792969762977765376H̃ = −Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.15) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñ êðàòíûìè êîðíÿìè, òî óíêöèÿ y ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé è ìîæåòáûòü âûïèñàíà â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé.
Íàïðèìåð, ïðè P0 = 0ïîäñòàíîâêà ðåøåíèé 34 â óðàâíåíèå (6.15) äà¼ò5y= − 2 ,t−t03 1 − 3 sin 3ãäå t0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.(6.26)237Ñ ïîìîùüþ îðìóëû (6.24) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ µ:1.µ = 0,2.µ=160 31089 P034. µ = 43 P04 +56. µ =−52 4561 P0+680211979 P05 354 P0−+−8001185921 P0−70001056655611 ,50 2729 P0 ,81640 3944163 P0−44584608252152546527584 P0−539878421875128367902961936 P0−7284733777343756703885364284145664 .6.4.3. Äðóãîé ñïîñîá ïîèñêà ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèéÊàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ñèñòåìà (6.20) ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ ïîìîùüþñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû [214℄.  ýòîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî,èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ,à èìåííî ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.20), ðåøèâ òîëüêî ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïåðåìåííóþ. Ìûíå ìîæåì èñïîëüçîâàòü äàííûé ìåòîä äëÿ ïðîèçâîëüíîãî C , ïîñêîëüêó âèäðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà çàâèñèò îò C .
Ïîýòîìó ìû äîëæíû âûáðàòüçíà÷åíèå C . Åñëè A5/2 6= 0, òî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6.20) äàþò äâàâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ C .Ìû âûáåðåì C = − 4/3 (ñëó÷àé C = − 16/5 ìîæíî ðàññìîòðåòü òåì æåñïîñîáîì). Ïîäñòàâèâ C = − 4/3 è A3 = − 4/3 â (6.20), ìû ïîëó÷èì512P0 + 128A2 − 256λ1 + 384λ2 + 315A25/2 = 0,56A3/2 + (640P0 + 195A2 + 240λ1 + 60λ2)A5/2 = 0,3263A5/2A3/2 + 24 A2 + 4λ1 + λ2 + P0 A2 +3+ 256λ1P0 + 640P02 + 96λ1λ2 + 288P0λ2 = 0,128P0 − 16λ1 − 4λ2 A3/2 = 0. 10A5/2A1 + 5A2 −3(6.27)Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó (6.27), îòäåëüíî îò äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé (6.15) è (6.19), èç êîòîðûõ îíà áûëà ïîëó÷åíà, òî ðåøèòü ñèñòåìó (6.27) áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû çàòðóäíèòåëüíî.238Îòìåòèì, ÷òî ñòàíäàðòíûå ïðîöåäóðû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõñèñòåì íàöåëåíû íà ïîëó÷åíèå âñåãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé, ïîýòîìó, åñëè ñèñòåìà ñëèøêîì ñëîæíà, òî ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû íå íàõîäÿò íå òîëüêîîáùåãî ðåøåíèÿ, íî è ÷àñòíûõ ðåøåíèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðîñòûìè.
 ýòîìðàçäåëå ìû ïîêàæåì êàê óðàâíåíèÿ (6.15) è (6.19) ìîãóò ïîìî÷ü íàì íàéòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.27).Äàâàéòå ïîñòðîèì ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà Ëîðàíà óðàâíåíèÿ (6.19) ñ C =− 4/3.  ïîìîùüþ àíàëèçà Ïåíëåâå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ó ðåøåíèé åñòü òîëüêîïîëþñà, ïðîïîðöèîíàëüíûå 1/(t − t0 ), à çíà÷åíèÿ ðåçîíàíñîâ ðàâíû −1 (÷òîñîîòâåòñòâóåò àâòîíîìíîñòè óðàâíåíèÿ è ïðîèçâîëüíîñòè ïàðàìåòðà t0 ), 1, 4 è10. Ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä [218℄:!√√i 3i 3̺˜ = ±+ c0 +3λ2 − 2λ1 + 4P0 + 62c20 t + . . .
,t24(6.28)ãäåc0 =qp± 161700λ1 − 121275λ2 ± 1155(5481λ22 − 12768λ1λ2 + 8512λ21)2310,(6.29)è äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ìû ïîëîæèëè t0 = 0. Îòìåòèì, ÷òî äâà çíàêà ” ± ”â (6.29) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Ïîñêîëüêó óíêöèè ̺˜ è −˜̺ ñîîòâåòñòâóþòîäíîé è òîé æå óíêöèè ỹ , òî çíàê ” ± ” â îðìóëå (6.28) ìîæíî îïóñòèòü.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè 4 ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. Êîýèöèåíòû c3 è c9 ïîëó÷åííûõ ðÿäîâ Ëîðàíà ïðîèçâîëüíû. Ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ ìîæåòáûòü íàéäåíî ðåøåíèåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è äâóõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòîäíîé ïåðåìåííîé.Ïðèìåíèì òåïåðü îïèñàííûé âûøå ìåòîä ÊîíòàÌþçåòòû [208℄, âûáèðàÿâ êà÷åñòâå (6.5) óðàâíåíèå (6.15). À èìåííî, ìû ïîäñòàâëÿåì ïîëó÷åííûå â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà ðåøåíèÿ (6.28) â óðàâíåíèå (6.15), è ñâîäèì åãî ê ñèñòåìåàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ëèíåéíû ïî Aj .
Ïàêåò ïðîöåäóð íà ÿçûêåêîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple, ïðåîáðàçóþùèé äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå239ïåðâîãî ïîðÿäêà (6.5) â ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëåí â ñòàòüå [237℄ è îïèñàí â Ïðèëîæåíèè A.Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà îêàçàëàñü òðåóãîëüíîé îðìû è ëèíåéíîé íå òîëüêîïî Aj , íî òàêæå ïî H̃ , c3 è c9 .
