Диссертация (1097926), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Äàííûé ïîäõîä ëåãêî ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü äëÿ êîñìîëîãèè. àññìàòðèâàåìûé â äèññåðòàöèè ïîäõîä íå ïðåäïîëàãàåò çíàíèÿ óíêöèè U (σ).Ïîýòîìó îí ïðèìåíèì ê áîëåå øèðîêîìó êëàññó ìîäåëåé è íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì àíàëîãîì ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â [204℄.177 ïðîñòðàíñòâåííî-ïëîñêîé ìåòðèêå ÔËÓ ïîëó÷àåìûå âàðüèðîâàíèåìäåéñòâèÿ (5.1) óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [232, 360℄:16U H 2 + 6U̇ H = σ̇ 2 + V,212U 2Ḣ + 3H 2 + 4U̇H + 2Ü + σ̇ 2 − V = 0,2 σ̈ + 3H σ̇ + V ′ = 6 Ḣ + 2H 2 U ′ .(5.2)(5.3)(5.4)Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, à øòðèõ ïðîèçâîäíóþ ïî ñêàëÿðíîìó ïîëþ, êîòîðîå â äàííîé ãëàâå îáîçíà÷èì êàê σ .Äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé òîëüêî äëÿ î÷åíüíåáîëüøîãî ÷èñëà ïîòåíöèàëîâ V (σ) (ïðèìåðû èíòåãðèðóåìûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì äàíûâ [234℄).
 òî æå âðåìÿ, äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé îêàçûâàåòñÿäîñòàòî÷íûì çíàíèå ÷àñòíîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ, ïîýòîìó â êîñìîëîãèè àêòèâíî ðàçâèâàþòñÿ ìåòîäû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà ïî çàäàííîìó ïîâåäåíèþïàðàìåòðà Õàááëà.  ÷àñòíîñòè, èçâåñòåí ìåòîä [360℄, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷àòüïîòåíöèàë ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè (U (σ) = γσ 2 /2), åñëè ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà êàê óíêöèè âðåìåíè èëè ìàñøòàáíîãî àêòîðà çàäàíî.Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ(ðåêîíñòðóêöèè) ïîòåíöèàëà òðåáóåòñÿ ðåøàòü òîëüêî ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
Íà äàííûé ìîìåíò ýòîò ìåòîä ðàçâèò òîëüêî äëÿ ìîäåëåéèíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè è âîçìîæíîñòü åãî îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî U (σ) íå î÷åâèäíà. Äðóãîé ïðîáëåìîé äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîïîòåíöèàëû îêàçûâàþòñÿ î÷åíü ñëîæíîãî âèäà.  òî æå âðåìÿ, äëÿ ïîñòðîåíèåðåàëèñòè÷íîé êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè, îñîáåííî ìîòèâèðîâàííîé óíäàìåíòàëüíîé èçè÷åñêîé òåîðèåé, îáû÷íî òðåáóþòñÿ ïîòåíöèàëû ïðîñòîãî âèäà,âûðàæàåìûå â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé, íàïðèìåð, ïîëèíîìû. Âàæíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõìîäåëåé ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè, îáëàäàþùèìè òî÷íûìè ðåøåíèÿìè è òðåáóåìûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà.178 íàøåé ñòàòüå [232℄ áûë ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïîòåíöèàëà, çàäàþùèé ïàðàìåòð Õàááëà êàê óíêöèþ ïîëÿ.
Ôàêòè÷åñêè ðàññìîòðåííûé âïðåäûäóùåé ãëàâå ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà îáîáù¼í íà êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëèñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì. Êîìáèíèðóÿ óðàâíåíèÿ (5.2) è (5.3), ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå áåç ïîòåíöèàëà:4U Ḣ − 2U̇ H + 2Ü + σ̇ 2 = 0,(5.5)êîòîðîå èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â ïðåäëàãàåìîì ìåòîäå ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà. Ïóñòü H = Y (σ) èσ̇ = F (σ).(5.6)′Ïîäñòàâëÿÿ σ̇ è σ̈ = F,σF â óðàâíåíèå (5.5), ëåãêî ïîëó÷èòü [232℄:′′4U Y,σ′ + 2(F,σ′ − Y )U,σ′ + 2U,σσ+ 1 F = 0.(5.7)Óðàâíåíèå (5.7) ñîäåðæèò òðè óíêöèè. Åñëè äâå èç íèõ çàäàíû, òî òðåòüÿîêàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ýòîìóðàâíåíèå (5.7) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà è äëÿ óíêöèè Y , è äëÿóíêöèè F .
