Диссертация (1097926), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ïðèìåðû265ïîäîáíûõ óíêöèé, èñïîëüçóåìûõ â êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ, ïðåäñòàâëåíûâ ðàáîòàõ [216, 402℄. ñëó÷àå ìíîãîçíà÷íûõ ðåøåíèé ñóùåñòâîâàíèå ïîäõîäÿùåãî ëîêàëüíîãîðåøåíèÿ òàêæå íå ãàðàíòèðóåò ðåçóëüòàòèâíîñòè ïîèñêà ðåøåíèÿ â àíàëèòè÷åñêîì âèäå, îñîáåííî, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå, çàâèñÿùåå îò íåñêîëüêèõïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ.Óïîìÿíóòûå îãðàíè÷åíèÿ ïîäñêàçûâàþò ïóòè ðàçâèòèÿ ìåòîäîâ ïîèñêà÷àñòíûõ ðåøåíèé â àíàëèòè÷åñêîì âèäå, à èìåííî, îáîáùåíèå êëàññà ïðîáíûõóðàâíåíèé (6.5) è ñî÷åòàíèå ðàññìîòðåííûõ ïðîöåäóð ñ ïîèñêîì ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé ðåøåíèÿ èìåþò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä.266ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ äèññåðòàöèè áûëè ðàññìîòðåíû êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè è ìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè è íàéäåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ, ãîäÿùèåñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êàê ñîâðåìåííîãî óñêîðåííîãî ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé, òàêè áîëåå ðàííèõ ñòàäèé ýâîëþöèè Âñåëåííîé.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõìîäåëåé ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè áûëè èñïîëüçîâàíû è ðàçâèòû ìåòîäû ïîèñêàòî÷íûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, à òàêæå ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà ñêàëÿðíîãî ïîëÿè óíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ íåìèíèìàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñãðàâèòàöèåé. Îñíîâíûì ñïîñîáîì îòûñêàíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåëîêàëüíûõíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû ëîêàëèçàöèè äàííûõ ìîäåëåé.Ñîðìóëèðóåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè:1. Èçó÷åíû ãðàâèòàöèîííûå ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìíåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì, ìîòèâèðîâàííûå ïîëåâîé òåîðèåé ñòðóí.Äàííûå ìîäåëè õàðàêòåðèçóþòñÿ íåëîêàëüíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì,âêëþ÷àþùèì â ñåáÿ àíàëèòè÷åñêóþ óíêöèþ îò îïåðàòîðà Äàëàìáåðà,èìåþùóþ ïðîñòûå è äâóêðàòíûå êîðíè.• Äëÿ ìîäåëè f (R) ãðàâèòàöèè, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùåå íåëîêàëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå ñ êâàäðàòè÷íûì èëèëèíåéíûì ïîòåíöèàëîì, ïðåäëîæåí ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèÿ å¼ â ìîäåëü ñ ëîêàëüíûìè ïîëÿìè, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó êîðíåéèñõîäíîé àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè ñ ó÷¼òîì èõ êðàòíîñòè.
Íàéäåíûòî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûìïîëåì è êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì â ìåòðèêàõ ÔËÓ è Áüÿíêè I.•  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîòåíöèàëà ïðåäëîæåí ìåòîä ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ äëÿ íåëîêàëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Òî÷267íûå ðåøåíèÿ íàéäåíû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êóáè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà,ðàññìîòðåíèå êîòîðîãî ìîòèâèðîâàíî ïîëåâîé òåîðèåé ñòðóí, à òàêæå ýêñïîíåíöèàëüíîãî, ëîãàðèìè÷åñêîãî è ñòåïåííîãî ïîòåíöèàëîâ.
Ïîêàçàíî, ÷òî äîáàâëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ k -ýññåíöèè ìîæíîïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå âñåì óðàâíåíèÿì Ýéíøòåéíà.2. Ïðîâåäåíî ðàññìîòðåíèå ìîäåëè íåëîêàëüíî ìîäèèöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ àíàëèòè÷åñêóþ óíêöèþ îïåðàòîðà Äàëàìáåðà.• Íàéäåíî òî÷íîå êîñìîëîãè÷åñêîå ðåøåíèå, íå òðåáóþùåå äîáàâëåíèÿ ðàäèàöèè.• Ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçóåìûé äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé àíçàö ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü äàííóþ ìîäåëü ñ ìîäåëÿìè f (R) ãðàâèòàöèè,ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü â äàííîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â f (R) ãðàâèòàöèè, â ÷àñòíîñòè, èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ.3.
