Диссертация (1097926), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Íàïîìíèì, ÷òî áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð m2p = go2 MP2 /Ms2 . Îòìåòèì, ÷òîòîëüêî òðè èç ÷åòûð¼õ óðàâíåíèé (4.58)(4.60) íåçàâèñèìû.Ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ ò¼ìíîé ýíåðãèè wDE ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïàðàìåòð Õàááëà H ïî îðìóëå (4.1). Ïåðåñå÷åíèå áàðüåðà êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé wDE = −1 ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà Ḣ .Ïðåäëîæåííàÿ Àðåüåâîé ìîäåëü ò¼ìíîé ýíåðãèè [117℄ (ñì.
òàêæå [118,119, 216, 217, 222℄), ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íàøà Âñåëåííàÿ ìåäëåííî ðàñïàäàþùàÿñÿ D3-áðàíà, ðàñïàä êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ìîäîé òàõèîíà îòêðûòîé ñòðó150íû. Äëÿ îòêðûòîé åðìèîííîé NSR ñòðóíû ñ GSO− ñåêòîðîì [325, 326℄ èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåíèå ïîòåíöèàëà òàõèîííîãî ïîëÿ â âèäå "ìåêñèêàíñêîéøëÿïû" (ñì. îáçîðû [258, 259℄). Äâèæåíèå òàõèîíà èç íåñòàáèëüíîãî âàêóóìàê ñòàáèëüíîìó îïèñûâàåò, ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ñåíà [262℄, ïåðåõîä D-áðàíû âèñòèííûé âàêóóì. Ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ íåëîêàëüíûé ïîòåíöèàë ïàðàìåòðîì íåëîêàëüíîñòè, îïðåäåëÿåìûì ñòðóííûì ìàñøòàáîì.
Ïîñëå ïîäõîäÿùåãîïåðåîïðåäåëåíèÿ ïîëåé ïîòåíöèàë ìîæíî ñäåëàòü ëîêàëüíûì, ïðè ýòîì êèíåòè÷åñêèé ÷ëåí ñòàíîâèòñÿ íåëîêàëüíûì. Ýòîò íåñòàíäàðòíûé êèíåòè÷åñêèé÷ëåí ïðèâîäèò ê ïîâåäåíèþ, ïîäîáíîìó ïîâåäåíèþ àíòîìíîãî ïîëÿ, è ìîæåòáûòü ïðèáëèæåí àíòîìíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì.
Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèåòàõèîíà îòêðûòîé ñòðóíû ýåêòèâíî ìîäåëèðóåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîëåì ñ îòðèöàòåëüíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì [264℄. Îáðàòíàÿ ðåàêöèÿ áðàíû îïðåäåëÿåòñÿ äèíàìèêîé òàõèîíà çàìêíóòîé ñòðóíû, êîòîðàÿ ýåêòèâíî îïèñûâàåòñÿñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ξ ñî ñòàíäàðòíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì [329℄ è,âîçìîæíî, íåïîëèíîìèàëüíûì ñàìîäåéñòâèåì. Ïîñêîëüêó òî÷íàÿ îðìà âçàèìîäåéñòâèÿ îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ñòðóí íåèçâåñòíà, ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòåéøåå ïîëèíîìèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå.Îáðàòíàÿ ðåàêöèÿ áðàíû îïèñûâàåòñÿ äèíàìèêîé òàõèîíà çàìêíóòîéñòðóíû.
Ñêàëÿðíîå ïîëå ξ ñâÿçàíî ñ ñåêòîðîì çàìêíóòûõ ñòðóí [329℄. Åãîëîêàëüíîå îïèñàíèå ñîäåðæèò ñòàíäàðòíûé êèíåòè÷åñêèé ÷ëåí [330℄. Òàêèìîáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì êâèíòîìíóþ ìîäåëü3 .àññìîòðèì ëîêàëüíûå ìîäåëè ñ ýåêòèâíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè V (φ, ξ).  ñëó÷àå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ýåêòèâíàÿëîêàëüíàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò ÷¼òíûì ïîòåíöèàëîì ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè è èìååò ðåøåíèÿ òèïà êèíêà (4.23).  íåïëîñêîì ñëó÷àå äëÿ ñîõðàíåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãîâèäà ðåøåíèé íóæíî ðàññìîòðåòü ÷¼òíûé ïîòåíöèàë øåñòîé ñòåïåíè, ïåðåõîäÿùèé â ïðåäåëå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè â ïîòåíöèàë òèïà Õèããñà [217℄.Îòìåòèì, ÷òî êâèíòîìíûå ìîäåëè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è èç íåëîêàëüíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì [223℄.3151Òî÷íàÿ îðìà âçàèìîäåéñòâèÿ îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ñòðóí íåèçâåñòíà, ïîýòîìó ìû ïîñòóëèðóåì ïðîñòåéøåå ïîëèíîìèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå [216, 222℄.Ìû íàëàãàåì íà ïîòåíöèàë V (φ, ξ) ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ:• ïîòåíöèàë ïîëèíîì øåñòîé ñòåïåíè:V (φ, ξ) =6 X6−kXckj φk ξ j ;(4.61)k=0 j=0• ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì: V (φ, ξ) = V (−φ, −ξ);• êîýèöèåíòû ïðè 5-é è 6-é ñòåïåíÿõ èìåþò ïîðÿäîê 1/m2p , è â ïðåäåëåm2p → ∞ ïîëó÷àåòñÿ ïîòåíöèàë ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè.Èç ïîëåâîé òåîðèè ñòðóí ìû òàêæå ïðåäïîëîæèì àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ äëÿ ïîëåé.
