Диссертация (1097926), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Åñëè çíàêè λH,1 è λH,2 ïðîòèâîïîëîæíû,òî âîçìîæíî íåìîíîòîííîå ñòðåìëåíèå H(t) ê Has .4.4.6. Ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ñ äâóõïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâîìòî÷íûõ ðåøåíèéÌû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ êâèíòîìíîé ìîäåëè ñ ïîòåíöèàëîì è ðåøåíèÿìè,óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì, ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ ñòðóííîé òåîðèè ïîëÿ,ñóïåðïîòåíöèàë èìååò âèä (4.79). Ñèñòåìà (4.55) ïðèíèìàåò âèä (4.78). Ñèñòåìà(4.78) ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ íåèíòåãðèðóåìà, ïîýòîìó äëÿíàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé òðåáóåòñÿ íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íàêîýèöèåíòû. àññìîòðèì íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ïîëó÷åíèÿ òàêèõ óñëîâèé.Ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ïðîâåðêè èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ òåñò Ïåíëåâå [177, 179, 180, 182,184℄.
Äàííûé òåñò ïðèìåíÿëñÿ äëÿ àíàëèçà èíòåãðèðóåìîñòè ìîäåëåé ñî ñêà157ëÿðíûìè ïîëÿìè â ðàáîòå [186℄. Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðîâåðêà èíòåãðèðóåìîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ òîëüêî äëÿ ñèñòåìû (4.55), êîòîðàÿ íå ðàâíîñèëüíà âñåìóðàâíåíèÿì Ôðèäìàíà, ïîñêîëüêó åñòü åù¼ óðàâíåíèå (4.56). Òàêèì îáðàçîì,òåñò Ïåíëåâå ïîìîãàåò íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ íåèíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû. Äðóãîé àëãîðèòì ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ òåñòà Ïåíëåâå è ïîñòðîåííûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà, èçâåñòíûé êàê ìåòîä ÊîíòàÌþçåòòû [208℄,ðàññìîòðåí è ïðèìåí¼í ê ðÿäó èçè÷åñêè âàæíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé â ëàâå 6.Ñóòü òåñòà Ïåíëåâå ñîñòîèò â ïðîâåðêå òîãî, ÷òî îáùåå ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåðîìîðíîé óíêöèåé.
Ïðîàíàëèçèðóåì èíòåãðèðóåìîñòü ñèñòåìû (4.78)ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íå¼ êîíñòàíò ai,j .  1980 ãîäó, ðàçâèâàÿìåòîä Êîâàëåâñêîé, Àáëîâèö, àìàíè è Ñåãóð [180℄ ïîñòðîèëè íîâûé àëãîðèòìòåñòà Ïåíëåâå äëÿ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Äàííûé òåñòñîñòîèò èç òð¼õ øàãîâ [180, 184, 334℄. Íà ïåðâîì øàãå óñòàíàâëèâàåòñÿ âîçìîæíîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé â îêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíîé òî÷êè. Äëÿ ýòîãî â ñèñòåìóóðàâíåíèé (4.78) ïîäñòàâèìφ=D−p,tpξ=D̃−q.tq(4.84)Ïðîàíàëèçèðîâàâ ïîâåäåíèå ÷ëåíîâ, íàèáîëåå áûñòðî ñòðåìÿùèõñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè t → 0, ïîëó÷èì, ÷òî p1 = 1 è p2 = 1.
Êîíñòàíòû D−1 è D̃−1 ÿâëÿþòñÿíåíóëåâûìè ðåøåíèÿìè ïîëó÷åííîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû.Òåïåðü ìîæíî ïîäñòàâèòü â ñèñòåìó (4.78) ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà:∞D−1 Xφ=+Dj tj ,tj=1∞D̃−1 Xξ=+D̃j tj ,tj=0(4.85)ãäå Dj è D̃j íåêîòîðûå êîíñòàíòû, è ñâåñòè ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé (4.78) ê ìíîæåñòâó ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàåìûõ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íà êîýèöèåíòû Dj è D̃j . Ïîëó÷åííûå ëèíåéíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû èìåþò îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ, åñëè èõ äåòåðìèíàíò íå ðàâåí íóëþ. Ýòè ñèñòåìû íå ñóùåñòâåííû äëÿ ïðîâåðêè èíòåãðèðóåìîñòè èñõîäíîé ñè158ñòåìû. Âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, äåòåðìèíàíòêîòîðûõ ðàâåí íóëþ. Äåëî â òîì, ÷òî ïîëó÷àåìîå ðåøåíèå â âèäå ðÿäà Ëîðàíà äîëæíî áûòü îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû (4.78), ñëåäîâàòåëüíî, îíî äîëæíîñîäåðæàòü äâà ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðà. Îäèí ïàðàìåòð ñîîòâåòñòâóåò ñäâèãóòî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè èç t = 0 â t = t0 , à âòîðîé äîëæåí áûòü ïðîèçâîëüíûìêîýèöèåíòîì ðÿäà Ëîðàíà.
