Диссертация (1097926), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Åäèíñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåp6∈ R,q(6.42)êîòîðîå ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ di 6= 0. Ïðè âûïîëíåíèè äàííîãî óñëîâèÿ óðàâíåíèå (6.41) íåèíòåãðèðóåìî [382, 450℄, è åãî îáùåå ðåøåíèå, êîòîðîå äîëæíîçàâèñåòü îò òð¼õ ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ, íå èçâåñòíî.Ñ ïîìîùüþ àíàëèçà Ïåíëåâå [450℄ è òîïîëîãè÷åñêèõ àðãóìåíòîâ [448℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò îäíîãî ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà. Óðàâíåíèå (6.41) àâòîíîìíî, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ïàðàìåòð ξ0 ∈ C: åñëè M = f (ξ) ðåøåíèå, òî è M = f (ξ − ξ0 ) äîëæíî áûòüðåøåíèåì.Ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé áûëè íàéäåíûâ [184, 382, 447℄. Âñå èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6.37) ýëåìåíòàðíûåóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ âûðîæäåííûìè ñëó÷àÿìè ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé.
Èõïîëíûé ñïèñîê ïðåäñòàâëåí â [208, 209℄.242Ñèñòåìà (6.37) âêëþ÷àåò ñåìü ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ, íåêîòîðûå èçíèõ ìîãóò áûòü çàèêñèðîâàíû áåç ïîòåðè îáùíîñòè. Ïðåæäå âñåãî çàìåíèì÷èñëàìè ïàðàìåòðû sr è si . Èç óñëîâèÿ p 6∈ R (ñëó÷àé äåéñòâèòåëüíûõ p ìûðàññìàòðèâàåì îòäåëüíî) ñëåäóåò: si 6= 0. Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèéc̃ = ̟c,s̃i =si,̟s̃r = τ sr ,s̃r = −110ψ̃ = ψ −csr(1 − τ ̟)2(6.43)ìîæíî ïîëîæèòüès̃i = −3.10(6.44)Èíâàðèàíòíîñòü ñèñòåìû (6.37) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéM̃ = µM,did˜i = ,µdrd˜r =µ(6.45)ïîçâîëÿåò çàèêñèðîâàòü dr èëè di .
Ñëåäóÿ [209℄, ìû çàèêñèðóåì çíà÷åíèå dr .Íàøå îãðàíè÷åíèå (6.42) íå äà¼ò íèêàêîé èíîðìàöèè î dr , òàê ÷òî ìû äîëæíûðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: dr = 0 è dr 6= 0 îòäåëüíî. Èíâàðèàíòíîñòü ñèñòåìû(6.37) îòíîñèòåëüíî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ξïîçâîëÿåò çàèêñèðîâàòü òàêæå gi èëè gr , íî, ñëåäóÿ [208, 209℄, ìû îñòàâëÿåìèõ ïðîèçâîëüíûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü íóëåâûå è íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ îäíîâðåìåííî. Ìû íå îãðàíè÷èâàåìñÿ ñëó÷àåì c = 0 èäîêàçûâàåì íåñóùåñòâîâàíèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé êàê â âèäå áåãóùèõ, òàêè â âèäå ñòîÿ÷èõ âîëí.6.5.2. åøåíèÿ â âèäå îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà è òåîðåìàâû÷åòîâ×òîáû äîêàçàòü îòñóòñòâèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ó ñèñòåìû (6.37), ìûáóäåì èñïîëüçîâàòü å¼ ðåøåíèÿ â âèäå îðìàëüíîãî ðÿäà Ëîðàíà.