Íàïîìíèì, ÷òî èìååòñÿ â âèäó ñëåäóþùàÿ êàðòèíà. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî àíòîìíîå ïîëå φ(t) ïëàâíî äâèæåòñÿ èç íåñòàáèëüíîãî âîçìóù¼ííîãî âàêóóìà (φ = 0) â íåâîçìóù¼ííûé è îñòàíàâëèâàåòñÿ â í¼ì. Äðóãèìèñëîâàìè, óíêöèÿ φ(t) îáðàùàåòñÿ â íóëü â íåêîòîðîé òî÷êå (ïóñòü φ(0) = 0)è ñòðåìèòñÿ ê íåíóëåâîé àñèìïòîòèêå ïðè t → +∞: φ(+∞) = A. Ïîëå ξ(t)ñîîòâåòñòâóåò çàìêíóòîé ñòðóíå è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè t → +∞.4.4.3. Ïðèìåíåíèå ñóïåðïîòåíöèàëà â êâèíòîìíûõ ìîäåëÿõÅñëè ÿâíàÿ îðìà ïîëåé φ(t) è ξ(t) çàäàíà, òî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4.59), ìû ïîëó÷àåì H(t) ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû:tZZt1 2H(t) =φ̇ (τ ) dτ − ξ˙2(τ ) dτ + C.22mp(4.62)Ïîòåíöèàë êàê óíêöèþ âðåìåíè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç H(t):V (t) =m2p23H(t) + Ḣ(t) .(4.63)Äàííàÿ îðìóëà ñîîòâåòñòâóåò îðìóëå (4.5) äëÿ îäíîïîëåâîé ìîäåëè.
Ýòîò ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà äëÿ çàäàííûõ ðåøåíèé ýåêòèâåíïðè ðàññìîòðåíèè îäíîïîëåâûõ ìîäåëåé è ìîäåëåé ñ ïîòåíöèàëîì â îðìå152V (φ, ξ) = eαξ V1 (φ) èëè V (φ, ξ) = eαφ V2(ξ), ãäå α êîíñòàíòà [331℄. Äëÿ äâóõïîëåâûõ ìîäåëåé ñ ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì äàííûé ìåòîä íå ñòîëü ýåêòèâåí, ïîñêîëüêó ñëîæíî íàéòè òðåáóåìûé âèä V (φ, ξ). Îòìåòèì, ÷òî âûøåóïîìÿíóòûé ìåòîä áåñïîëåçåí ïðè ïîèñêå íîâûõ ðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåííîãîïîòåíöèàëà.
Ïðèìåíèâ ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà, ìû ïîëó÷èì, ÷òî óíêöèè φ(t),ξ(t) è H(t) áóäóò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (4.58)(4.60) ïðè óñëîâèè, ÷òîñóïåðïîòåíöèàë W (φ, ξ) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:∂Wξ˙ = −2m2p,∂ξ2 2 !∂W∂W−.V = 3m2p W 2 + 2m4p∂φ∂ξφ̇ = 2m2p∂W,∂φ(4.64)(4.65)Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ðàçäåëÿåò ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.58)(4.60) íà äâå÷àñòè: ñèñòåìó (4.64), êîòîðàÿ, êàê ïðàâèëî, èíòåãðèðóåìà ïðè çàäàííîì ïîëèíîìå W (φ, ξ), è óðàâíåíèå (4.65), êîòîðîå íå èíòåãðèðóåìî, åñëè V (φ, ξ) ïîëèíîì, íî èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäå ïîëèíîìîâ.
Ñòàíäàðòíûé ñïîñîá ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà íå ïðåäïîëàãàåò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.65).Ïîòåíöèàë V (φ, ξ) ñòðîèòñÿ ïî çàäàííîìó W (φ, ξ). äâóõïîëåâûõ ìîäåëÿõ ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ñïîñîáñòâóåò íàõîæäåíèþ íîâûõ ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (4.64) îðìèðóþò ñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿäêà.