Èíûìè ñëîâàìè, îäíà èç ïîëó÷àåìûõ ñèñòåì íàêîýèöèåíòû Dj è D̃j äîëæíà èìåòü íóëåâîé äåòåðìèíàíò è ñâîäèòüñÿ ê ëèíåéíîé ñèñòåìå. Íà âòîðîì øàãå òåñòà Ïåíëåâå îïðåäåëÿåòñÿ íîìåð ýòîé ñèñòåìû, à íà òðåòüåì âûÿñíÿåòñÿ, èìååò ëè ýòà ñèñòåìà ñ íóëåâûì äåòåðìèíàíòîìðåøåíèÿ. Íà âòîðîì øàãå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü â ñèñòåìå (4.78) òîëüêî ñëàãàåìûå, íàèáîëåå áûñòðî ñòðåìÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè t → 0, òî åñòü íóæíîïîëîæèòü A = 0. Íà òðåòüåì øàãå, íàïðîòèâ, ñèñòåìà (4.78) ðàññìàòðèâàåòñÿïîëíîñòüþ è èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå A 6= 0.Èòàê, ïîäñòàâèâφ=D−1+ Dn−1 tn−1,tφ=D̃−1+ D̃n−1 tn−1tâ ñèñòåìó (4.78) ñ A = 0, ïîëó÷èì, ÷òî ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå tn−2 , ëèíåéíû ïî Dn−1 è D̃n−1 . Èíûìè ñëîâàìè, ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõóðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ Dn−1 è D̃n−1 . Äåòåðìèíàíò ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿêâàäðàòè÷íûì ïîëèíîìîì ïî n.
Èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ýòîãî äåòåðìèíàíòà ïîëó÷àåì äâà çíà÷åíèÿ n, îäíî èç êîòîðûõ ðàâíî −1, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì àâòîíîìíîñòè ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à âòîðîå çàâèñèò îòai,j . Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ïðîõîæäåíèÿ òåñòà Ïåíëåâå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîñòü âòîðîãî êîðíÿ n. Îñíîâíîé òðóäíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ïàðàìåòðîâ ai,j , îïðåäåëÿþùèõ çíà÷åíèÿ D−1 , D̃−1 è n.Èòàê, äëÿ îïðåäåëåíèÿ D−1 è D̃−1 èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:22D−1 = − a3,0D−1+ 2a2,1D−1D̃−1 − a1,2 D̃−1,D̃−1 = −2a2,1D−1+ 2a1,2D−1D̃−1 −2a0,3 D̃−1.(4.86)159Ñèñòåìà (4.86) ðåøàåòñÿ, íî âûðàæåíèÿ äëÿ D−1 è D̃−1 îêàçûâàþòñÿ î÷åíüãðîìîçäêèìè, ïîñêîëüêó âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîðíè êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñêîëüêó ìû íå ñòàâèì çàäà÷ó îòûñêàíèÿ âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, òî îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñèñòåìû ñ a2,1 = 0.
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿq224a1,2 − a0,3 ± a0,3 a20,3 − 8a21,2 − 4a1,2a3,0D−1 =,2(a20,3a3,0 + 4a31,2 )q− a0,3a1,2 − a0,3 a3,0 ± a1,2 a20,3 − 8a21,2 − 4a1,2a3,0.D̃−1 =a20,3 a3,0 + 4a31,2(4.87)Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà ìû âûáåðåì çíàê "+". Íà âòîðîì øàãå òåñòàÏåíëåâå ìû ðåøàåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå è ïîëó÷àåì n = −1 è ñëåäóþùååçíà÷åíèå n, ñîîòâåòñòâóþùèå íîìåðó ñèñòåìû ñ íóëåâûì äåòåðìèíàíòîì:qa0,3 (a1,2 + a3,0 ) a20,3 − 8a21,2 − 4a1,2a3,0 − a20,3 a1,2 + 8a31,2 + 4a21,2a3,0n=.a3,0a20,3 + 4a31,2Èç òðåáîâàíèÿ íàòóðàëüíîñòè n âîçíèêàþò óñëîâèÿ íà ai,j .