Òî÷íåå, ìûáóäåì èñïîëüçîâàòü òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êîýèöèåíòîâ ðÿäà, ïîýòîìó ìûíå íóæäàåìñÿ â èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà. Èçâåñòíî [208, 209, 382℄,÷òî ó ñèñòåìû (6.37) è óðàâíåíèÿ (6.41) ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî äâà òèïà243ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà. Ýòè ðåøåíèÿ çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîãî ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà ξ0 , êîòîðûé îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå ñèíãóëÿðíîé òî÷êè. Âñèíãóëÿðíûõ òî÷êàõ ψ è M ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè êàê 1/t è 1/t2 ñîîòâåòñòâåííî. Ìû îáîçíà÷èì ðàçëè÷íûå ðÿäû Ëîðàíà äëÿ óíêöèè ψ êàêψ1 =∞Xk=−1Ck (ξ − ξ0 )kèψ2 =∞Xk=−1Dk (ξ − ξ˜0 )k(6.46)ñ C−1 6= 0 è D−1 6= 0.Âñå âîçìîæíûå ðàçëîæåíèÿ â îêðåñòíîñòè ïîëþñîâ íåèçâåñòíîé óíêöèèψ(ξ) ëåãêî ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà ÀáëîâèöààìàíèÑåãóðà [180℄ òåñòà Ïåíëåâå [175℄.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïîñòîÿííàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿψ(ξ).
Ïîäîáíàÿ óíêöèÿ äîëæíà èìåòü ïîëþñà, ïðè÷¼ì îáîèõ òèïîâ. Ïóñòüψ(ξ) â íåêîòîðîì ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ èìååò N1 + N2 ïîëþñîâ, ïðè÷¼ìâ îêðåñòíîñòè N1 ïîëþñîâ ðÿä Ëîðàíà ðàâåí ψ1 , à â îêðåñòíîñòè N2 ïîëþñîâ ψ2 . Èç òåîðåìû âû÷åòîâ ïîëó÷àåì, ÷òîN1 = −D−1N2 .C−1(6.47)Åñëè ψ(ξ) ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ, òî è ψ k , ãäå k ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äîëæíû áûòü ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè. Îíè òàêæå èìåþò N1ñèíãóëÿðíûõ òî÷åê, â îêðåñòíîñòè êîòîðûõ ðàçëàãàþòñÿ â ðÿä Ëîðàíà ψ1k , è N2òî÷åê ñ ðàçëîæåíèåì âèäà ψ2k . ×òîáû âû÷èñëèòü âû÷åòû ψ1k (ψ2k ), äîñòàòî÷íîçíàòü k âåäóùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà Ëîðàíà ψ1 (ψ2 ).
Òåîðåìà âû÷åòà äëÿ óíêöèéψ(ξ)k äà¼ò àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ íà êîýèöèåíòû ðÿäîâ ψ1 è ψ2 . Äàííûåðÿäû çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (6.37) è òîëüêî îò íèõ, ñëåäîâàòåëüíî,ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýèöèåíòîâ ñèñòåìû (6.37), ïðè êîòîðûõ îíà ìîæåò èìåòü ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ.Íàïðèìåð, åñëè ìû òðåáóåì, ÷òî óíêöèÿ ψ 2 ýëëèïòè÷åñêàÿ, òî, èñïîëüçóÿ(6.47), ïîëó÷àåì óðàâíåíèåC0 = D0 .(6.48)244Àíàëîãè÷íî èç òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû ψ 3 , ψ 4 è ψ 5 áûëè ýëëèïòè÷åñêèìèóíêöèÿìè, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íà Ck è Dk :C1C−1 + C02 = D1 D−1 + D02 , C C 2 + 3C C C + C 3 = D D2 + 3D D D + D3 ,21−10−120−110−10322C3C−1+ 4C2C0 C−1+ 2C12C−1+ 6C−1C02C1 + C04 = = D D3 + 4D D D2 + 2D2 D2 + 6D D2 D + D4 .3 −12 0 −11 0 −11 −10(6.49)Ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äëÿ ψ 7 ïðè C0 = 0,C2 = 0, C4 = 0, D0 = 0, D2 = 0 è D4 = 0:543543C5C−1+ 6C3C1 C−1+ 5C13C−1= D5 D−1+ 6D−1D3 D1 + 5D13 D−1.(6.50)Ìû âû÷èñëèëè âû÷åòû óíêöèé ψ k ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ydegree èç ïàêåòà Maple ïðîöåäóð [237, 238℄ (ñì.
