Диссертация (1097926), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ïîñêîëüêó äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè èçîòðîïíûõ ðåøåíèé äâóõïîëåâûõìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûì îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòîâ ñòàòüè [279℄, òî ìû òîëüêîêðàòêî óïîìÿíåì ýòîò ðåçóëüòàò. Çàìåòèì, ÷òî ñòàíäàðòíûé ñïîñîá àíàëèçàóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé äå Ñèòòåðà â êâèíòîìíûõ ìîäåëÿõ èñïîëüçóåò çàìåíóïåðåìåííûõ [338340℄. Ìû ïîêàçàëè [225, 279℄, ÷òî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì. ðàáîòàõ [225, 341℄ ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èçîòðîïíîé èêñèðîâàííîé òî÷êè yf = (Hf , φf , ψf )171ñèñòåìû óðàâíåíèé (4.115)(4.118):Hf > 0,′′Vξξ′′ Vφφ+> 0,B2B1′′Vξξ′′ VφφVφξ′′ 2>.B1 B2B1 B2(4.120) ñëó÷àå êâèíòîìíûõ ìîäåëåé, ìîæíî ïîëîæèòü B2 = −B1 > 0 è ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè:Hf > 0,′′Vξξ′′ > Vφφ,2′′Vξξ′′ Vφφ< Vφξ′′ .(4.121)Äàííûé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí â îñíîâíîì Í.Â.
Áóëàòîâûì [225, 341℄.4.5.3. Ïîñòðîåíèå ñòàáèëüíûõ ðåøåíèé ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëàÎñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè [225℄, ïðåäñòàâëåííûì â äèññåðòàöèè, ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ñóïåðïîòåíöèàëà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìîäåëåé ñ óñòîé÷èâûìèòî÷íûìè ðåøåíèÿìè è àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà â ðàáîòàõ [216, 222℄.Ïîëó÷èì óñëîâèÿ íà ñóïåðïîòåíöèàë W , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè óñëîâèÿì (4.120) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà V .  íåïîäâèæíîéòî÷êå yf = (Hf , φf , ψf )Wf ≡ W (φf , ξf ) = Hf ,Wφ′ ≡∂W(φf , ξf ) = 0,∂φWξ′ ≡∂W(φf , ξf ) = 0.∂ξ(4.122)Ïîñêîëüêó èç óñëîâèé (4.122) ñëåäóåò Vφ′ = 0, Vξ′ = 0, òî4MP4 ′′ 2′′ 2=−B2Wφφ + B1Wφξ ,B1 B24MP4 ′′′′ 2′′ 2Vξξ′′ = 6MP2 Wf Wξξ−B1 Wξξ+ B2Wφξ,B1 B22MP2 ′′′′′′Vφξ′′ =Wφξ 3B1B2 Wf − 2B2MP2 Wφφ− 2B1MP2 Wξξ.B1 B2′′Óñëîâèå Hf > 0 ïåðåïèñûâàåòñÿ êàê Wf > 0.
Åñëè Wφξ= 0, òî è′′Vφφ′′6MP2 Wf Wφφ(4.123)(4.124)(4.125)Vφξ′′ = 0,è óñëîâèÿ (4.120) ïðåäñòàþò â ñëåäóþùåì âèäå:′′′′Wφφ3Wf B1 − 2MP2 Wφφ> 0,′′′′Wξξ3Wf B2 − 2MP2 Wξξ> 0.(4.126)172′′ ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî Vφξóñëîâèÿ (4.120) ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèìè:3B1B2′′′′2′′ 2′′ 2′′ 2(BW+BW)W>BW)+2BB(W+ B12(Wξξ) . (4.127)21f12φφξξ2φφφξ22MP932′′′′′′′′′′ 2B1 B2 W f −B1B2 (B2Wφφ + B1Wξξ )Wf + Wξξ Wφφ − (Wφξ ) ×4MP42MP2′′′′′′ 2× WξξWφφ− (Wφξ) > 0.(4.128)Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óñëîâèé ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ñòàáèëüíîñòü ðåøåíèé,ñòðåìÿùèõñÿ ê èêñèðîâàííîé òî÷êå.4.5.4.
Ñòàáèëüíîñòü ïîëó÷åííûõ òî÷íûõ ðåøåíèéÊàê áûëî ïîêàçàíî, èç íàëîæåííûõ íà ïîòåíöèàë è ðåøåíèÿ óñëîâèé èòðåáîâàíèÿ ïîëèíîìèàëüíîñòè ñóïåðïîòåíöèàëà ñëåäóåò, ÷òî ñóïåðïîòåíöèàëèìååò âèä (4.79). Âû÷èñëèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå ýòîãî ñóïåðïîòåíöèàëà∂ 2W1=(a3,0φ−a2,1 ξ),∂φ2m2p∂ 2W1=(a1,2 φ−a0,3 ξ),∂ξ 2m2p∂ 2W1= 2 (a1,2ξ−a2,1φ).∂φ∂ξmp(4.129) èêñèðîâàííîé òî÷êå φf = A, ξf = 0 èìååìWf = −a3,0 A3.3m2pÓñëîâèå Hf = Wf > 0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ a3,0 A < 0.
