Диссертация (1097926), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Îáùåå ðåøåíèåýòîé ìîäåëè õîðîøî èññëåäîâàíî [312℄. ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòåíöèàë áóäåòVind (σ) = 4W0γ 2σ 4ãäå Γ ≡q1+6γ6γ .σσ0qλ6(1+6γ)γ= 4W0γ 2σ 4σσ06λΓ.(5.98) ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè êîíñòàíòû W0 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü σ0 = 1. Îòìåòèì, ÷òî äåéñòâèòåëüíûå Γ âñåãäàïîëîæèòåëüíû, ïîñêîëüêó γ 6= −1/6.Äëÿ ìîäåëè ñ êîíîðìíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ìû ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë2σ2V(σ) = W0 1 −3!3λ√3+σ√= W0ΘΥ3λ ,3−σ√2σ23+σΘ≡ 1−, Υ≡ √.33−σ òàáëèöå 5.1 ìû ïðåäñòàâèëè ïîòåíöèàëû, äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè èíòåãðèðóåìû. Êîíñòàíòû c0 , c1 è c2 ïðîèçâîëüíû, c˜i = 4γ 2ci .
Ïàðàìåòð λ, ÿâëÿþùèéñÿ ïðîèçâîëüíûì, íå ìîæåò ïðèíèìàòüñëåäóþùèõ çíà÷åíèé: λ 6= ±1, λ 6= 0.Ñòàíäàðòíûé ñïîñîá èíòåãðèðîâàíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé âêëþ÷àåò â ñåáÿ âûáîð óíêöèè õîäà Ñ (τ ). Äëÿ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìñêàëÿðíûì ïîëåé è ïîòåíöèàëàìè, ïðåäñòàâëåííûìè â Òàáëèöå 5.1, óíêöèèõîäà Ñ (τ ) ïåðå÷èñëåíû â [172℄.  Òàáëèöå 5.2 ïðåäñòàâëåíû óíêöèè õîäà Ñ ,200Òàáëèöà 5.1. Ñåìåéñòâà ïîòåíöèàëîâ èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé â ìèíèìàëüíî èíåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûõ ìîäåëÿõVindìèíèìàëüíîåèíäóöèðîâàííàÿêîíîðìíîåâçàèìîäåéñòâèåãðàâèòàöèÿâçàèìîäåéñòâèåc̃0 σ 4+6λΓc0 ΘΥ3λ√2 3λϕ1c0 e√2 c0 + c1 e3 c1 e2√3λϕ3ϕ√− 3ϕ+ c2 e√+ c2 e√2 3ϕ4c1 ec0 σe256VVE√2 3λϕc1 e3(λ+1)ϕ+ c2√3ϕ+ c2 e√2 3λ ϕ4c̃0 σ + c̃1 σ4+3Γ+ c̃2 σ4−3Γc̃1 σ 4+6λΓ + c̃2 σ 4+3(λ+1)Γσ 4 c̃1 σ 6Γ + c̃2h i√4+6Γ3Γc̃0 σln σσ0ih46λΓ6 Γλσ c̃1 σ + c̃2 σh32− 23iΘ c0 + c1 Υ + c2 Υhi3(λ+1)3λΘ c1 Υ + c2 Υ 2Θ c1 Υ3 + c2√3c ΘΥ3 ln (Υ)2 0ih33λλΘ c1 Υ + c2 ΥNind è Ñ äëÿ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíîé è íåìèíèìàëüíîé ñâÿçüþ èç Òàáëèöû5.1.
Ôóíêöèè Nind è Ñ âû÷èñëåíû ïî îðìóëå (5.88). ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ìîäåëü èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñî ñòåïåííûì ïîòåíöèàëîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Îáùåå ðåøåíèå äëÿ ýòîé ìîäåëè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç îáùåãî ðåøåíèÿ ìîäåëè ñìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì è ýêñïîíåíöèàëüíûì ïîòåíöèàëîì ñïîìîùüþ êîíîðìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòðèêè è âûâåäåííûõ íàìè îðìóë.Ìû ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå îáùèå ðåøåíèÿ ìîãóò òàêæå áûòü ïîëó÷åíûíåïîñðåäñòâåííîé ëèíåàðèçàöèåé óðàâíåíèé, ñ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî çíàíèÿòðåáóåìîé óíêöèè õîäà â ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè.201Òàáëèöà 5.2.
