Диссертация (1097926), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Ïðè r = 0 óðàâíåíèå (6.70) ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìóóðàâíåíèþ (6.35), ïîýòîìó â äàííîì ðàçäåëå ìû ñ÷èòàåì r 6= 0.åøåíèÿ óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè â âèäå áåãóùèõâîëíqA(x, t) = M(ξ)ei(ϕ(ξ) − ωt) ,ξ = x − ct,c ∈ R,ω∈R(6.71)250àêòèâíî èçó÷àþòñÿ [383, 395, 448, 451, 452℄.Ïîäñòàâëÿÿ (6.71) â (6.70) è óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà4M 2 /A, ìû ïîëó÷èì2pM M − pM + 4ipψMM + 2 2ω − ic − 2iγ +2′+ 2cψ − 2pψ + 2ipψ M 2 + 4qM 3 + 4rM 4 = 0,′2′′ãäå ψ ≡ ϕ′ ≡dϕdξ ,M′ ≡dMdξ .′(6.72)Óðàâíåíèå (6.72) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé äâóõ óðàâíåíèé, ïîñêîëüêó è äåéñòâèòåëüíàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè óðàâíåíèÿìè. Äåëÿ (6.72) íà p è ðàçäåëÿÿ ìíèìóþ èäåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòè, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:2MM ′′ − M ′ 2 − 4M 2 ψ̃ 2 − 2c̃MM ′ + 4giM 2 + 4dr M 3 + 4ur M 4 = 0,M ψ̃ ′ + ψ̃ (M ′ − c̃M) − gr M + diM 2 + uiM 3 = 0,(6.73)ãäå íîâûå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåìåííûå îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:rur + iui = ,pqdr + idi = ,p1sr − isi = ,p1igr + igi = (γ + iω)(sr − isi ) + c2 si sr + c2 s2r24(6.74)(6.75)èψ̃ ≡ ψ −csr,2c̃ ≡ csi .(6.76)Ñèñòåìà (6.73) âêëþ÷àåò ñåìü äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ: gr , gi , dr , di , ur , uiè c̃.

Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷àÿ (6.73) èç (6.72), ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî óíêöèèM(ξ) è ψ(ξ) ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè.Ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (6.73) ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ýòîé ñèñòåìû â ýêâèâàëåíòíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ M . Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.73)êàêψ̃ 2 =G,M2(6.77)251ãäå11c̃G ≡ MM ′′ − M ′2 − MM ′ + gi M 2 + dr M 3 + ur M 4 .242(6.78)Èç (6.77) òîãäà ïîëó÷èìψ̃ ′ ψ̃ =G′ M − 2GM ′.2M 3(6.79)Óìíîæàÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.73) íà ψ̃ è ïîäñòàâëÿÿ â íåãî (6.77)è (6.79), ìû âûðàæàåì ψ̃ â òåðìèíàõ M è åãî ïðîèçâîäíûõ:ψ̃ =G′ − 2c̃G.2M 2 (gr − diM − uiM 2 )(6.80)Ïîëó÷àåìîå â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå äëÿ M ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà è èìååò ñëåäóþùèé âèä:(G′ − 2c̃G)2 + 4GM 2 gr − diM − ui M 22= 0.(6.81)6.6.2.

Ïîñòðîåíèå ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ ËîðàíàÌû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé (p/r) 6∈ R, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþui 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (6.81) íå èíòåãðèðóåìà [451℄ è å¼ îáùåå ðåøåíèå, êîòîðîå äîëæíî çàâèñåòü îò òð¼õ ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ,íå èçâåñòíî.  ïîìîùüþ àíàëèçà Ïåíëåâå áûëî ïîêàçàíî [451℄, ÷òî îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.73) ìîãóò âêëþ÷àòü òîëüêî îäèí ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Ñèñòåìà (6.73) àâòîíîìíà, òàêèì îáðàçîì, ýòî ïàðàìåòð ñäâèãà ξ0 :M = f (ξ −ξ0). Ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé áûëèíàéäåíû â ðàáîòàõ [383, 395, 451, 452℄.