Ïåðâîå óðàâíåíèå ñòàíîâèòñÿ òîæäåñòâîì ïðèA3 = − 4/3. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåòA5/2 =16c0 ,3(6.30)è äàëåå ïîëó÷àåìA2 = − 70c20 − 3λ2 + 2λ1 − 4P0,402A3/2 =P0 − 60λ1 + 50λ2 + 1300c0 c0 ,3√21535 4565405245A1 = − 40i 3c3 −c0 +λ1 −λ2 −P0 c20 +12643721 27 2 777 2+ λ1 λ2 − λ2 − λ1 + λ1 P0 − λ2 P0 − P0 .41612323Ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äà¼ò çíà÷åíèå c3 è, íàêîíåö, âû÷èñëÿåì15645 415451495537 2A1 =c0 +λ2 − 465P0 −λ1 c20 +λ −44220 1663729 23717−λ1 λ2 +λ2 + 19λ1P0 − λ2 P0 − P02 .208023(6.31)(6.32)(6.33)(6.34)Ïîäñòàâèâ òåïåðü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ Ak , ÷òî ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó èçâîçìîæíûõ çíà÷åíèé c0 , â ñèñòåìó (6.27), ìû îáíàðóæèì, ÷òî îíà âûïîëíÿåòñÿäëÿ âñåõ çíà÷åíèé λ1 , λ2 è P0 .
Òàêèì îáðàçîì, îòïàëà íåîáõîäèìîñòü ðåøàòüñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6.27).  ïðîöåññå ðåøåíèÿ ìû èñïîëüçîâàëèòîëüêî ïî øåñòü ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà. Äàííûé ïðèìåðïîêàçûâàåò ïîëåçíîñòü çíàíèÿ âîçìîæíûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà äëÿïîèñêà òî÷íûõ, íàïðèìåð, ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé.  ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõìû ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî áîëåå íàãëÿäíî íà ïðèìåðå êîìïëåêñíûõ óðàâíåíèéèíçáóðãàËàíäàó.2406.5. Äîêàçàòåëüñòâî îòñóòñòâèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèéêîìïëåêñíîãî êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿèíçáóðãàËàíäàó6.5.1.
Óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó òðåòüåé ñòåïåíèÎäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó [437℄ îäíî èç íàèáîëåå àêòèâíî èçó÷àåìûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè (ñì. [438℄ è ññûëêè â íåé). Âîçíèêøåå â òåîðèè ñóïåðïðîâîäèìîñòè [437℄, ýòî óðàâíåíèå èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ èçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ äëÿîïèñàíèÿ áèóðêàöèè Õîïà [438, 439℄, ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà â îïòè÷åñêîì âîëîêíå [440℄, íåðàâíîâåñíûõ ÿâëåíèé â ïðîñòðàíñòâåííî ðàñøèðåííûõäèññèïàòèâíûõ ñèñòåìàõ [441, 442℄, ïîâåäåíèÿ êâàðêîâîé ìàòåðèè â íåéòðîííûõ çâ¼çäàõ [443, 444℄ è äðóãèõ èçè÷åñêè âàæíûõ ïðîöåññîâ.Óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàóiAt + pxx + q|A|2 − iγ = 0,ãäå At ≡∂A,∂tAxx ≡∂2A,∂x2(6.35)p ∈ C, q ∈ C è γ ∈ R, íåèíòåãðèðóåìî ïðè pqγ 6= 0.Ïðè q/p ∈ R è γ = 0 óðàâíåíèå (6.35) èíòåãðèðóåìî è ñîâïàäàåò ñ íåëèíåéíûìóðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà [445, 446℄.Îäíî èç íàèáîëåå âàæíûõ íàïðàâëåíèé èçó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó àíàëèç åãî ðåøåíèé â âèäå áåãóùèõ è ñòîÿ÷èõ âîëí [208, 209, 382,383, 438, 447449℄, èíûìè ñëîâàìè, â âèäåqA(x, t) = M(ξ)ei(ϕ(ξ) − ωt) , ξ = x − ct,c ∈ R,ω ∈ R.(6.36)Ïîäñòàâëÿÿ (6.36) â (6.35), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:M ′′M ′2 csr 2 csi M ′−− ψ−−+ dr M + gi = 0,2M 4M 222M M′csr ψ′ + ψ −− csi + di M − gr = 0,2M(6.37)241ãäå ψ ≡ ϕ′ ≡dϕdξ ,M′ ≡dMdξ ,à øåñòü äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ dr , di , gr , gi , srè si ñâÿçàíû ñ ïàðàìåòðàìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.35) ñëåäóþùèì îáðàçîì:qdr + idi = ,p1sr − isi = ,pgr + igi =γ + iω 1 2i+ c si sr + c2 s2r .p24(6.38)Ñ ïîìîùüþ (6.37) ìîæíî âûðàçèòü ψ â òåðìèíàõ M è å¼ ïðîèçâîäíûõ:csrG′ − 2csiG+,ψ=22M 2 (gr − diM)(6.39)11csiMM ′ + dr M 3 + giM 2 ,G ≡ MM ′′ − M ′2 −242(6.40)ãäåè ïîëó÷èòü óðàâíåíèå òðåòüåãî ïîðÿäêà íà M :(G′ − 2csi G)2 − 4GM 2 (diM − gr )2 = 0.(6.41)Ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (6.37), â òîì ÷èñëå è íóëåâûå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