Ïðèëîæåíèå 3), ðåàëèçóþùåãî àëãîðèòì ÊîíòàÌóçåòòå ïîñòðîåíèÿ îäíîçíà÷íûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì [208℄.Èç (6.39) ñëåäóåò, ÷òî, åñëè M ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ, òî è ψ äîëæíàáûòü ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé èëè êîíñòàíòîé. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû(6.37) ñëåäóåò, ÷òî, åñëè ψ(ξ) êîíñòàíòà, òî M(ξ) íå ìîæåò áûòü ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé, ïîýòîìó M(ξ) ìîæåò áûòü íåòðèâèàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîéóíêöèåé, òîëüêî åñëè ψ(ξ) èìååò ïîëþñà. Ïîýòîìó, åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî ψíå ìîæåò áûòü ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé, ìû îäíîâðåìåííî äîêàæåì, ÷òî è Míå ìîæåò áûòü ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé.6.5.3. Íåñóùåñòâîâàíèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèéÑëó÷àédr = 0.àññìîòðèì ñèñòåìó (6.37) ñdr = 0,sr = −110èsi = −3.10(6.51)Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðåøåíèé (6.37) â âèäå ðÿäà Ëîðàíà (ìû ïîëàãàåì245ξ0 = ξ˜0 = 0)è√√2 c( 2 + 1)−+ O(ξ),ψ̆1 =ξ20√ 3 2 11M̆1 =−+ O(1)diξ 2 10ξ√√2 c( 2 − 1)ψ̆2 = −++ O(ξ),ξ20√ 3 2 11−+ O(1).M̆2 = −diξ 2 10ξ(6.52)(6.53)(6.54)(6.55)√ √Èç (6.47) ïîëó÷àåì N1 = N2 .
Âû÷åòû ψ̆12 ðàâíû −2 2c( 2 + 1)/20, òî√ √ãäà êàê âû÷åòû ψ̆22 ðàâíû −2 2c( 2 − 1)/20. Èç (6.48) ñëåäóåò, ÷òî ñóììàâû÷åòîâ óíêöèè ψ 2 ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà c = 0. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè îòñóòñòâèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå áåãóùèõ âîëí.Îòìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ýòîò ðåçóëüòàò, èñïîëüçîâàâ òîëüêî ïî äâà ïåðâûõêîýèöèåíòà ðÿäîâ Ëîðàíà ψ1 è ψ2 .  ñëó÷àå c = 0 ìû äîëæíû ïðèìåíèòüòåîðåìó âû÷åòîâ äëÿ ψ3 è ψ4 , ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû âû÷èñëèòü ïî ÷åòûðåêîýèöèåíòà â êàæäîì èç ðÿäîâ (äâà èç íèõ íóëè ïðè c = 0)√21 √ψ̆1 =+0+5 2gi − gr ξ + 0 ξ 2 + O(ξ 3 )ξ21è(6.56)√21 √ψ̆2 = −+0−5 2gi + gr ξ + 0 ξ 2 + O(ξ 3 ).(6.57)ξ21Èç ïåðâîãî è âòîðîãî óðàâíåíèé ñèñòåìû (6.49) ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèèψ 3 è ψ 4 óäîâëåòâîðÿþò òåîðåìå âû÷åòîâ òîëüêî ïðègi = 0ègr = 0. ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ (6.56) è (6.57) äàþò√√23 2ψ̆1 (ξ) =,M̆1 (ξ) =ξdi ξ 2è√2,ψ̆2(ξ) = −ξ√3 2M̆2 (ξ) = −.di ξ 2(6.58)(6.59)(6.60)246Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà ýòèõ óíêöèé â ñèñòåìó (6.37) ñ c = 0, dr = 0, gr = 0è gi = 0 äîêàçûâàåò, ÷òî îíè òî÷íûå ðåøåíèÿ.