Âñå èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿýëåìåíòàðíûìè óíêöèÿìè: ðàöèîíàëüíûìè èëè ãèïåðáîëè÷åñêèìè [395℄.Ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ èçâåñòíû òîëüêî ïðè ui = 0 [453℄. Öåëüþ íàøåãî èññëåäîâàíèÿ [219℄ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñèñòåìû (6.73) ïðè ui 6= 0. Ìû ïîëó÷èì óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû ñèñòåìû, íåîáõîäèìûå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé è ïîëó÷èì ÷àñòíîå ýëëèïòè÷åñêîå ðåøåíèå â ÿâíîì âèäå.252Ñèñòåìà (6.73) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé:ψ̃ → − ψ̃,gr → − gr ,di → − di ,ui → − ui ,(6.82)ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì áåç ïîòåðè îáùíîñòè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ui > 0.Êðîìå òîãî, èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ:M → λM,dr →dr,λdi →di,λur →ur,λ2ui →ui,λ2(6.83)ìû ìîæåò ïåðåéòè ê ñèñòåìå ñ ui = 1.Ïîñòðîèì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.73) â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â äîñòàòî÷íî íåáîëüøîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè ξ0 óíêöèèψ̃ è M ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè êàê íåêîòîðàÿ ñòåïåíü ξ − ξ0 :ψ̃ = A(ξ − ξ0 )α + . . .M = B(ξ − ξ0)β + . . . ,è(6.84)ãäå α è β îòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà è, êîíå÷íî, A 6= 0 è B 6= 0. Ïîäñòàâëÿÿ (6.84) â (6.73), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äâà èëè áîëåå ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿîäèíàêîâî è íàèáîëåå áûñòðî ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè ξ → ξ0 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà α = −1 è β = −1. Ñèñòåìà B 2 3 − 4A2 + 4ur B 2 = 0, 2A − B 2 = 0(6.85)èìååò ÷åòûðå íåíóëåâûõ ðåøåíèÿ:rq1q 2A1 = u r +4ur + 3,B1 = 2ur + 4u2r + 3,(6.86)2rq1q 2A2 = u r +4ur + 3,B2 = − 2ur + 4u2r + 3,(6.87)2rqq12A3 = u r −4ur + 3,B3 = 2ur − 4u2r + 3,(6.88)2rq1q 2A4 = u r −4ur + 3,B4 = − 2ur − 4u2r + 3.(6.89)2Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (6.73) èìååò ÷åòûðå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.Îáîçíà÷èì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì (k = 1..4):ψ̃k =Ak+ ak,0 + ak,1 ξ + . .

. ,ξMk =Bk+ bk,0 + bk,1 ξ + . . .ξ(6.90)2536.6.3. Îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû ñèñòåìûÈçó÷èì âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñèñòåìû(6.73). ×òîáû ñäåëàòü ýòî, ìû ìîäèèöèðóåì ìåòîä Õîíà [209℄, îñíîâàííûé íàòåîðåìå âû÷åòîâ (îñíîâíûå ñâîéñòâà ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé äàíû â Ïðèëîæåíèè A2). Ñäåëàòü ìåòîä Õîíà áîëåå ýåêòèâíûì ïîçâîëÿþò äâå ïîïðàâêè.Âî-ïåðâûõ, ìû èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèÿ ðÿäà Ëîðàíà íå òîëüêî óíêöèèM(ξ), íî òàêæå è óíêöèè ψ(ξ), êîòîðàÿ òîæå äîëæíà áûòü ýëëèïòè÷åñêîéóíêöèåé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ψ̃ êîíñòàíòà, òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6.73) ñëåäóåò, ÷òî M(ξ) íå ìîæåò áûòü íåòðèâèàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîéóíêöèåé. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ (6.80), ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó ÷òî ëþáîé íåòðèâèàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèè M(ξ) ñîîòâåòñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ ψ̃(ξ). Âî-âòîðûõ, ìû äîêàçûâàåì è èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþëåììó.Ëåììà 1.

Ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ íå ìîæåò èìåòü äâóõ ïîëþñîâ ñ òåìæå ðÿäîì Ëîðàíà â óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèè ̺(ξ) èìååò äâà ïîëþñà â òî÷êàõ ξ0 è ξ1 ,êîòîðûå ïðèíàäëåæàò óíäàìåíòàëüíîìó ïàðàëëåëîãðàììó ïåðèîäîâ.

Ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû Ëîðàíà îäèíàêîâû è èìåþò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R. Òîãäàóíêöèÿ υ(ξ) = ̺(ξ − ξ0 ) − ̺(ξ − ξ1 ) áóäåò òîæå ýëëèïòè÷åñêîé, òàê êàê îíàÿâëÿåòñÿ ðàçíèöåé äâóõ ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé ñ îäèíàêîâûìè ïåðèîäàìè. òî æå âðåìÿ äëÿ âñåõ ξ òàêèõ, ÷òî |ξ| < R èìååì υ(ξ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî,υ(ξ) ≡ 0 è ̺(ξ − ξ0 ) ≡ ̺(ξ − ξ1 ). Îòñþäà ñëåäóåò âûâîä, ÷òî ξ1 − ξ0 ÿâëÿåòñÿïåðèîäîì óíêöèè ̺(ξ).