Ôóíêöèè õîäà â èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõNindÑÑìèíèìàëüíîåèíäóöèðîâàííàÿêîíîðìíîåâçàèìîäåéñòâèåãðàâèòàöèÿ√√√ 6 e− 3λϕc0√√ 3 σ −3λΓ−1γc021√√2γσ3√− 3λϕ√1 σ −3Γλ−12γâçàèìîäåéñòâèåq18−3λ/2c0 (3−σ 2 ) Υq√− 3ϕ√1 σ −3Γ−12γ1e4e5e−2 3ϕã36√9(Γ2 −1)2a3 σ 43ã −6Γσσ0σ 2 a33(Γ2 −1)33−σ 2q3−3λ/23−σ 2 Υq3−3/23−σ 2 Υ√9 (√ 3−σ)a3 ( 3+σ)51−σ232a35.5.
Ìîäåëü èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñî ñòåïåííûìïîòåíöèàëîì5.5.1. Ïîñòðîåíèå ëèíåéíûõ óðàâíåíèéàññìîòðèì ïðèìåð èíòåãðèðóåìîé ìîäåëè, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü,êàêèì îáðàçîì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ìîãóò ïîìî÷ü âíàõîæäåíèè îáùåãî ðåøåíèÿ.  ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òîóíêöèè σ(ϕ) è ϕ(τ ) èçâåñòíû â ÿâíîì âèäå.  ýòîì ðàçäåëå ìû íå áóäåìèñïîëüçîâàòü ýòè óíêöèè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèîííîé ìîäåëè.Óðàâíåíèå Ôðèäìàíà (5.78) ñ U (σ), çàäàííûì (5.93), ìîæíî çàïèñàòü â202ñëåäóþùåì âèäå2 2ddV N2Γln aσ −ln σ=.dτdτ3γσ 2àññìîòðèì ñòåïåííîé ïîòåíöèàëV = 4γ 2c0 σ 2n ,(5.99)(5.100)ãäå n = 2 + 3λΓ, ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåãðèðóåìîé êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëèñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ïîòåíöèàëîì (5.97) ìèíèìàëüíî ñâÿçàííîãî ñêàëÿðíîãîïîëÿ. Òàáëèöå 5.2 ïîêàçàíî, ÷òî ïîäõîäÿùèì âûáîðîì óíêöèè õîäà ÿâëÿåòñÿ√3N = √ σ 1−n.(5.101)γc0Ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå u è v ïî îðìóëàìaσ ≡ eu+v ,σ Γ ≡ eu−v ,(5.102)ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (5.99) â âèäåu̇v̇ =V N2= 1.12γσ 2(5.103)Èç óðàâíåíèÿ (5.102) ïîëó÷àåìσ̇1= (u̇ − v̇) ,σΓṄ1−n=(u̇ − v̇) ,NΓiσ̈1 h2= 2 Γ (ü − v̈) + (u̇ − v̇) ,σΓ(5.104)ȧ1= [(Γ − 1)u̇ + (Γ + 1)v̇] ,a Γ(5.105)àññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (5.82) äëÿ ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè:"ȧ Ṅσ̈ + 3 −a N!#σ̇ 24′σ̇ +(1 + 6γ) + V − V N 2 = 0.σσ(5.106)Ïîäñòàâëÿÿ óíêöèè N è V , ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèåσ̈ȧσ̇ Ṅ σ̇ σ̇ 2 4(n − 2)+3−++= 0.σaσ N σ σ 2Γ2(5.107)203Èñïîëüçóÿ (5.104) è (5.105), óðàâíåíèå (5.107) ìîæíî ïåðåïèñàòü ÷åðåç u è v :Γ (ü − v̈) + (n − 2)(u̇ − v̇)2 + 3Γ u̇2 − v̇ 2 + 4(n − 2) = 0.(5.108)Óðàâíåíèå (5.103) ñâÿçûâàåò ïðîèçâîäíûå óíêöèé u è v .
Óäîáíî ââåñòèíîâóþ ïåðåìåííóþx = u̇⇒v̇ =1.x(5.109)Óðàâíåíèå (5.108) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ èêêàòè:ẋ +n − 2 + 3Γ 2 n − 2 − 3Γx += 0.ΓΓ(5.110)×òîáû ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.110), ìû ñäåëàåì ñòàíäàðòíóþ ïîäñòàíîâêóx=Γẏ,(n − 2 + 3Γ)y(5.111)ÿ + ky = 0 ,(5.112)ïðèâîäÿùåå ê ëèíåéíîìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà:ãäå(n − 2)2k=− 9 ≡ l2 − 9,2Γl = (n − 2)/Γ.Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî âñå ðåøåíèÿ âèäà Cy(t), ãäå C íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà, ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ðåøåíèþ x(t). Äàëåå, óðàâíåíèå (5.112)èìååò ðåøåíèå y(τ ) ≡ 0 ïðè âñåõ k , îäíàêî x íå îïðåäåë¼í äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ.5.5.2.