Êàê ëåãêî ñîñ÷èòàòü,èñïîëüçóÿ (4.129), â èêñèðîâàííîé òî÷êå′′Wφφ=a3,0A3Wf=−,m2pA2′′Wξξ=a1,2 A,m2p′′Wφξ= −a2,1A.m2p′′Ïîñêîëüêó Wf > 0, òî Wφφ< 0. Èñõîäÿ èç äåéñòâèÿ (4.57), ìû ïîëàãàåìB1 = −1 è B2 = 1, à òàêæå çàìåíÿåì MP2 íà m2p , ïåðåõîäÿ ê áåçðàçìåðíûìïàðàìåòðàì.′′Åñëè a2,1 = 0, òî Wφξ= Vφξ′′ = 0 â íåïîäâèæíîé òî÷êå è äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòîé òî÷êè ñóòüa3,0 A < 0,A2 > 2m2p ,a1,2 2m2pa1,2 + a3,0 A2 < 0.(4.130)173 ÷àñòíîñòè, åñëè âûáðàòü êîýèöèåíòû ñóïåðïîòåíöèàëà ïî îðìóëå(4.88), òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè [225℄:bω < 0,A2 > 2m2p ,bA2 < m2p .(4.131)Èç ïîñëåäíèõ äâóõ óñëîâèé ñëåäóåò b < 1/2. åøåíèÿ (4.94) â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé ïîëó÷åíû ïðè b = −1/2, êîãäà òðåòüå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿòîæäåñòâîì.
Äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì ω > 0.àññìîòðèì ñëó÷àé a2,1 6= 0 è ïðîàíàëèçèðóåì ñòàáèëüíîñòü òî÷íûõ ðåøåíèé, íàéäåííûõ â íàøåé ñòàòüå [216℄. Óñëîâèÿ (4.105) íà êîýèöèåíòûñóïåðïîòåíöèàëà W (φ, ξ) óäîáíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:a2,1 = − c − a3,0 ,a1,2 = 2c + a3,0 ,a0,3 = − 3c − a3,0 .(4.132)Óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè (4.127) è (4.128) ïðèîáðåòàþò ñëåäóþùèé âèä:(A2a3,0 + 2m2p c)c < 0,(A2a3,0 − 2m2p c)2 > 0.Òàêæå íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå a3,0 A < 0.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàáèëüíîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âûáðàòü A > 0, a3,0 < 0 è 0 < c < −A2 a3,0 /(2m2p).Íà ðèñóíêàõ 4.16 è 4.17 ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå ñ A = 1, c = 0.55, a3,0 = −0.05,m2p = 0.2, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî íåìîíîòîííîñòü ïàðàìåòðà Õàááëà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò íàðóøåíèå èçîòðîïíîãî óñëîâèÿýíåðãîäîìèíàíòíîñòè [101℄, ìîæåò íå ïðèâîäèòü ê íåñòàáèëüíîñòè ðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî âàðèàöèè íà÷àëüíûõ äàííûõ. Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí íå äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìåòðèêè, à òîëüêî äëÿ ìåòðèêè Áüÿíêè I.174ëàâà 5ÊÎÑÌÎËÎÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÑÍÅÌÈÍÈÌÀËÜÍÎ ÑÂßÇÀÍÍÛÌÈÑÊÀËßÍÛÌÈ ÏÎËßÌÈ5.1. Òî÷íûå ðåøåíèÿ è èíòåãðèðóåìûå ìîäåëèÎäíèì èç íàèáîëåå ïîïóëÿðíûõ îáîáùåíèé ÎÒÎ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîòåíçîðíàÿ òåîðèÿ ãðàâèòàöèè [109111, 114℄.
Ñêàëÿðíûå ïîëÿ, íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ ãðàâèòàöèåé, åñòåñòâåííî âîçíèêàþò â òåîðèÿõ ñ äîïîëíèòåëüíûìè èçìåðåíèÿìè, íàïðèìåð, òåîðèè ñòðóí [109℄ è òåîðèÿõ êâàíòîâûõïîëåé â èñêðèâë¼ííîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè [2729, 342℄. Ñêàëÿðíî-òåíçîðíàÿãðàâèòàöèÿ áûëà ïðåäëîæåíà Éîðäàíîì [343℄ è ðàçâèòà â ñòàòüÿõ Áðàíñà èÄèêêå [344, 345℄.
Îñîáåííîñòüþ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îïèñàòü íåìîíîòîííîå ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà ñ ïîìîùüþ òîëüêî îäíîãî ñêàëÿðíîãîïîëÿ.Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ïðèîáðåëè áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ è àêòèâíî èññëåäóþòñÿ [164171, 346362℄, íàéäåíî ñîâñåì íåìíîãî èíòåãðèðóåìûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íàèáîëåå èçâåñòíîé ïîäîáíîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêàÿ ìîäåëü Ôðèäìàíà ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì èýêñïîíåíöèàëüíûì ïîòåíöèàëîì. Äëÿ òàêîé ìîäåëè îáùåå ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî è ïîäðîáíî èçó÷åíî â ðàáîòàõ [188, 312315℄.