Ýòî ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ î òîì,÷òî îáå òî÷êè ξ0 è ξ1 ïðèíàäëåæàò óíäàìåíòàëüíîìó ïàðàëëåëîãðàììóïåðèîäîâ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèåËåììû.àññìîòðèì óíäàìåíòàëüíûé ïàðàëëåëîãðàìì ïåðèîäîâ óíêöèè M(ξ)è îïðåäåëèì ìíîæåñòâî å¼ ïîëþñîâ â ýòîé îáëàñòè. Ïóñòü óíêöèÿ M èìååòïîëþñ òèïà M1 , ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå âû÷åòîâ, îíà äîëæíà èìåòü254ïîëþñ òèïà M2 (íå ïîëþñ òèïà M4 , ïîòîìó ÷òî ur äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð). Ïîýòîìó óíêöèÿ ψ̃ èìååò ïîëþñà ñ ðÿäàìè Ëîðàíà ψ̃1 è ψ̃2 .

ßâëÿÿñüýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé, ψ̃ äîëæíà òàêæå èìåòü ïîëþñ ψ̃3 èëè ïîëþñ ψ̃4 . Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ M(ξ) äîëæíà èìåòü ïîëþñ òèïà M3 è, ñëåäîâàòåëüíî,ïîëþñ òèïà M4 . Òàêèì îáðàçîì óíêöèÿ M(ξ) èìååò, ïî ìåíüøåé ìåðå, ÷åòûðåðàçëè÷íûõ ïîëþñà â óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ. ÈñïîëüçóÿËåììó 1, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ M(ξ) íå ìîæåò èìåòü îäèíàêîâûå ïîëþñà â óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ. Ïîýòîìó óíêöèÿ M(ξ)èìååò ðîâíî ÷åòûðå ïîëþñà â ñâî¼ì óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ.  ýòîì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû âû÷åòîâ äëÿ ψ̃ ìû ïîëó÷àåì(6.91)ur = 0.Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè íåèìååò ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå áåãóùèõ âîëí, åñëè ur 6= 0.  ñëó÷àå ur =0 âîçìîæíûå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äîëæíû èìåòü ÷åòûðå ïðîñòûõ ïîëþñàâ óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò áûòüïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì âèäå [436℄:M(ξ − ξ0 ) = C +R4Xk=1Bk ζ(ξ − ξk ),(6.92)ãäå óíêöèÿ ζ(ξ) = − ℘(ξ)dξ .

Êîíñòàíòû Bk çàäàíû âûðàæåíèÿìè (6.86)(6.89).×òîáû íàéòè ýëëèïòè÷åñêóþ óíêöèþ M , íóæíî îïðåäåëèòü ïåðèîäû ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèè Âåéåðøòðàññà ℘(ξ) è çíà÷åíèÿ êîíñòàíò C è ξk .×òîáû ïîëó÷èòü îãðàíè÷åíèÿ íà äðóãèå ïàðàìåòðû, ìû ïðèìåíèì òåîðåìó âû÷åòîâ ê óíêöèÿì ψ̃ 2 , ψ̃ 3 è ò.ä.. Òåîðåìà âû÷åòîâ äëÿ óíêöèè ψ̃ 2 äà¼òóðàâíåíèå:4XAk ak,0 = 0.(6.93)k=1Ïðè ur = 0 ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ak,0 :√ √√344a1,0 =6c̃ − 27di − 15 3dr ,48(6.94)255√ √√344a2,0 =6c̃ + 27di + 15 3dr ,48√ √√3446c̃ + ia3,0 = −27di − 15 3dr ,48√ √√344a4,0 = −6c̃ − i27di − 15 3dr .48(6.95)(6.96)(6.97)Ïîäñòàâëÿÿ Ak è ak,0 â (6.93), ìû ïîëó÷àåì4X3Ak ak,0 = c̃ = 0.4k=1(6.98)Äëÿ óíêöèè ψ̃ 3 òåîðåìà âû÷åòîâ äà¼ò:4Xk=1Ak Ak ak,1 + a2k,0 = 0.(6.99)Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ak,1 â (6.99) è èñïîëüçóÿ c̃ = 0, ìû ïîëó÷àåì óñëîâèådi 2 + 27dr 2 = 0.(6.100)Ïàðàìåòðû dr è di äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ñëåäîâàòåëüíî, dr = 0 è di =0.