Åñëè ýòà ñèñòåìà èíòåãðèðóåìà, òî ìû ïîëó÷àåì äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ôèêñàöèÿ ÿâíîãî âèäà ïîëåé φ(t) è ξ(t) ðàâíîñèëüíà çàäàíèþ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé. Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ïîçâîëÿåò îáîáùèòü ýòî ìíîæåñòâî ðåøåíèé äîäâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäàìîæíî ñòðîèòü ðàçëè÷íûå îðìû ïîòåíöèàëà, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíèì è òåìæå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâàì ðåøåíèé.Èäåÿ ðàññìîòðåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà êàê óíêöèè ñêàëÿðíûõ ïîëåé èïðåîáðàçîâàíèÿ (4.58)(4.60) â ñèñòåìó (4.64), (4.65) èñïîëüçóåòñÿ â îðìóëèðîâêå àìèëüòîíàßêîáè óðàâíåíèé Ôðèäìàíà [188, 189℄ è íå ñâÿçàíà ñ òåîðè153ÿìè ñóïåðñèììåòðèè è ñóïåðãðàâèòàöèè.  òî æå âðåìÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íàèäåå èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (4.64)(4.65)âìåñòî èñõîäíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, àêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ â äâóõìåðíûõ ïîëåâûõ ìîäåëÿõ [332℄ è ñóïåðãðàâèòàöèè [202℄.
Óðàâíåíèÿ (4.64) èçâåñòíû êàêóðàâíåíèÿ Áîãîìîëüíîãî [333℄ (ñì. òàêæå ðàáîòó [332℄). Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé è åñòåñòâåííûì ðàñøèðåíèåì ýòèõ äâóõ ìåòîäîâ. Îíàêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ â êîñìîëîãèè [188200, 216, 217, 222, 225, 232℄.4.4.4. àçëè÷íûå ïîòåíöèàëû ñ îäèíàêîâûìè ðåøåíèÿìè ýòîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, ÷òî ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðàçëè÷íûå îðìû ïîòåíöèàëà V (φ, ξ) äëÿ îäíèõ è òåõ æå φ(t), ξ(t)è H(t).Èñïîëüçóÿ àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ, ïðåäïîëîæèì ñëåäóþùóþ ÿâíóþîðìó ïîëåé:pA 2(1 + b)ξ(t) =,cosh(ωt)φ(t) = A tanh(ωt),(4.66)ïðè÷¼ì A > 0, ω > 0 è b > −1. Îòìåòèì, ÷òî ýòè ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ðåøåíèé òèïà êèíêà, ïîëó÷åííûõ â îäíîïîëåâîé àíòîìíîéìîäåëè [217℄.Ïîñòðîèì ïîòåíöèàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëÿì (4.66).
Ôóíêöèè φ è ξ ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ íåçàâèñèìûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:sω 2ξ2˙φ̇ = Aω − φ ,ξ = ωξ 1 −.A2(1 + b)A2Ïðÿìîå èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà äà¼òs∂Wω1 2∂Wωξξ2=A−φ,=−1−.∂φ2m2pA∂ξ2m2p2(1 + b)A2(4.67)(4.68)Ñëåäîâàòåëüíî,H≡W ="3ωφ3Aφ−−6m2pAsb)A2(2(1 +−2(1 + b)A2ξ 2 )3#+ Hf ,(4.69)154ãäå Hf ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. àçëè÷íûå çíà÷åíèÿ Hf ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì V (φ, ξ).
Ïîëó÷åííûå ïîòåíöèàëû 2242 2(A−φ)ξξ− ++ 3m2p W 2V = ω222A24(1 + b)A(4.70)ïîëèíîìèàëüíû òîëüêî â ñëó÷àå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè (m2p = ∞) èíå óäîâëåòâîðÿþò íàëîæåííûì óñëîâèÿì. ×òîáû ïîñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíûéïîòåíöèàë, ìû èñïîëüçóåì òîò àêò, ÷òî óíêöèè (4.66) óäîâëåòâîðÿþò íåòîëüêî óðàâíåíèÿì (4.67), íî òàêæå è ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé: 2φωξ 2˙ = − ω φ ξ.−1+,ξφ̇ = AbωA22AA(4.71)Ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòð Õàááëà (ñóïåðïîòåíöèàë) è ïîòåíöèàë èìåþòâèä: 22 φξωφf=Ab−1 +,H=W(4.72)2m2p3A22A2 22 22 2 2 2ω1ω3ωφφξ2222Ve =b(φ − 1) + ξ−φξ +Ab−1 +.