Òàê êàê êîýèöèåíòû ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà èêñèðîâàíû (ò.å. íå âêëþ÷àþò ïðîèçâîëüíûåïàðàìåòðû), òî ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè îäíîçíà÷íûìèðåøåíèÿìè, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó íå èìååò ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé è ïðè gr = gi = 0. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ÷òî ïðèdr = 0 óíêöèÿ M(ξ) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.41) íå ìîæåò áûòü ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé.Ñëó÷àédr 6= 0. ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ1dr = ,2sr = −110èsi = −3.10(6.61)×òîáû óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ, ìû, ñëåäóÿ [209℄, âûðàçèì di ÷åðåç íîâûéäåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð β :p3 β2 − 1√di = ±,4 2β > 1.(6.62)Åñëè di > 0 (çíàê ïëþñ â (6.62)), òî ñèñòåìà (6.37) èìååò ñëåäóþùèåðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà Ëîðàíà:!p√2(β + 1) −1cβ 211√ψ̃1 = pξ −++ O(ξ),102(β − 1) 2β2 − 1!p√22(β − 1) −1cβ −11√ψ̃2 = − pξ +−+ O(ξ).102(β + 1) 2β2 − 1(6.63)(6.64)Åñëè ñóùåñòâóþò N1 ðÿäîâ Ëîðàíà òèïà ψ̃1 è N2 ðÿäîâ Ëîðàíà òèïà ψ̃2 ,òî (6.47) äà¼òβ−1N2 .(6.65)β+1Òåîðåìà âû÷åòîâ äëÿ ψ 2 , óðàâíåíèå (6.48), äà¼ò cβ = 0.
Èñïîëüçóÿ óñëîâèåN1 =β > 1, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî c äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ, òàê ÷òî ìû ïîâòîðèëè ãëàâíûé ðåçóëüòàò ñòàòüè [209℄: óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó íå èìååò247ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå áåãóùåé âîëíû. Îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåíèåóðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ïîëåçíîñòü ïðåäëîæåííîé íàìè ìîäèèêàöèè ìåòîäà ÊîíòåÌþçåòòû, ïîñêîëüêóåñòü âîçìîæíîñòü ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû àíàëèçà ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñäåëàííîãîíàìè [219℄, ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû Õîíà [209℄, â êîòîðîé ìåòîä ÊîíòåÌþçåòòûáûë èñïîëüçîâàí â ïåðâîíà÷àëüíîì âàðèàíòå.Ìû ïîêàçàëè, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ðÿäà Ëîðàíà ψ(ξ) âìåñòî ðÿäà ËîðàíàM(ξ) ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðîâåäåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáîâàëîñü âû÷èñëèòü âñåãî ïî 2 êîýèöèåíòà êàæäîãîèç ðÿäîâ ψ1 è ψ2 , òîãäà êàê ïðè èñïîëüçîâàíèè ðÿäîâ Ëîðàíà óíêöèè M(ξ)òðåáóåòñÿ çíàíèå 16 êîýèöèåíòîâ (ïî 8 äëÿ êàæäîãî ðÿäà) [209℄.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðÿäà Ëîðàíà ψ(ξ) äîñòàòî÷íî èñõîäíîé ñèñòåìû, òàêèì îáðàçîì, ìîæíîñäåëàòü âûâîä, ÷òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà (6.37) ñîäåðæèò áîëüøå èíîðìàöèè äëÿäîêàçàòåëüñòâà îòñóòñòâèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ÷åì ðàâíîñèëüíîå åé óðàâíåíèå (6.41). àññìîòðåíèå ñëó÷àÿ c = 0 òîëüêî óñèëèâàåò äàííûé âûâîä.