Диссертация (1097926), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Òî, ÷òî ïîëó÷åííûå â âèäå îðìàëüíûõ ïñè-ðÿäîâ ðåøåíèÿ îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà èìåþò íåíóëåâóþ îáëàñòü ñõîäèìîñòè, äîêàçàíî â [434℄.àññìîòðèì ñõîäèìîñòü ïîëó÷åííûõ îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà â ñëó÷àåC = −16/5 è λ = 1/9. Àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà ñõîäèìîñòü ðÿäîâ226è ïðè èíûõ çíà÷åíèÿõ C è λ.Ñèñòåìà (6.9) èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:625181981258700683c̃1 =, b2 = −,c̃1 = −, b2 = −.128663552239361364926464Ìû ïîëó÷àåì ÷åòûðå òèïà óíêöèè y :√√22051819 2−2y = − 15+ 5322 t−1 − 2304+ 1158t13824 t − 663552 t +√√741719 2542+ 1528823808 + 12 a2 t3 + b4 t4 + .
. . ;√(6.10)√22051819 2y = − 15t−2 − 5322 t−1 − 2304− 115t − 663552t −813824√√741719 25i 4 2− 1528823808 + 12 a2 t3 + b4t4 + . . . ;√(6.11)√4862 −16933548628700683 2y = − 15t−2 + 5i5984t − 430848− 37745it − 1364926464t −8483411456q√ √√1148020763i 13 3745 2134−− 12 a2 − 374 t3 + b4t4 + . . . ;3332429743915008y =−√√5i 4862 −137745i 4862693358700683 2t−+5984430848483411456 t − 1364926464 tq√ √√1148020763 13 3745i 2134− 374 t3 + b4t4 + . . . .3332429743915008 + 12 a2−15 −28t−−(6.12)(6.13)Êàê èçâåñòíî, îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà Ëîðàíà íåêîòîðîå êîëüöî. Íàéä¼ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðÿäû (6.10) (6.13) è ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû äëÿóíêöèè x ñõîäÿòñÿ ïðè 0 < |t| 6 (1 − ε), ãäå ε - ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå∞P1÷èñëî.
Ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè S =tn = 1−tÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîén=0ïðè |t| 6 1 − ε, ïîýòîìó ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ â çàäàííîì êîëüöå, åñëè ∃N òàêîå,÷òî ∀n > N |an | 6 M è |bn | 6 M (M äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî).Äîïóñòèì |an | 6 M è |bn | 6 M äëÿ âñåõ −1 < n < k , òîãäà èç (6.8)ïîëó÷àåì:|ak | 62M(k + 1) + |λ| + 2|c1 |M,|k 2 − 4||bk | 621Mk + 26M + 5M.5|k 2 − k − 12|Êàê ëåãêî âèäåòü, ñóùåñòâóåò òàêîå N , ÷òî, åñëè |an | 6 M è |bn| 6 Mäëÿ −1 6 n 6 N , òî |an | 6 M è |bn | 6 M äëÿ −1 6 n < ∞. Íàïðèìåð, äëÿ227M = 1, ïðè ëþáîì âîçìîæíîì çíà÷åíèè c1 , èìååì N = 8.
Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî, åñëè |a2 | 6 1 è |b4 | 6 1, òî |an | 6 1 è |bn | 6 1 äëÿ −1 6 n 6 8, à,ñëåäîâàòåëüíî, è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. Òàêèì îáðàçîì, ðÿäû Ëîðàíà ñõîäÿòñÿâ êîëüöå 0 < |t| 6 1 − ε.Òàêèì îáðàçîì, àíàëèç Ïåíëåâå ïîçâîëÿåò íå òîëüêî íàéòè èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, íî òàêæå ïîñòðîèòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ äàæåâ íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ.Äëÿ îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà (6.7) ñ C = −16/5 èëè C =−4/3, µ = 0, λ2 = 1 è ïðîèçâîëüíûì λ1 ïîëó÷åíû òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà [213℄.