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî q = 0 è êóáè÷åñêèé ÷ëåí îòñóòñòâóåò âóðàâíåíèè (6.70).Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè, ÷òîc̃ = 0,dr = 0èdi = 0.(6.101)àññìîòðåâ ψ̃ 4 , ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèågi gr = 0.(6.102)Ìû ïðèìåíÿëè òåîðåìû âû÷åòîâ è äëÿ èíûõ êîìáèíàöèé óíêöèé ψ̃ , Mè èõ ïðîèçâîäíûõ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ψ̃ 5 , ψ̃ 6 , ψ̃ ψ̃ ′ , ψ̃M , MM ′ , M 2 , . . . , M 6 , íîýòî íå äàëî íîâûõ îãðàíè÷åíèé íà êîýèöèåíòû.2566.6.4. Ïîèñê ýëëèïòè÷åñêîãî ðåøåíèÿÈñïîëüçóÿ (6.91) è (6.101), ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó (6.73) â ñëåäóþùåì âèäå: 2MM ′′ − M ′ 2 − 4M 2 ψ̃ 2 + 4gi M 2 = 0,(6.103) ψ̃ ′ M + ψ̃M ′ − g M + M 3 = 0.rÓìíîæàÿ ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.103) íà M 2 è M ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íà J = M 2 è ψ̃3 2 JJ ′′ − J ′ − 4J 2 ψ̃ 2 + 4gi J 2 = 0,41 ψ̃ ′ J + ψ̃J ′ − g J + J 2 = 0.r2(6.104)Êàê ëåãêî âèäåòü, ñèñòåìà (6.104) îáëàåò òîëüêî äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ðåøåíèÿìè â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.×òîáû íàéòè ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.103), ìû èñïîëüçóåì ìåòîä ÊîíòàÌþçåòòû.

Ôóíêöèÿ ψ̃(ξ) èìååò òîëüêî äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ ââèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, òîãäà êàê óíêöèÿ M(ξ) äîëæíà èìåòü ÷åòûðå ðàçëè÷íûõðàçëîæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ëåã÷å íàéòè ñíà÷àëà äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ψ̃(ξ), ÷åì äëÿ M(ξ).Óðàâíåíèå (6.5) ñ m = 1 íå èìååò ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ïóñòü ψ̃(ξ)óäîâëåòâîðÿåò (6.5) ñ m = 2:′2ψ̃ + h̃2,1ψ̃ + h̃1,1ψ̃ + h̃0,1 ψ̃ ′ +2+ h̃4,0 ψ̃ 4 + h̃3,0 ψ̃ 3 + h̃2,0 ψ̃ 2 + h̃1,0ψ̃ + h̃0,0 = 0.(6.105)Ïîäñòàâèâ â (6.105) ðÿä Ëîðàíà óíêöèè ψ̃ , êîòîðûé íà÷èíàåòñÿ ñ A1 (áîëåå òî÷íî, ìû èñïîëüçóåì ïåðâûå äåñÿòü êîýèöèåíòîâ), ïîëó÷èì ñëåäóþùååðåøåíèå h̃k,j äëÿ gr 6= 0 è gi = 0:h̃4,0gr24= − , h̃0,0 = − , h̃3,0 = h̃2,0 = h̃1,0 = h̃0,1 = h̃1,1 = h̃2,1 = 0,39(6.106)íåñêîëüêî ðåøåíèé äëÿ gi = 0 è gr = 0 è îòñóòñòâèå ðåøåíèé ïðè gi 6= 0.257Ïîäñòàíîâêà óíêöèé√√433ψ̆ =, M̆ = ±2ξξè√3ψ̂ = −,2ξM̂ = ± i√43ξ(6.107)â (6.103) ñ gr = 0 è gi = 0 äîêàçûâàåò, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè.

Êîýèöèåíòû ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, íå ñîäåðæàòïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ, ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè îäíîçíà÷íûìè ðåøåíèÿìè â äàííîì ñëó÷àå è ñèñòåìà (6.103) íå èìååòýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ïðè gr = 0 è gi = 0.åøåíèå (6.106) äà¼ò ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ óíêöèè ψ̃(ξ)4 4 gr2ψ̃ = ψ̃ + .39′2(6.108)Ïîëèíîì â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (6.108) èìååò ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ,ñëåäîâàòåëüíî, ψ̃ íåâûðîæäåííàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ [280, 436℄.Êîíå÷íî, ìû åù¼ íå äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé.Äëÿ ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà ìû äîëæíû íàéòè óíêöèþ M(ξ) è ïðîâåðèòü,÷òî ýòà óíêöèÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.41).Ôóíêöèÿ M(ξ) â ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ èìååò ÷åòûðå ðàçëè÷íûõðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ëîðàíà, òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû âûáðàòü ïàðàìåòð mòàêîé, ÷òî ðåøåíèÿ (6.5) èìåþò ÷åòûðå ïîëþñà â èõ óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ.

Характеристики

Список файлов диссертации