àññìîòðèì ðåøåíèÿ â âèäå îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà ïðè c = 0:p√2βgr − 5gr − 5 2(β − 1)gi2 (β + 1) −1pψ̃1 =ξ −ξ+3(7 β + 5)β2 − 11+32(β 2 − 1)(β − 8)gigr +290(β + 1)(7β + 5)q+ 2(β 2 − 1) 122(β 2 − 1)gi2 + (11β 2 − 34β + 61)gr2 ξ 3 ++β−124gi2gr (β − 1)(β + 1)(147β 2 +31890(β + 1)(3β + 1)(7β + 5)+ 934β + 775) − 4gr3(231β 4 + 656β 3 − 18β 2 − 552β − 445) +q+ gi 2(β 2 − 1) 20gi2(β 2 − 1)(399β + 349) −− 3gr2(483β 3 − 473β 2 − 2823β − 2435)ξ 5 + O(ξ 7 ),(6.66)248èp√2βgr + 5gr + 5 2(β − 1)gi2 (β − 1) −1pψ̃2 = −ξ −ξ+3(7 β − 5)β2 − 1132(β 2 − 1)(β + 8)gigr ++290(β + 1)(7β + 5)q+ 2(β 2 − 1) 122(β 2 − 1)gi2 − (11β 2 − 34β − 61)gr2ξ3 ++β+124gi2gr (β 2 − 1)(147β 2 −31890(3β − 1)(β − 1)(7β − 5)(6.67)− 934β + 775) − 4gr3(231β 4 − 656β 3 − 18β 2 + 552β − 445) −q− gi 2(β 2 − 1) 20gi2(β 2 − 1)(399β − 349) −−3gr2(483β 3 + 473β 2 − 2823β + 2435)ξ 5 + O(ξ 7).Âû÷åòû óíêöèé ψ 2 , ψ 4 è ψ 6 ðàâíû íóëþ ïðè c = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ êîýèöèåíòû ðÿäîâ Ëîðàíà ψ̃1 è ψ̃2 , ìû ïðåîáðàçîâûâàåì ñèñòåìó (6.49) â àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó íà β , gi è gr . Ýòà ñèñòåìà ñëèøêîì ãðîìîçäêà, ÷òîáû áûòüïðåäñòàâëåííîé çäåñü, íî ìîæåò áûòü ëåãêî ðåøåíà ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, íàïðèìåð, Maple èëè REDUCE. Óñëîâèå β > 1 îñòàâëÿåòòîëüêî îäíî ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû:gr = 0,gi = 0.(6.68) ñëó÷àå di < 0 ìû òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òî èç òåîðåìû âû÷åòîâ ñëåäóåògr = 0 è gi = 0. àññìîòðèì ñèñòåìó (6.37) ñ íóëåâûìè çíà÷åíèÿìè c, gi è gr ,dr = 1/2 è ïðîèçâîëüíûì (îòëè÷íûì îò íóëÿ) çíà÷åíèåì di: 2MM ′′ − M ′ 2 − 4M 2 ψ 2 + 2M 3 = 0, Mψ ′ + M ′ ψ + d M 2 = 0.iÏðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà ïîêàçûâàåò, ÷òî óíêöèèpp23 3 + 9 + 32di3 + 9 + 32d2iψ̃1(ξ) =,M̃1 (ξ) =4diξ4d2i ξ 2(6.69)249è3−p32d2ip3 3 − 9 + 32d2i9+,M̃2 (ξ) =4diξ4d2i ξ 2ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (6.69). Ýòà ñèñòåìà íå èìååò íèêàêèõψ̃2(ξ) =äðóãèõ îäíîçíà÷íûõ ðåøåíèé, ñëåäîâàòåëüíî, íåâîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â ñëó÷àå dr 6= 0 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
 íàøèõ âû÷èñëåíèÿõ ìû ïðèíèìàåì, ÷òî si 6= 0.  òî æå âðåìÿ íàøè ðåçóëüòàòû äîêàçûâàþò îòñóòñòâèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé è â ñëó÷àå si = 0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëèc = 0, òî ñëó÷àè ñ si = 0 è si 6= 0 ñîâïàäàþò, à ïðåîáðàçîâàòü ñëó÷àé {si = 0,c 6= 0 } â ðàññìîòðåííûé ñëó÷àé {si 6= 0, c = 0 } ìîæíî ïðîñòûì äîáàâëåíèåìïîñòîÿííîé ê ψ(ξ).6.6. Ïîèñê ðåøåíèé óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîéñòåïåíè6.6.1. Óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíèÌåòîä, ïðèìåí¼ííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îòñóòñòâèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ìîæåò òàêæå ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé [221, 238℄.àññìîòðèì óðàâíåíèå èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì è àêòèâíî ïðèìåíÿåìûì â èçèêå [439, 448℄ îáîáùåíèåìèñõîäíîãî êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó è èìååò ñëåäóþùèé âèäiAt + pAxx + q|A|2 A − iγA + r|A|4 A = 0,(6.70)ãäå p, q, r ∈ C è γ ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