ßâíûé âèä ðåøåíèéàññìîòðèì ðàçëè÷íûå âèäû ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè. Îòìåòèì, ÷òî ïîäñòàíîâêà (5.111) íå îïðåäåëåíà ïðè n = 2 − 3Γ, îäíàêî â ýòîìñëó÷àå óðàâíåíèå (5.110) ëèíåéíîå, è íå òðåáóåòñÿ ââîäèòü y . Òàêæå áåç ââåäåíèÿ ïåðåìåííîé y óäîáíåå ðàññìîòðåòü ïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.110),à òàêæå îñîáûé ñëó÷àé k = 0 è n = 2 + 3Γ. Ìû ðàññìîòðèì ýòè ñïåöèàëüíûåñëó÷àè îòäåëüíî â êîíöå äàííîãî ðàçäåëà.204Åñëè k = Ω2 > 0, òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.112) èìååò âèä:y = A cos (Ωτ ) + B sin (Ωτ ),(5.113)ãäå A è B ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.
Ìû ïîëó÷àåìx=ΓΩ(B cos(Ωτ ) − A sin(Ωτ )).(n − 2 + 3Γ)(A cos(Ωτ ) + B sin(Ωτ ))(5.114)Åñëè ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû A è B íå ðàâíû íóëþ, òî x çàâèñèò òîëüêî îòîòíîøåíèÿ A/B . Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåìu = u0 +v = v0 −Γln (A cos(Ωτ ) + B sin(Ωτ )) ,n − 2 + 3Γn − 2 + 3Γln (A sin(Ωτ ) − B cos(Ωτ ))).ΓΩ2(5.115)(5.116)Èñïîëüçóÿ (5.102), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì:σ = σ0[A sin(Ωτ ) − B cos(Ωτ )]1/(n−2−3Γ)[A cos(Ωτ ) + B sin(Ωτ )]1/(n−2+3Γ) ,(5.117)a = a0 [A sin(Ωτ ) − B cos(Ωτ )](Γ+1)/(3Γ−n+2)[A cos(Ωτ ) + B sin(Ωτ )](Γ−1)/(3Γ+n−2),(5.118)ãäå σ0 = eu0 −v0Γè a0 = eu0 +v0 /σ0 .Êàê ìû âèäèì, â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî k ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåçòðèãîíîìåòðè÷åñêèå óíêöèè. ñëó÷àå k = − Ω̃2 < 0, Ω̃ =√9 − l2, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.112)ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïîêàçàòåëüíûõ óíêöèé:y = c+ eΩ̃τ + c− e−Ω̃τ ,(5.119)1Ω̃τ−Ω̃τu = u0 +ln c+ e + c− e3+l(5.120)1Ω̃τ−Ω̃τv = v0 +ln c+ e − c− e,3−l(5.121)÷òî ïðèâîäèò êè205ãäå c+ è c− ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Åñëè c+ = 0 èëè c− = 0, òî x ÿâëÿåòñÿêîíñòàíòîé.
àññìîòðèì ðåøåíèÿ ñ c+ c− 6= 0.Îáðàùàÿ îðìóëû, îïðåäåëÿþùèå óíêöèè u è v (5.102), ìîæíî ïîëó÷èòüσ = σ0c+ eΩτ + c− e−Ωτ1/(3Γ+n−2)(c+ eΩτ − c− e−Ωτ )1/(3Γ−n+2)a = a0 c+ eΩτ + c− e−ΩτΓ−1 3Γ+n−2c+ eΩτ − c− e−Ωτãäå σ0 = e(u0 −v0 )/Γ è a0 = eu0 +v0 /σ0 .(5.122),Γ+1 3Γ−n+2,àññìîòðèì òåïåðü ïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.110)rn − 2 − 3Γx = x0 ≡ ±.2 − n − 3Γ(5.123)(5.124)Åñëè x0 6= 0, òî äëÿ çàäàííîãî Γ ðåøåíèå áóäåò äåéñòâèòåëüíûì ïðèΓ>|n − 2|.3Äëÿ n = 2 ðåøåíèÿ ñ x = x0 ñóùåñòâóþò ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ Γ,ò.å.