Ïðè îïðåäåë¼ííûõ çíà÷åíèÿõ äâóõ ïàðàìåòðîâäàííûå ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò ñ èçâåñòíûìè òî÷íûìè ðåøåíèÿìè. Äàííûå ðÿäûèìåþò íåíóëåâóþ îáëàñòü ñõîäèìîñòè. Ñ ïîìîùüþ òåñòà Ïåíëåâå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íåèíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ââèäå òð¼õïàðàìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ëîðàíà òîëüêî ïðè óêàçàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà C . Èìåííî â ýòèõ ñëó÷àÿõ íàèáîëåå âûñîêà âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿòî÷íûõ òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6.14), òàê êàê îòñóòñòâóþòïðåïÿòñòâèÿ èõ ñóùåñòâîâàíèþ â âèäå îäíîçíà÷íûõ óíêöèé.  ñëåäóþùåìðàçäåëå áóäóò ïðåäñòàâëåíû íîâûå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ, íàéäåííûåâ íàøåé ðàáîòå [214℄ (ñì.
òàêæå [218, 237℄). Îòìåòèì, ÷òî âïîñëåäñòâèè áûëîóñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ðåøåíèÿìèäàííîé ñèñòåìû, çàäàâàåìûìè ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà [211℄.6.3.4. Ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêàËþáàÿ óíêöèÿ y , ðåøåíèå ñèñòåìû (6.7), óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìóäèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà:ytttt = (2C − 8)ytty − (4λ1 + λ2 )ytt + 2(C + 1)yt2 +20C 3+y + (4Cλ1 − 6λ2 )y 2 − 4λ1 λ2 y − 4H̃.3(6.14)228Îòìåòèì, ÷òî ýíåðãèÿ ñèñòåìû H̃ íå ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, à óíêöèÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ: y0 , y0t , y0tt è y0ttt .
Ôîðìà äàííîé óíêöèè çàâèñèò îò µ:H̃ =2 (λ2 y0t + 2Cy0y0t − y0ttt )2 + µy0t+ y02 C 3 λ1 + 2y0− y0 +Cy02 − λ2 y0 − y0tt +.2322(Cy02 − λ2 y0 − y0tt )Óñëîâèåì êîððåêòíîñòè äàííîé îðìóëû ÿâëÿåòñÿx0 = Cy02 − λ2 y0 − y0tt 6= 0.Ïðè x0 = 0, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî äëÿ µ = 0, íåò âîçìîæíîñòè âûðàçèòü x0t÷åðåç y0 , y0t , y0tt è y0ttt. Òàêèì îáðàçîì, H̃ íå ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé íà÷àëüíûõäàííûõ. Åñëè y0ttt = 2Cy0y0t − λ2 y0t, òî óðàâíåíèå (6.14) ñ ïðîèçâîëüíûì H̃ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìå (6.7) ñ µ = 0, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ (6.14)íå óäîâëåòâîðÿþò èñõîäíîé ñèñòåìå (6.7).6.3.5.
Íàõîæäåíèå ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà â ñëó÷àåïðîèçâîëüíîãî µÄëÿ ïðîâåäåíèÿ òåñòà Ïåíëåâå â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî µ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå (6.14) âìåñòî èñõîäíîé ñèñòåìû (6.7). Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, îïèñàííûé â [213℄, ìû ïîëó÷èëè [214℄îäíîçíà÷íûå ëîêàëüíûå òð¼õïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.14) è ïðèC = − 16/5, è ïðè C = − 4/3. Çíà÷åíèÿ äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ïðîèçâîëüíû. ñëó÷àå C = − 4/3 èìååì11 29 21317 255y = − 3 2 + b−1 + b−1 + λ1 − λ2 +b−1 + λ1 − λ2 b−1t + b2t2 −tt 242463455 2131 2 33 2 9359 455 2131−λ1 b−1 +λ1 + λ2 +b−1 + b2 − λ2 b−1 −λ1 λ2 b2−1t3 + . .