Íàïðèìåð, êîðåíün = 1 ñóùåñòâóåò ïðè a1,2 = 0 èëè a1,2 = −a3,0. Ïðè a1,2 = 0 è a2,1 = 0 ñèñòåìà(4.78) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿ, êîòîðûå èíòåãðèðóåòñÿ òðèâèàëüíî. Êàêíåòðóäíî ïðîâåðèòü, ñèñòåìà (4.78) ñ a1,2 = −a3,0 è a2,1 = 0 òàêæå èíòåãðèðóåòñÿ è èìååò ñëåäóþùåå îáùåå ðåøåíèå:−A 4A2c21 c22 a23,0 − 16A2a20,3 a23,0 + 64A2a43,0 − 8a0,3Ac1 a3,0e−2a3,0 At − c21 e−4a3,0 Atφ=4A2c21 c22 a23,0 − 16A2a20,3 a23,0 + 64A2a43,0 + 4Ac21 c2 a3,0e−2a3,0 At + c21 e−4a3,0At16A2c1 a23,0e−2a3,0 Atξ= −,4A2c21 c22 a23,0 − 16A2a20,3 a23,0 + 64A2a43,0 + 4Ac21c2 a3,0 e−2a3,0At + c21 e−4a3,0Atãäå c1 è c2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, à òàêæå îñîáîå ðåøåíèåξ(t) = 0,1 − e2Aa3,0 (t−t0 )φ(t) =A.1 + e2Aa3,0 (t−t0 )Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíà ìîäåëü ñ äâóõïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâîì òî÷íûõ ðåøåíèé, ïðè÷¼ì ðåøåíèÿ è ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿþò çàäàííûì óñëîâèÿì.1604.4.7.
Îáîáùåíèå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû ïîêàçàëè, êàê ìîæíî âûáðàòü ïîòåíöèàë äëÿïîëó÷åíèÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé. Îòìåòèì, ÷òî åñòü èäðóãîé ýåêòèâíûé ìåòîä, â èìåííî, ìîæíî íàëîæèòü óñëîâèÿ íà êîýèöèåíòû ñóïåðïîòåíöèàëà ai,j , çàäàâ (óãàäàâ) ïðîñòîé âèä îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãîðåøåíèÿ. Äàëåå íàõîäèòñÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå, îáîáùàþùèå äàííîåîäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå. Ýòîò ìåòîä áûë ïðåäëîæåí è ðàçâèò â íàøèõñòàòüÿõ [216, 222℄.àññìîòðèì ìîäåëü ñ ïîòåíöèàëîì (4.73). Åñëè âûáðàòüa0,3 = 0,a2,1 = 0,a1,2 =ω,2Aa3,0 =bω,A(4.88)òî ñèñòåìà (4.78) ñòàíåò òîæäåñòâåííîé ñèñòåìå (4.71).
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òîñèñòåìà (4.71) èìååò íå òîëüêî ðåøåíèÿ (4.66), íî è òðèâèàëüíûå ðåøåíèÿφ(t) = ±A, ξ(t) = 0, à òàêæå ðåøåíèÿφ(t) = − A tanh(ωb(t − t0 )),ξ(t) = 0.(4.89)Åñëè ξ(t) 6≡ 0, òî, èñïîëüçóÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.71), ìû ïîëó÷àåì äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ξ(t):ω 2 ξ 3(t) (1 − b)ξ˙2(t)2¨ξ(t) = ω b ξ(t) −+.2A2ξ(t)åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.90) ïîëó÷àþòñÿ â êâàäðàòóðàõ:pZA 2(1 + b)ξ b−1pt − t0 = ±dξ,ω 2A2ξ 2b + 2A2bξ 2b + ξ 2b+2 + 2A2C + 2A2bC(4.90)(4.91)ãäå C è t0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.
Ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà bðåøåíèÿ ñèñòåìû (4.71) âûïèñûâàþòñÿ ÿâíî. Íàïðèìåð, ïðè b = −1/2 ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé:A (C12C22 + 4A2)eωt − C12e−ωtφ(t) =,(C12C22 + 4A2) eωt + 2C12C2 + C12e−ωt4C1A2ξ(t) =,(C12C22 + 4A2) eωt + 2C12C2 + C12e−ωt(4.92)161ãäå C1 è C2 ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû. Ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ C1 è C2 , êðîìåC1 = 0, ðåøåíèÿ (4.92) è ïàðàìåòð Õàááëà (4.72) èìåþò ñëåäóþùèå àñèìïòîòèêè:φ(±∞) = ±A,ξ(±∞) = 0,H(+∞) =A2 ω.6m2p(4.93)Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíà ãðàâèòàöèîííàÿ ìîäåëü ñ äâóõïàðàìåòðè÷åñêèììíîæåñòâîì òî÷íûõ ðåøåíèé [222℄. Ïîòåíöèàë è ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìûì óñëîâèÿì.Ïðîàíàëèçèðóåì ñâîéñòâà ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé è êîñìîëîãè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ.