Ïîòåíöèàë V (σ) íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ (5.2):1V (σ) = 6U Y 2 + 6U ′ F Y − F 2,2(5.8)à óíêöèÿ σ(t) è, ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ H(t) = Y (σ(t)) ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì óðàâíåíèÿ (5.6).Ïóñòü óíêöèè U è F çàäàíû, òîãäà èç óðàâíåíèÿ (5.7) ïîëó÷àåìσZ′′′′√2F,σ̃ U,σ̃ + 2U,σ̃σ̃ + 1 FY (σ) = − dσ̃+cU,(5.9)04U 3/2ãäå c0 êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè çàäàííûõ óíêöèÿõ Y (σ) è U (σ) ïîëó÷àåìσ "#Z′′U,σ̃ Y (σ̃) − 2U (σ̃)Y,σ̃ Υ(σ̃)F (σ) = edσ̃ + c̃0 e−Υ(σ) ,′U,σ̃(5.10)179ãäå1Υ(σ) ≡2Zσ′′2U,σ̃σ̃+1dσ̃U,σ̃′è êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ îáîçíà÷åíà êàê c̃0 . Ôóíêöèþ σ(t) ìû ïîëó÷èì,ïðîèíòåãðèðîâàâ (5.6), ÷òî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü êàê ìèíèìóì â êâàäðàòóðàõ.5.2.2. Ìàñøòàáíûé àêòîð êàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿÝâîëþöèþ ïàðàìåòðà Õàááëà H è ñêàëÿðíîãî ïîëÿ σ ìîæíî ïðåäñòàâèòü íå êàê óíêöèþ êîñìè÷åñêîãî âðåìåíè t, à êàê óíêöèþ ìàñøòàáíîãîàêòîðà a.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå óäîáíåå èñïîëüçîâàòü áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòðN ≡ ln(a/a0 ) â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Èñïîëüçóÿ îðìóëó (3.92),ïîëó÷àåìdd=HdtdN⇒2d21 dH 2 d2 d=H+.dt2dN 2 2 dN dN(5.11)Óðàâíåíèå (5.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:dH 2d2 U 22U+ 2 2H +dNdN2dH 2dUdσH 2 = 0.− 2H 2+dNdNdN(5.12)Îïðåäåëÿÿ óíêöèè W2 (σ) è F̃ (σ) êàêW2(σ) ≡ H 2 ,ïîëó÷àåìF̃ (σ) ≡dH 2dH 2 dσ′== W2,σF̃ ,dNdσ dNdσ,dNdU= U,σ′ F̃ .dN(5.13)(5.14)Óðàâíåíèå (5.12) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:′2U W2,σ−2U,σ′ W2′′′′′+ 2 U,σσ F̃ + U,σ F̃,σ W2 + W2,σU,σ′ F̃ + F̃ W2 = 0.(5.15)Ïóñòü, ê ïðèìåðó, F̃ (σ) è U (σ) çàäàíû, òîãäà óíêöèþ W2 (σ) ïîëó÷àåì,èíòåãðèðóÿ′W2,σW2=h2U,σ′i′′′′− 2 U,σσ F̃ + U,σ F̃,σ − F̃.′2U + U,σ F̃(5.16)180 òåðìèíàõ ðàññìàòðèâàåìûõ óíêöèé îò σ ïîòåíöèàë èìååò âèä:1V = W2 6U + 6U,σ′ F̃ − F̃ 2 .(5.17)2Óðàâíåíèå (5.16) ðàâíîñèëüíî (5.7).
Ýòî ëåãêî ïîêàçàòü, ïîäñòàâèâ F =Y F̃ â (5.7):Y,σ′=2Yh2U,σ′i′′′′− 2 U,σσ F̃ + U,σ F̃,σ − F̃.′2U + U,σ F̃(5.18)àâíîñèëüíîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ è óðàâíåíèÿ (5.16) ñëåäóåò èç ðàâåíñòâàW2(σ) = Y 2 (σ). Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòüïðîöåäóðó ðåêîíñòðóêöèè íåçàâèñèìî îò òîãî, ðàññìàòðèâàþòñÿ óíêöèè îò tèëè îò N .5.2.3. Êâàäðàòè÷íàÿ óíêöèÿ íåìèíèìàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿàññìîòðèìU (σ) =γ 2σ + C1 σ + J0 .2(5.19)Ñëó÷àé èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñîîòâåòñòâóåò C1 = 0 è J0 = 0. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ìåòîä ðåêîíñòðóêöèè áûë ïðåäëîæåí â ñòàòüå [360℄.