. .12904025921660Ïàðàìåòð b−1 ïðèíèìàåò îäíî èç ñëåäóþùèõ ÷åòûð¼õ çíà÷åíèé:sp7(1216λ21 − 1824λ1λ2 + 783λ22 − 140λ1 + 105λ2b−1 = ±385229èëèb−1s p− 7(1216λ21 − 1824λ1λ2 + 783λ22) − 140λ1 + 105λ2=±.385Ïàðàìåòðû b2 è b8 , ÿâëÿþùèåñÿ êîýèöèåíòàìè ïðè t2 è t8 ñîîòâåòñòâåííî,ïðîèçâîëüíû. Ýíåðãèÿ H̃ âëèÿåò íà çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ, íà÷èíàÿ ñ b4 . ñëó÷àå C = − 16/5 ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:15562 25632 225λ1 +b̃ −λ2 b̃−1t +y = − −2 + b̃−1 − λ2 + b̃−1 +8t324512225 −1 19229 21 2 29 2102272 4λ1 b̃−1 −λ2 − λ2 b̃−1 +b̃−1 t2 + b̃3 t3 + .
. . ,+151284810125ñb̃−1r√q± 3 13090=525λ2 − 1680λ1 + 4 35(2048λ21 − 1280λ1λ2 + 387λ22)41888èëèb̃−1r√q± 3 13090=525λ2 − 1680λ1 − 4 35(2048λ21 − 1280λ1λ2 + 387λ22).41888Ïàðàìåòðû b̃3 è b̃8 ïðîèçâîëüíû. Ýíåðãèÿ H̃ âëèÿåò íà çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ, íà÷èíàÿ ñ b̃4 .Ìû íàøëè ëîêàëüíûå îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ. Êîíå÷íî, ñóùåñòâîâàíèå ïîäîáíûõ ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåìñóùåñòâîâàíèÿ ãëîáàëüíûõ îäíîçíà÷íûõ ðåøåíèé.
Ìû ìîæåì òîëüêî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ãëîáàëüíûå îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ, çàâèñÿùèå îò òð¼õ ïàðàìåòðîâ,ñóùåñòâóþò è ïîïûòàòüñÿ èõ íàéòè. Ïîäîáíîå èññëåäîâàíèå ïîçâîëèëî íàéòèíîâûå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ â âèäå ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé.2306.4. åøåíèÿ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà â âèäåýëëèïòè÷åñêèõ è âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõóíêöèé6.4.1. Íîâûå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå òî÷íûå ðåøåíèÿ â äâóõíåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñàÎáùèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà èçâåñòíû òîëüêî â èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ [389, 390℄, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ íå òîëüêî ÷åòûð¼õ-, íî äàæå èòð¼õïàðàìåòðè÷åñêèå òî÷íûå ðåøåíèÿ íå áûëè íàéäåíû.×òîáû íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.14), ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òîy óäîâëåòâîðÿåò áîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿâ âèäå ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé Âåéåðøòðàññà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (6.3).
Å.È. Òèìîøêîâà [384℄ îáîáùèëà óðàâíåíèå (6.3) è ïðåäëîæèëàèñêàòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (6.4). Ñ ïîìîùüþ äàííîãî óðàâíåíèÿ áûëè íàéäåíû íîâûå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà ðåøåíèé îáîáù¼ííîé ñèñòåìû Õåíîíà-Õåéëåñà ïðè C = −4/3 è C = −16/5. Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäÒèìîøêîâîé ïîçâîëÿåò îäíîâðåìåííî èñêàòü è îäíîçíà÷íûå, è ìíîãîçíà÷íûåðåøåíèÿ. Íîâûå ðåøåíèÿ îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà (ò.å.