×àñòíîå ðåøåíèå äàííîéìîäåëè ñî ñòåïåííûì ìàñøòàáíûì àêòîðîì àêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ [363370℄äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè Âñåëåííîé. Äðóãîé èíòåðåñíûé êëàññ èíòåãðèðóåìûõìîäåëåé ñîäåðæèò ïîòåíöèàëû, ÿâëÿþùèåñÿ ñóììàìè ýêñïîíåíò ñî ñïåöèàëü175íûìè çíà÷åíèÿìè ïîêàçàòåëåé [172, 371, 372℄. äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïî ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ïîèñêà èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé è ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà âìîäåëÿõ ñ íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì [232, 234, 246, 247℄.
 ðàáîòå [232℄ ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà áûë âïåðâûå èñïîëüçîâàí äëÿ ðåêîíñòðóêöèèêîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì è áûëè ïîëó÷åíû ïîòåíöèàëû ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ðåøåíèÿì äå Ñèòòåðà, ê àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèÿì äå Ñèòòåðà (â òîì ÷èñëå èñ íåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà).  ïîñëåäóþùåé ðàáîòå [247℄ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè äëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé äå Ñèòòåðà èïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîäîáíûå ñòàáèëüíûå ðåøåíèÿ ñ íåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ïîòåíöèàëà ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà ïðèâåäåíû â ñòàòüå [246℄. íàøåé ðàáîòå [234℄ ïîêàçàíî, êàê çíàíèå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ïîçâîëÿåò íàéòè èíòåãðèðóåìóþ ñèñòåìóñ íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ïîëåì, è ïîëó÷åíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èíòåãðèðóåìûìè êîñìîëîãè÷åñêèìè ìîäåëÿìè ñ ìèíèìàëüíî è íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìèñêàëÿðíûìè ïîëÿìè.
Èçâåñòíî, ÷òî êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíîéñâÿçüþ ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíîé ñâÿçüþ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëüíî ïîäîáðàííîãî êîíîðìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòðèêè â ñî÷åòàíèè ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ýòó ïðîöåäóðóíàçûâàþò ïåðåõîäîì îò îðìóëèðîâêè Éîðäàíà ê îðìóëèðîâêå Ýéíøòåéíà.Èñïîëüçîâàíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî âðåìåíè â ìåòðèêå ÔËÓ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðîñòûå îðìóëû, ñâÿçûâàþùèå èíòåãðèðóåìûå ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíî èíåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî ïîñòðîèòü îáùèå êîñìîëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìèñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, â ÷àñòíîñòè, ìîäåëåé èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè è ìîäåëåé, âêëþ÷àþùèõ ÷ëåí èëüáåðòàÝéíøòåéíà è ñêàëÿðíîå ïîëå, êîíîðìíîñâÿçàííîå ñ ãðàâèòàöèåé. ßâíûå îðìû ïîòåíöèàëîâ ñàìîäåéñòâèÿ ñêàëÿðíîãî176ïîëÿ øåñòè òî÷íî ðåøàåìûõ ìîäåëåé ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòå [234℄.
Äëÿ îäíîéèç èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé, à èìåííî, èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèîííîé ìîäåëèñî ñòåïåííûì ïîòåíöèàëîì ìû ïîëó÷èëè îáùåå ðåøåíèå è ïðîàíàëèçèðîâàëèåãî ñâîéñòâà.5.2. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà â ìîäåëÿõ ñíåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûìïîëåì5.2.1. Óðàâíåíèÿ Ôðèäìàíà ñòàòüå [232℄ ìû ðàññìàòðèâàåì êîñìîëîãè÷åñêóþ ìîäåëü ñî ñëåäóþùèìäåéñòâèåìZ√1 µνS = d x −g U (σ)R − g σ,µ σ,ν − V (σ) ,24(5.1)ãäå U (σ) è V (σ) ñóòü äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ σ .Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ìîäåëè ñ òî÷íûì ÷àñòíûì ðåøåíèåì òðåáóåìîãî âèäà. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåìûå óíêöèè U (σ) è V (σ) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòüîïðåäåë¼ííûì ñâîéñòâàì.
Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, íàïðèìåð, ìîäåëè òèïà ÁðàíñàÄèêêå [344, 345℄,ðàññìàòðèâàþòñÿ è â òåîðèÿõ ñ äîïîëíèòåëüíûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè èçìåðåíèÿìè [204, 373℄. Çàäà÷à ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà è ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîòåíöèàëà ðåøàëàñü â ðàáîòå [204℄.  ýòîé ðàáîòå óíêöèÿ U (σ) ïðåäïîëàãàëàñü çàäàííîé è ø¼ë ïîèñê òîëüêî ïîòåíöèàëà.Ïðè ýòîì ìåòîä ðåêîíñòðóêöèè áûë îñíîâàí íà ìåòîäå ñóïåðïîòåíöèàëà äëÿìèíèìàëüíî ñâÿçàííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è êîíîðìíîì ïðåîáðàçîâàíèè ìåòðèêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