Äàííûé ìåòîäíå èìååò î÷åâèäíîãî îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé U (σ) âèäà (5.19), ïîýòîìó íàìèáûë ïðåäëîæåí àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä [232℄. Îòìåòèì, ÷òî óíêöèè U (σ) âèäà (5.19) àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ â êîñìîëîãè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, íàïðèìåð, âìîäåëÿõ èíëÿöèè ñ ïîëåì Õèããñà [3846℄.Êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîì (5.19) ìîæíî çàïèñàòü êàêγU (σ) = (σ − σ0)2 + J,2C1σ0 = − ,γC12J = J0 −2γè ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé σ0 = 0 (÷òî ðàâíîñèëüíî C1 = 0) áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè, ïîñêîëüêó èç ðåøåíèÿ ñ σ0 = 0 ðåøåíèå ñ ïðîèçâîëüíûì σ0 6= 0ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ σ → σ − σ0 .181Äëÿ U (σ), çàäàííîãî (5.19) ñ C1 = 0, ïîëó÷èì èç (5.9) è (5.10):σrZ′2γ σ̃F,σ̃ + (2γ + 1)Fγ 2Y (σ) = − dσ̃ + c0 σ +J,3/224 γ2 σ̃ 2 + Jσ Z 2J1/(2γ)2Y,σ̃ σ̃dσ̃ + c̃0 σ −1−1/(2γ) .F (σ) =σ̃Y − σ̃ +γ(5.20)(5.21)Îòìåòèì, ÷òî ïîâåäåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ â ìîäåëÿõ ñ íóëåâûì è íåíóëåâûì J .
Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì ïðèìåðñ ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé óíêöèè F (σ) = f1 σ + f0 , ãäå fi êîíñòàíòû. Èçóðàâíåíèÿ (5.20) ïîëó÷àåì:(4γ + 1)f1 (2γ + 1)f0YJ (σ) =−σ + c02γ4Jïðè J 6= 0, èY0(σ) =rγ 2σ +J2(2γ + 1)f0f1+ 2f1 ++ c0 σ2γ4γσïðè J = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáûõ f0 6= 0 è γ 6= −1/2, óíêöèÿ Y0 (σ) íåÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì óíêöèè YJ (σ) ïðè J → 0.5.2.4. Ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ñ ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì îáùèé âèä ïîòåíöèàëà V (σ), ñ êîòîðûìêîñìîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü îáëàäàåò ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà, òî åñòüH = Hf = const.(5.22)Äëÿ ïîñòîÿííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ σ = σf èç óðàâíåíèé (5.2) è (5.4) èìååì:6U (σf )Hf2 = V (σf ),V ′ (σf ) = 12Hf2U ′ (σf ).Òàêèì îáðàçîì,Hf2 =V (σf ),6U (σf )(5.23)182è ìû ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ äå ÑèòòåðàU ′(σf ) V ′ (σf )=.2U (σf )V (σf )(5.24)Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ìîäåëè ñ ïîòåíöèàëîìV (σ) = V0 U 2(σ),(5.25)ãäå V0 ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà, ïîëó÷àþòñÿ ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà ïðè ïðîèçâîëüíûì çíà÷åíèè σ .
Èç óðàâíåíèÿ (5.60) â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåìrrVV0 UHf = ±=±.(5.26)6U6åøåíèÿ äå Ñèòòåðà â ìîäåëÿõ ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, ìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèì ñ ãðàâèòàöèåé, ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî, åñëè ýòî ïîëå îêàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé.  ìîäåëÿõ ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìñêàëÿðíûì ïîëåì ðåøåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì ïàðàìåòðîì Õàááëà Hf ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è â ñëó÷àå íåïîñòîÿííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.  ýòîì ñëó÷àå ýåêòèâíàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ çàâèñèò îò âðåìåíè è ïîäîáíîå ðåøåíèå,õîòü è íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà, îòëè÷àåòñÿ îò ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà âÎÒÎ [166℄.Åñëè ïîëå σ çàâèñèò îò âðåìåíè, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîòåíöèàëà ìîæíîèñïîëüçîâàòü ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà1 . C ïîìîùüþ (5.10) ïîëó÷àåìZσF (σ) = Hf eΥ dσ̃ + c̃0 e−Υ .(5.27) ÷àñòíîñòè, äëÿ óíêöèè U , çàäàííîé (5.19), èìååì:F (σ) =1+2γ2γHfσ + c̃0 σ − 2γ .4γ + 1(5.28)åøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.6) ÿâëÿåòñÿ2γ 4γ+12c̃(4γ+1)0σ(t) = σ0 eHf t +,Hf γ1(5.29)Ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â ñòàòüå [360℄, ïðèâîäèò ê òåì æå ðåçóëüòàòàì, ÷òî ÿâíî ïîêàçàíî â [232℄.183ãäå σ0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.Åñëè c̃0 = 0, òî F (σ) ëèíåéíàÿ óíêöèÿ è ìû ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë ââèäå êâàäðàòè÷íîãî ïîëèíîìà:(3+16γ)(1+6γ)γσ2 .V = 2Hf2 3J +22(4γ + 1)(5.30)Îòìåòèì, ÷òî ïðè γ = −1/6 è γ = −3/16 ïîòåíöèàë V ñòàíîâèòñÿ êîíñòàíòîé.Ñëó÷àé γ = −1/4 ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