ðåøåíèÿñ A5/2 6= 0 èëè A3/2 6= 0) áûëè ïîëó÷åíû [384℄ òîëüêî ïðè A1/2 = 0 è A0 = 0.Äàííûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà,ïîñêîëüêó ïîäñòàíîâêà y(t) = ̺(t)2 äà¼ò:̺2t1432=A3̺ + A5/2̺ + A2̺ + A3/2̺ + A1 .4(6.15) ñòàòüå Ôàíà [387℄ áûëî ïðåäëîæåíî èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäåïðîèçâîëüíîãî êâàäðàòè÷íîãî ïîëèíîìà óíêöèè ̺(t), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (6.15):y(t) = P2 ̺(t)2 + P1 ̺(t) + P0 .(6.16)231Ôóíêöèÿ1P1,̺˘(t) = √(6.17)̺(t) −2P2òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (6.15), ñëåäîâàòåëüíî, îäíà óíêöèÿ y(t)ñîîòâåòñòâóåò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîìó ìíîæåñòâó ïàðàìåòðîâ Ai (i = 0..4) è Pk(k = 0..2).
Ïîýòîìó âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü áåç ïîòåðè îáùíîñòè, ÷òî P2 = 1è P1 = 0.  ñòàòüå [214℄ ìû èñïîëüçîâàëè ïîäñòàíîâêóy(t) = ̺(t)2 + P0 ,(6.18)ãäå P0 êîíñòàíòà, è ïðåîáðàçîâàëè (6.14) â̺tttt ̺ = − 4̺ttt ̺t − 3̺2tt + 2(C − 4)̺tt ̺3 + (2P0(C − 4) − 4λ1 − λ2 )̺tt ̺ ++ 2(3C − 2)̺2t ̺2 + (2CP0 − 4λ1 − 8P0 − λ2 )̺2t +10 6C̺ +3+ (2Cλ1 + 10CP0 − 3λ2)̺4 + 2(2λ1CP0 + 5CP02 − λ1 λ2 − 3P0 λ2 )̺2 ++10CP03 + 2λ1 CP02 − 3P02 λ2 − 2λ1λ2 P0 − 2H̃.3(6.19)Åñëè ̺(t) óäîâëåòâîðÿåò (6.15), òî óðàâíåíèå (6.19) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå(3A3 + 4) (2C − 3A3) = 0,A5/2(9C − 21A3 − 16) = 0,96A3CP0 − 240A3A2 − 192A3λ1 − 384A3P0 − 48A3λ2 −− 105A25/2 + 128A2C − 192A2 + 128Cλ1 + 640CP0 − 192λ2 = 0,40A5/2CP0 − 90A3A3/2 − 65A5/2A2 − 80A5/2λ1 −− 160A5/2P0 − 20A5/2λ2 + 56CA3/2 − 64A3/2 = 0,16A2CP0 − 36A3A1 − 21A5/2A3/2 − 8A22 − 32A2λ1 − 64A2P0 − 8λ2A2 ++ 24CA1 + 64λ1CP0 + 160CP02 − 16A1 − 32λ1λ2 − 96P0 λ2 = 0,10A5/2A1 + (5A2 + 8CP0 − 16λ1 − 32P0 − 4λ2)A3/2 = 0(6.20)232è óðàâíåíèþ äëÿ ýíåðãèè H̃ :1 H̃ =96CA1P0 − 48A1A2 + 384Cλ1P02 + 640CP03 − 9A23/2 −3842− 192A1λ1 − 384A1P0 − 48A1λ2 − 384λ1λ2 P0 − 576λ2P0 .(6.21)Âûïèøåì ïîëó÷åííûå â íàøåé ðàáîòå [214℄ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.20).