Ñèñòåìà (4.71) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåíû ξ(t) íà −ξ(t), òàêèìîáðàçîì, êàæäîìó ðåøåíèþ φ(t) ñîîòâåòñòâóþò äâà ðåøåíèÿ ±ξ(t). Îòìåòèì,÷òî óíêöèÿ φ(t) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåíû C1 → −C1 , òîãäà êàêξ(t) ìåíÿåò çíàê. Ïàðàìåòð Õàááëà çàâèñèò îò ξ 2, ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü C1 > 0.˜Ñèñòåìà (4.71) àâòîíîìíà, ïîýòîìó èç ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ {φ̃(t), ξ(t)}˜ − t0)}, ãäå t0 ∈ C, òîæå äîëæíà áûòüñëåäóåò, ÷òî ïàðà óíêöèé {φ̃(t − t0 ), ξ(tðåøåíèåì.
Óäîáíî ââåñòè â ðåøåíèÿõ (4.92) íîâûå ïàðàìåòðû òàê, ÷òîáû îäèíèç íèõ ñîîòâåòñòâîâàë ñäâèãó ïî âðåìåíè. ×òîáû äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèéìîæíî áûëî íàëîæèòü îãðàíè÷åíèå t0 ∈ R, ìû ïîëîæèì C1 = et0 , èñïîëüçóÿîãðàíè÷åíèå C1 > 0. Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ïîëîæèì ω = 1 è ââåäåì âìåñòî C2ïàðàìåòð C ≡ C1 C2 . åøåíèÿ (4.92) ïîëó÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:A (C 2 + 4A2)et−t0 − e−(t−t0 )φ(t) =,(C 2 + 4A2)et−t0 + 2C + e−(t−t0 )4A2ξ(t) =.(C 2 + 4A2)et−t0 + 2C + e−(t−t0 )(4.94)×òîáû ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ñ èçíà÷àëüíûìè ðåøåíèÿìè (4.66),ââåäåì íîâûé ïàðàìåòð:t1 = t0 −1ln C 2 + 4A2 .2(4.95)162Òåïåðü óíêöèè φ(t) è ξ(t) èìåþò âèä√A et−t1 − e−(t−t1 ) C 2 + 4A2φ(t) = √,C 2 + 4A2 et−t1 + e−(t−t1 ) + 2C4A2ξ(t) = √.C 2 + 4A2 et−t1 + e−(t−t1 ) + 2Càññìîòðèì ðåøåíèÿ ñ t1 = 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå√A C 2 + 4A2˙√φ(0) = 0,φ̇(0) =è>0ξ(0)= 0.C + C 2 + 4A2(4.96)(4.97)Íàïîìíèì, ÷òî ìû èñïîëüçóåì óñëîâèå A > 0.
Èç îðìóëû (4.59) ñëåäóåò,÷òî Ḣ(0) > 0, à èç îðìóëû (4.72) ïîëó÷àåì, ÷òî H(0) = 0. Òàêèì îáðàçîì,ðåøåíèÿ ñ t1 = 0 è ïðîèçâîëüíûì C ÿâëÿþòñÿ êîñìîëîãè÷åñêèìè ðåøåíèÿìèòèïà "îòñêîêà", èíûìè ñëîâàìè, a(t) èìååò îòñêîê â òî÷êå t = 0.àññìîòðèì çàâèñèìîñòü ïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà H îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà C .
 ñëó÷àå C = 0 èìååì ðåøåíèÿφ0 (t) = A tanh(t − t1 ),ξ0 (t) =A.cosh(t − t1 )(4.98)Ïðè t1 = 0 ìû ïîëó÷àåì ðåøåíèÿ (4.66) ω = 1. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðàìåòðÕàááëàA23Hf =(4.99)3tanht−2tanht6m2p√èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå tmax = − ln( 2 − 1) ≃ 0.881 è óáûâàåò ïðè t → ∞.Ïîëÿ φ0 è ξ0 , ïàðàìåòð Õàááëà Hf è ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ wDE ïðåäñòàâëåíûíà èñ. 4.13 (ïðè ïîñòðîåíèè èñ. 4.13 èñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