(4.73)222A24m2p3A22A×òîáû ïîëó÷èòü ÷¼òíûé ïîòåíöèàë, ìû ïîëîæèëè Hf = 0.Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî îäèíàêîâûå óíêöèè φ(t), ξ(t) è H(t) ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì ïîòåíöèàëàì V (φ, ξ). Êðîìå òîãî,ðåøåíèÿ íå èçìåíÿòñÿ ïðè äîáàâëåíèè ê ïîòåíöèàëó Ve (èëè V ) ëþáîé óíêöèè δV òàêîé, ÷òî δV , ∂(δV )/∂φ è ∂(δV )/∂ξ ðàâíû íóëþ íà ðåøåíèÿõ.
Íàïðèìåð,δV = K(φ, ξ) φ2 +21ξ 2 − A2 ,2(1 + b)(4.74)ãäå K(φ, ξ) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé óíêöèåé.4.4.5. Êâèíòîìíàÿ ìîäåëü ñ ïîòåíöèàëîì 6-îé ñòåïåíèàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîìèàëüíûé ñóïåðïîòåíöèàë W (φ, ξ),îïðåäåëÿþùèé ïîòåíöèàë âèäà (4.61) ïî îðìóëå (4.56).
Î÷åâèäíî, ÷òî W (φ, ξ)155äîëæåí áûòü ïîëèíîìîì òðåòüåé ñòåïåíè ñëåäóþùåãî âèäà:1113322a1,0 φ + a3,0φ − a0,1 ξ − a0,3 ξ − a2,1 φ ξ + a1,2φξ , (4.75)W3 (φ, ξ) =2m2p33ãäå ai,j êîíñòàíòû. Äëÿ W3 ïîëó÷àåì ñèñòåìó (4.55) â ñëåäóþùåì âèäå:φ̇ = a1,0 + a3,0 φ2 − 2a2,1φξ + a1,2ξ 2 ,ξ˙ = a0,1 + a0,3 ξ 2 + a2,1φ2 − 2a1,2φξ.(4.76)Èñïîëüçóÿ àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ: φ(+∞) = A, ξ(+∞) = 0, φ̇(+∞) = 0 è˙ξ(+∞)= 0, ïîëó÷àåìa1,0 = − a3,0A2 ,a0,1 = − a2,1 A2.(4.77)Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (4.76) ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäåφ̇ = a3,0 (φ2 − A2 ) − 2a2,1 φξ + a1,2 ξ 2,ξ˙ = a2,1 (φ2 − A2 ) + a0,3ξ 2 − 2a1,2φξ.(4.78)Ñóïåðïîòåíöèàë W èìååò âèäW =1 222223−φ+3aξ−φ−aφ3A+3aφξA−aξ.3,01,22,10,36m2p(4.79)Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïîòåíöèàë V óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì è ñîîòâåòñòâóåò ïîëèíîìèàëüíîìó ñóïåðïîòåíöèàëó, à òàêæå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿíà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîëåé, òî ïîòåíöèàë èìååò ñëåäóþùèé âèä:21−a3,0A2 + a3,0 φ2 − 2a2,1φξ + a1,2 ξ 2 −221− a2,1 (φ2 − A2) − 2a1,2φξ + a0,3 ξ 2 +21222223 2+aφ(3A−φ)−3aξ(A−φ)−3aφξ+aξ.3,02,11,20,312m2pV =(4.80)Îòìåòèì, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ïîòåíöèàë ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç àíàëèçà àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà.
Ïîñêîëüêó2H∞A3 a3,0= −,3m2p(4.81)156òî ïðè A > 0 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå a3,0 < 0.àçëîæèì óíêöèè φ(t) è ξ(t) â àñèìïòîòè÷åñêèå ðÿäûφ(t) = A + f (t) + ...,ξ(t) = g(t) + ...,(4.82)ãäå f (t) ≪ A, g(t) ≪ A è îòíîøåíèå f (t)/g(t) ñ÷èòàåòñÿ ïîðÿäêà åäèíèöû.Ïðåäïîëàãàÿ ïîäîáíîå ðàçëîæåíèå, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîåðàçëîæåíèå ïàðàìåòðà Õàááëà:a3 a3,0a22+af(t)−2af(t)g(t)+ag(t).Has = −3,02,11,23m2p2m2p(4.83)Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîé êâàäðàòè÷íîé îðìû óíêöèé f è gq1λH,1 =a1,2 + a3,0 + (a1,2 − a3,0 )2 + 4a2,1 ,2q12λH,2 =a1,2 + a3,0 − (a1,2 − a3,0 ) + 4a2,12îïðåäåëÿþò, ñòðåìèòñÿ ëè H(t) ê ñâîåé àñèìïòîòèêå, óáûâàÿ (λH,1 > 0 è λH,2 >0) èëè âîçðàñòàÿ (λH,1 < 0 è λH,2 < 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