ÏðèA5/2 = 0 ðåøåíèÿ ñ A3/2 6= 0 âîçìîæíû òîëüêî â èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ ïðèC = −16 èëè C = −1. Íàøà çàäà÷à ïîëó÷èòü íîâûå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿâ íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ, ïîýòîìó ðåøåíèÿ ñ A5/2 = 0 ìû ðàññìàòðèâàòüíå áóäåì.Åñëè A5/2 6= 0, òî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6.20) èìåþò ñëåäóþùèåðåøåíèÿ:C= −43è A3 = −43èëèC= −165èA3 = −32.15Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.20)32A3 = − ,15p√− 1122(1120λ1 + 41888P0 + 65Sq + 6195λ2) F1(λ1 , λ2, P0 ),A5/2 =29373960(3600λ21 − 1120λ1P0 − 2425λ1λ2 − 20944P02 − 6195λ2P0 + 225λ22)240324112A2 = −λ1 − P0 +Sq −λ2,18751309187√q1122A3/2 =F1(λ1, λ2 , P0),587479288320 2 480885153375A1 =λ1 −λ1 P0 +λ1 Sq −λ1 λ2 −2447831872447832447838224685168855 232P0 Sq −λ2 P0 −λ2 Sq +λ,− P02 +5130918739165283916528 28740 23296515 250336425 211516270 3H̃ = −λ1 +λ1 P0 −λ1 Sq +λ λ2 +45774421349692563367576183097684 125882097691512202395+λ1 P02 −λ1 P0 Sq +λ1 λ2 P0 +λ1 λ2 Sq −187195826427975282027762432131879855431038881−λ1 λ22 −P02 Sq +λ2 P02 +λ2 P0 Sq −117182517761309014963133222471205 212990165168661575 3 16 3−λ2P0 −λ22Sq −λ + P ,44760321312444198912187492028416 2 15 0C= −16,52334C= − ,34A3 = − ,3p√330(952λ1 − 616P0 + 13Rq − 945λ2) F2 (λ1, λ2 , P0)A5/2 =,38115(432λ21 + 952λ1P0 − 291λ1λ2 − 308P02 − 945P0λ2 + 27λ22)4131A2 = − λ1 − 4P0 − Rq − λ2 ,336622√q330F2 (λ1, λ2, P0 ),A3/2 =76233394 2 5411235897λ1 + λ1 P0 −λ1 Rq −λ1 λ2 −A1 =36311101644841731349122313005 2P0 Rq −λ2 P0 +λ2 Rq +λ,− P02 −330844271043872 2552922 3 29801 2173605 2778033 2185H̃ = −λ1 −λ1 P0 +λ1 Rq +λ1 λ2 λ2 −λ1 P02 +838532541234788474536663001104959695609299004989P02+λ1P0 Rq +λ1 λ2 P0 −λ1 λ2 Rq −λ1 λ22 +Rq +20328677612522048596288123258653065225909 22733 257699 3+ P03 +λ2 P02 −λ2P0 Rq −λ2 P0 +λ2 Rq +λ,2176542085420826087674536 2ãäåF1 ≡ 39474176000λ31 + 122782105600λ21P0 − 104358400λ21Sq − 680261120λ1P0 Sq −− 17822336000λ21λ2 + 210552545280λ1P02 − 10941145600λ1λ2 P0 −− 41066800λ1λ2 Sq + 8305290000λ1λ22 − 501315584P02Sq − 65797670400λ2P02 ++ 55920480P0Sq + 1611640800λ22P0 + 2884725λ22Sq − 468507375λ32,pSq ≡ ± 35(2048λ21 − 1280λ1λ2 + 387λ22),F2 ≡ 2099776λ31 − 497728λ21P0 − 20008λ21Rq − 4911144λ21λ2 + 948640λ1P02 ++ 19096λ1P0 Rq + 1458072λ1λ2 P0 + 37173λ1λ2 Rq + 3943233λ1λ22 + 6776P02Rq −− 711480λ2P02 − 9240λ2P0 Rq − 615384λ22P0 − 13581λ22Rq − 1006425λ32,qRq ≡ ± 7(1216λ21 − 1824λ1λ2 + 783λ22).Ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.14) ñîäåðæàò äâà ïàðàìåòðà: ýíåðãèþH̃ , êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç P0 , è ïàðàìåòð t0 , ñâÿçàííûé ñ îäíîðîäíîñòüþóðàâíåíèÿ ïî âðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