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè èç èíòåðâàëà 1 < Γ < ∞.Äëÿ ýòèõ ðåøåíèé ìû ïîëó÷àåìu = x0(τ − τ1),v=1(τ − τ2 ),x0ãäå τ1 è τ2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Ñëåäîâàòåëüíî,2a = a0 e((Γ−1)x0 +(Γ+1))τ /(x0 Γ) ,22σ = σ0e(x0 −1)τ /(Γx0 ) ,(5.125)2ãäå σ0 = e(τ2 −x0 τ1 )/(Γx0 ) , a0 = e(1−Γ)x0 τ1 /Γ−(1+Γ)τ2/(x0 Γ) .Ïðè n = 2 ïîëó÷àåì x0 = 1 è σ(τ ) ñòàíîâèòñÿ êîíñòàíòîé. Äàííîå çíà÷åíèå n ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëó ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè, â êîòîðîì, êàê èçâåñòíî [232, 360℄, ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà, ñîîòâåòñòâóþùèå σ(τ ) = σf .206Êàê ëåãêî âèäåòü, ýòî ðåøåíèå (íåïîäâèæíàÿ òî÷êà) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ðåøåíèé (5.122)(5.123) ïðè áîëüøèõ τ :a(τ ) → aDS (τ ) ∼ e±2τ .σ(τ ) → σf ,àññìîòðèì ñëó÷àé n = 2 − 3Γ, â êîòîðîì óðàâíåíèå (5.110) ëèíåéíî èèìååò ñëåäóþùåå îáùåå ðåøåíèå:(5.126)x = 6(τ − τ0 ),1ln(τ − τ0) + v0,(5.127)6ãäå τ0 , u0 è v0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåìu = 3(τ − τ0)2 + u0,2a = a0 (τ −τ0)(Γ+1)/(6Γ)e3(Γ−1)(τ −τ0 )/Γv=2σ = σ0(τ −τ0 )−1/(6Γ)e3(τ −τ0 ),/Γ, (5.128)ãäå a0 = eu0 +v0 /σ0 , σ0 = e(u0 −v0 )/Γ . ñëó÷àå ñ k = 0, ñîîòâåòñòâóþùèì n = 2 + 3Γ, èìååì1,6(τ − τ0 )x=ñëåäîâàòåëüíî,u=1ln(τ − τ0 ) + u0 ,62a = a0 (τ −τ0)(Γ−1)/(6Γ)e3(Γ+1)(τ −τ0 )/Γ,(5.129)v = 3(τ − τ0 )2 + v0,(5.130)2σ = σ0(τ −τ0 )1/(6Γ)e−3(τ −τ0 )/Γ, (5.131)ãäå a0 = eu0 +v0 /σ0 , σ0 = e(u0 −v0 )/Γ .Ñëó÷àé k = 0 ñîîòâåòñòâóåò λ = ±1, ïîýòîìó îí ïðåäñòàâëåí â Òàáëèöå 5.1 íå êàê ïåðâûé èíòåãðèðóåìûé ïîòåíöèàë, à êàê ÷åòâ¼ðòûé ñ c̃2 = 0.Ìû ïîêàçàëè, ÷òî áëàãîäàðÿ çíàíèþ ÿâíûõ îáùèõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìè ñêàëÿðíûìèïîëÿìè ìîæíî ïîñòðîèòü îáùèå ðåøåíèÿ äëÿ ìîäåëåé, â êîòîðûõ ñêàëÿðíûåïîëÿ íåìèíèìàëüíî ñâÿçàíû ñ ãðàâèòàöèåé.
Ïîñëåäíèå ïîëó÷àþòñÿ èç ïåðâûõñ ïîìîùüþ êîíîðìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.Ïðè ýòîì î÷åíü ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìåòðèêè ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì âðåìåíåì.2075.5.3. åøåíèÿ êàê óíêöèè êîñìè÷åñêîãî âðåìåíè ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû èñïîëüçîâàëè ïàðàìåòðè÷åñêîå âðåìÿ τ äëÿëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèé è ïîëó÷åíèÿ îáùèõ ðåøåíèé èíäóöèðîâàííîé ìîäåëèãðàâèòàöèè ñî ñòåïåííûì ïîòåíöèàëîì. Îòìåòèì, ÷òî íà èçè÷åñêè èíòåðåñíûé âîïðîñ: "Êàê áóäóò ýòè ðåøåíèÿ âûãëÿäåòü äëÿ íàáëþäàòåëÿ?", ìîæíîîòâåòèòü íàéäÿ ïàðàìåòð Õàááëà êàê óíêöèþ êîñìè÷åñêîãî âðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