àññìîòðåíû ìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, â èñõîäíîå äåéñòâèå êîòîðûõ âêëþ÷åíà óíêöèÿ îò îáðàòíîãî äàëàìáåðòèàíà, äåéñòâóþùàÿ íàñêàëÿð êðèâèçíû: f (−1 R). Äàííàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíîé,òàêèì îáðàçîì, óêàçàííàÿ ìîäèèêàöèÿ ãðàâèòàöèè íå ïðåäïîëàãàåò ââåäåíèÿ íîâîãî ðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà.• Äëÿ ëîêàëüíîé ñêàëÿðíîòåíçîðíîé îðìóëèðîâêè ýòîé ìîäåëè,âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ èäåàëüíóþ æèäêîñòü è êîñìîëîãè÷åñêóþ êîíñòàíòó, ðàçâèò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé âîññòàíàâëèâàòü âõîäÿùóþâ äåéñòâèå óíêöèþ f ïî çàäàííîìó ïîâåäåíèþ ïàðàìåòðà Õàááëà.Äëÿ íàèáîëåå âàæíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé (äå Ñèòòåðà è ñïàðàìåòðîì Õàááëà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè: H = n/t)ïîêàçàíî, ÷òî ïðîñòåéøåé ïîäîáíîé óíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíòà,268ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå êîñìîëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ (äå Ñèòòåðà èñ H = n/t) ïîëó÷åíû â ÿâíîì âèäå.• Íàéäåíû òàêèå óíêöèè f , ÷òî ñóùåñòâóåò è ðåøåíèå ñ ïîñòîÿííûì ïàðàìåòðîì Õàááëà, è ðåøåíèå ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà, îáðàòíîïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè.•  ìîäåëè ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé óíêöèåé f , âêëþ÷àþùåé èäåàëüíóþêîñìîëîãè÷åñêóþ æèäêîñòü è êîñìîëîãè÷åñêóþ êîíñòàíòó, ïîëó÷åíû âñå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà è ïðîàíàëèçèðîâàíà èõ ñòàáèëüíîñòüîòíîñèòåëüíî èçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé â ìåòðèêå ÔËÓ è àíèçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé â ìåòðèêå Áüÿíêè I.
Íàéäåíû äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè.4. Ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ ò¼ìíîé ýíåðãèåé,îïèñûâàåìîé ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, ïðîèñõîæäåíèå êîòîðûõ îáúÿñíÿåòñÿñ ïîìîùüþ ïîëåâîé òåîðèè ñòðóí. àçâèò ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà. Êëþ÷åâàÿ îñîáåííîñòü äàííîãî ìåòîäà ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà òî, ÷òîïàðàìåòð Õàááëà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óíêöèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ÷òîïîçâîëÿåò âîññòàíàâëèâàòü ïîòåíöèàë ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è îïðåäåëÿòü äèíàìèêó ïîëÿ áåç àïðèîðíî çàäàííîãî ïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà êàêóíêöèè âðåìåíè èëè ìàñøòàáíîãî àêòîðà ìåòðèêè Ôðèäìàíà.• Ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà â ìîäåëè ñ àíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì,ìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñ ãðàâèòàöèåé, è ïîëèíîìèàëüíûìïîòåíöèàëîì ïîëó÷åíî òî÷íîå ñòàáèëüíîå ðåøåíèå òèïà êèíêà. àññìîòðåíî îáîáùåíèå ýòîé ìîäåëè, ïîëó÷åííîå äîáàâëåíèåì ò¼ìíîéìàòåðèè.
Íàéäåíû íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ò¼ìíîéìàòåðèè, ïðè êîòîðûõ äëÿ íûíåøíåãî îòíîøåíèÿ ïëîòíîñòåé ýíåðãèè ò¼ìíîé ýíåðãèè è ò¼ìíîé ìàòåðèè ïîëó÷àåòñÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ñîñòîÿíèÿ ò¼ìíîé ýíåðãèè, áëèçêîå ê íàáëþäàåìîìó.269• Äëÿ ìîäåëåé ñ äâóìÿ ïîëÿìè ðàçâèò ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà è ïîêàçàíà åãî ýåêòèâíîñòü ïðè ïîèñêå íîâûõ òî÷íûõ ðåøåíèé, â ÷àñòíîñòè, óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå.• Ïîñòðîåíû êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè, ìîòèâèðîâàííûìè ñòðóííîé òåîðèåé ïîëÿ, è äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, îäíî èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ àíòîìíûì.
 ýòèõ ìîäåëÿõïîëó÷åíû äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà òî÷íûõ ðåøåíèé. Ïðèýòîì íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ ïàðàìåòðó ñîñòîÿíèÿ ò¼ìíîé ýíåðãèè, áîëüøåìó ìèíóñ åäèíèöû, òîãäà êàê äðóãèå ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðó ñîñòîÿíèÿ, ìåíüøåìó ìèíóñ åäèíèöå, ÷òî ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ èçîòðîïíîãî óñëîâèÿýíåðãîäîìèíàíòíîñòè. Ïðîàíàëèçèðîâàíà óñòîé÷èâîñòü ïîëó÷åííûõðåøåíèé.5.
Ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíîé ñâÿçüþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ãðàâèòàöèè:• Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà áûë âïåðâûå èñïîëüçîâàí äëÿ ðåêîíñòðóêöèè êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìñêàëÿðíûì ïîëåì. Ïîëó÷åíû ïîòåíöèàëû ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, êîòîðûåïðèâîäÿò ê ðåøåíèÿì äå Ñèòòåðà, ê àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèÿì äåÑèòòåðà (â òîì ÷èñëå è íåìîíîòîííûì), à òàêæå ðåøåíèÿì ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè. Áîëüøèíñòâîïîëó÷åííûõ ïîòåíöèàëîâ ñîäåðæàò ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû è ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ• Èçó÷åíà äèíàìèêà êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè øåñòîé ñòåïåíè, íàéäåííûìè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà. Âàæíûì ñâîéñòâîì òàêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê íåïîäâèæíûì òî÷êàì.
Íàéäåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè òà270êèõ ðåøåíèé.  ÷àñòíîñòè, íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåøåíèÿñ íåìîíîòîííûì ïàðàìåòðîì Õàááëà, ñòðåìÿùèìñÿ ê íåïîäâèæíîéòî÷êå, ÿâëÿþòñÿ àòòðàêòîðàìè.• Ïîñòðîåíû èíòåãðèðóåìûå êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì.
ßâíî ïîëó÷åíî îáùåå ðåøåíèå äëÿ îäíîé èç òàêèõ ìîäåëåé, à èìåííî, ìîäåëè èíäóöèðîâàííîéãðàâèòàöèè ñî ñòåïåííûì ïîòåíöèàëîì.6. àçâèò ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ àíàëèçà Ïåíëåâå è ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.•  äâóõ íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà ïîëó÷åíû òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ â âèäå ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ Ëîðàíà è íîâûå òî÷íûå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà.•  ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà âïåðâûå ïîëó÷åíî âîëíîâîå ýëëèïòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíèè íàéäåíû óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû äàííîãî óðàâíåíèÿ, íåîáõîäèìûåäëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé.
Òàêæå ðàññìîòðåíî êóáè÷åñêîå êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó è äîêàçàíî îòñóòñòâèå ó ýòîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå ñòîÿ÷èõâîëí.• Ìåòîä ïîèñê ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ îðìàëüíûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà áûë àâòîìàòèçèðîâàí è îáîáùåí íà ìíîãîçíà÷íûå ðåøåíèÿ, ðàçëîæèìûå â ðÿäÏþèç¼.Ïðîâåä¼ííîå èññëåäîâàíèå ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü íîâûå èçè÷åñêè èíòåðåñíûå ðåøåíèÿ â êîñìîëîãèè è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå, à òàêæå ðàçâèòü ìåòîäûïîèñêà ÷àñòíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.271Àâòîð áëàãîäàðèò ñâîèõ êîëëåã è ñîàâòîðîâ Èðèíó ßðîñëàâíó Àðåüåâó, Íèêîëàÿ Âëàäèìèðîâè÷à Áóëàòîâà, Äæîâàííè Âåíòóðè (Giovanni Venturi),Èãîðÿ Ïàâëîâè÷à Âîëîáóåâà, Âèêòîðà Ôåäîðîâè÷à Åäíåðàëà, Éèíã-ëè Äæàíãà(Ying-li Zhang), Ëþäìèëó Âëàäèñëàâîâíó Æóêîâñêóþ, Àëåêñàíäðà Þðüåâè÷àÊàìåíùèêà, Àëåêñåÿ Ñåðãååâè÷à Êîøåëåâà, Ñåðãåÿ Äìèòðèåâè÷à Îäèíöîâà,Åêàòåðèíó Îëåãîâíó Ïîçäååâó, Ìàðèþ Àðêàäüåâíó Ñêóãîðåâó, Ìèõàèëà Íèêîëàåâè÷à Ñìîëÿêîâà, Åëåíó Èâàíîâíó Òèìîøêîâó, Àëåêñåÿ Âëàäèìèðîâè÷àÒîïîðåíñêîãî, Àëåññàíäðî Òðîíêîíè (Alessandro Trononi) è Ýìèëèî Ýëèçàëäå(Emilio Elizalde), âñåõ ñîòðóäíèêîâ îòäåëà òåîðåòè÷åñêîé èçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé ÍÈÈßÔ ÌÓ, ðóêîâîäèìîãî Âèêòîðîì Èâàíîâè÷åì Ñàâðèíûì, çà ïëîäîòâîðíîå ñîòðóäíè÷åñòâî è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.Àâòîð âûðàæàåò îãðîìíóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåé ñåìüå çà ïîääåðæêó èïîìîùü.272Ïðèëîæåíèå ÀÀ.1.
Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé è èñïîëüçóåìûõ ñòàíäàðòíûõîðìóëÏðîñòðàíñòâîâðåìÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ÷åòûð¼õìåðíîå ìíîãîîáðàçèåñ ñèãíàòóðîé (−, +, +, +). Ìåòðè÷åñêèé òåíçîð îáîçíà÷àåòñÿ êàê gµν , g ≡det(gµν ), R ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà. ×åòûð¼õìåðíûå òåíçîðíûå èíäåêñû, êîòîðûå ïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, 3, îáîçíà÷àþòñÿ ãðå÷åñêèìè áóêâàìè α, β ,. . . ,µ, ν è ò.ä..Ñêîðîñòü ñâåòà c, ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà ~ è ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà kBïðèíÿòû ðàâíûìè åäèíèöå.
Íüþòîíîâñêàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ GNîñòàâëåíà ðàçìåðíîé.  ïðèíÿòûõ åäèíèöàõ ðàçìåðíîñòü âñåõ âåëè÷èí ðàâíÿåòñÿ íåêîòîðîé ñòåïåíè ðàçìåðíîñòè äëèíû (ñàíòèìåòðîâ (cm)). Òàê, ïîñêîëüêó [x] = cm, à c = 1, òî ðàçìåðíîñòü âðåìåíè [t] = [x/c] = cm. àçìåðíîñòü ìàññû [m] = 1/cm. àçìåðíîñòü ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé ðàâíà[G] = 1/[m]2 = cm2 .  èñïîëüçóåìûõ åäèíèöàõ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿGN ñâÿçàíà ñ ìàññîé Ïëàíêà ïî îðìóëå: 8πGN = 1/MP2 .
 îðìóëàõ èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå MP èëè îáåçðàçìåðåííûå âåëè÷èíû, îáîçíà÷åííûå êàê mpè mP .Çíàêè òåíçîðà êðèâèçíû è òåíçîðà è÷÷è âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òî [104℄ARBCD=∂ΓA∂ΓAEAEBDBC−+ ΓAEC ΓBD − ΓED ΓBC ,CD∂x∂xCRAB = g CD RCADB = RACB, R = g AB RAB .Ïî îäèíàêîâîìó âåðõíåìó è íèæíåìó èíäåêñó ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå.Ïðèâåä¼ì çíà÷åíèÿ ïëàíêîâñêèõ âåëè÷èí (äëèíû, ïðîìåæóòêà âðåìåíè273è ìàññû) â ñòàíäàðòíîé ñèñòåìå åäèíèö:r8πGN ~lP == 1.616 × 10−33cm,3clP= 5.391 × 10−44c,tP =scMP =~c= 2.177 × 10−5g.8πGN(À.1)(À.2)(À.3)Òî÷êà íàä ëþáîé âåëè÷èíîé îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî êîñìè÷åñêîìó âðåìåíèt = x0 îò ýòîé âåëè÷èíû.
Ñèìâîë ∂µ îçíà÷àåò ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî xµ .Äëÿ îïåðàòîðà Äàëàìáåðà, äåéñòâóþùåãî íà ñêàëÿð, ìû èñïîëüçóåì îðìóëó√1 ≡ ∇ µ ∇ µ = ∇ µ ∂µ = √ ∂µ−g g µν ∂ν ,−gµãäå ∇ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ.Ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêàÿ ìåòðèêà ÔËÓ îïðåäåëÿåò èíòåðâàëds2 = − dt2 + a2 (t) dx21 + dx22 + dx23 ,ãäå a(t) åñòü ìàñøòàáíûé àêòîð èçîòðîïíîé, îäíîðîäíîé è ïðîñòðàíñòâåííîïëîñêîé âñåëåííîé. Åé ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå êîýèöèåíòû ñâÿçíîñòè, òåíçîð è÷÷è è ñêàëÿð êðèâèçíû, à òàêæå òåíçîð Ýéíøòåéíà Gµν :Γ0µν = Hgµν , Γµν0 = Hδνµ ,2−3(Ḣ + H )0 , R = 6Ḣ + 12H 2 ,Rµν = 0a2 (t)δji (Ḣ + 3H 2)23H01,Gµν ≡ Rµν − Rgµν = 2i220− a (t)δ (2Ḣ + 3H )jãäå ïàðàìåòð Õàááëà ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé îò ìàñøòàáíîãîàêòîðà: H = ȧ/a. ýòîé ìåòðèêå îïåðàòîð Äàëàìáåðà, äåéñòâóþùèé ñêàëÿðíîå ïîëå, çàâèñÿùåå òîëüêî îò âðåìåíè, èìååò âèä: = − ∂t2 − 3H∂t.274À.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
