Диссертация (1097926), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ñâîéñòâà ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèéÔóíêöèÿ ̺(z) êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z íàçûâàåòñÿ äâàæäû ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé, åñëè ñóùåñòâóþò äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà ω1 è ω2 , òàêèå, ÷òîäëÿ ïðîèçâîëüíîãî z ∈ C âûïîëíÿåòñÿ̺(z) = ̺(z + ω1 ) = ̺(z + ω2),à îòíîøåíèå ω1 /ω2 íå ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì ÷èñëîì.Ïî îïðåäåëåíèþ äâàæäû ïåðèîäè÷åñêàÿ ìåðîìîðíàÿ óíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèåé [280, 436℄. ×èñëà ω1 è ω2 îïðåäåëÿþò ïàðàëëåëîãðàììû ïåðèîäîâ ñ âåðøèíàìè z0 , z0 + N1 ω1 , z0 + N2 ω2 è z0 + N1 ω1 + N2 ω2 ,ãäå N1 è N2 ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à z0 ïðîèçâîëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî.
Êëàññè÷åñêèå òåîðåìû äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé (ñì., íàïðèìåð [280, 436℄) äîêàçûâàþò, ÷òî• Åñëè ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ íå èìååò ïîëþñîâ, òî îíà ïîñòîÿííà.• ×èñëî ýëëèïòè÷åñêèõ ïîëþñîâ óíêöèè â ïðåäåëàõ ëþáîãî êîíå÷íîãîïàðàëëåëîãðàììà ïåðèîäîâ êîíå÷íî.• Ñóììà âû÷åòîâ â ïðåäåëàõ ëþáîãî êîíå÷íîãî ïàðàëëåëîãðàììà ïåðèîäîâðàâíà íóëþ (òåîðåìà âû÷åòîâ).• Åñëè ̺(z) ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ, òî ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿîò ̺(z) è å¼ ïðîèçâîäíûõ òîæå ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ.Êîëè÷åñòâî ïîëþñîâ ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèè â ïàðàëëåëîãðàììå ïåðèîäîâ íàçûâàþò ïîðÿäêîì ýëëèïòè÷åñêîé óíêöèè.
Ïîëþñà ñëåäóåò ñ÷èòàòü ñó÷¼òîì èõ ïîðÿäêîâ.275À.3. Ïðîöåäóðû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû,àâòîìàòèçèðóþùèå ïîèñê ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèéíåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìÑèñòåìàòè÷åñêèé ïîèñê ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Âû÷èñëåíèÿ, ðåçóëüòàòûêîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû â ëàâå 6, áûëè ñäåëàíû ñ ïîìîùüþ ïàêåòîâ ïðîöåäóðû, íàïèñàííûõ íà ÿçûêàõ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple è REDUCE. Íàïèñàííûå íà ÿçûêå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple [418℄ ïðîöåäóðû ñîñòàâëÿþòïàêåò ellipaso (ellipti partiular solutions) è ïðèâåäåíû â [220℄, åãî ïåðâûé âàðèàíò, ïîçâîëÿþùèé íàõîäèòü òîëüêî îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ äàí â [237℄.
 ýòîìïðèëîæåíèè îïèñàí ïîðÿäîê ðàáîòû ñ äàííûì ïàêåòîì, äîñòóïíûì íà ñàéòåàâòîðà (Vernov S.Yu., Pakages of Proedures for Maple 9 ('ellipso') and REDUCE3.7, 2005, http://theory.sinp.msu.ru/svernov/programs/ ).àññìîòðèì ïàêåò ïðîöåäóð, ïîçâîëÿþùèé ïîñòðîèòü óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà âèäà (6.5) ñ ðåøåíèåì â âèäå ðÿäà Ëîðàíà, äëÿ êîòîðîãî çàäàíîêîíå÷íîå ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ:y=NmaxXc(k)tk ,(À.4)k=−pãäå p è Nmax ñóòü íåêîòîðûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Îáùèé âèä èñêîìîãî óðàâíåíèÿ çàäà¼òñÿ îðìóëîé [208, 395℄:F (yt , y) ≡m j<=(m−k)(p+1)/pXXk=0hj,k y j ytk = 0,h0,m = 1.(À.5)j=0 îñîáîé òî÷êå ytm ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè êàê 1/tm(p+1), ÷òî ïîçâîëÿåòðàçëîæèòü óíêöèþ F (yt , y) â ðÿä Ëîðàíà, íà÷èíàþùåãîñÿ ÷ëåíîâ:F (yt, y) =Nmax −m(p+1)+pXs=−m(p+1)Ksts(À.6)276è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàòü (À.5) â ïåðåîïðåäåë¼ííóþ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ks = 0 íà êîýèöèåíòû hi,j .Íàïèñàííûé íà Maple ïàêåò ïðîöåäóð âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå îñíîâíûå ïðîöåäóðû.
Ïðîöåäóðà equalist(h, m, p) ñòðîèò ñïèñîê, ñîîòâåòñòâóþùèéóðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà (À.5) ñ íåèçâåñòíûìè êîýèöèåíòàìè hi,j , ïàðàìåòð m çàäà¼ò ñòàðøóþ ñòåïåíü ïðîèçâîäíîé â óðàâíåíèè (À.5). Ïðîöåäóðàquvar(m, p) ïîäñ÷èòûâàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ êîýèöèåíòîâ hi,j . Ïðîöåäóðàequlaurlist(h, m, p, ove, c) ïðåîáðàçóåò äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ñèñòåìóàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñòðîèò ïåðâûå quvar(m, p) + ove óðàâíåíèÿ ýòîéñèñòåìû, ïàðàìåòð ove ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì.Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî c(−p) 6= 0, ìîæíî èñêëþ÷èòü íåêîòîðûå íåèçâåñòíûåhi,j èç ïîëó÷åííîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ëèíåéíà ïî âñåì hi,j .
Ïðîöåäóðà simlequa(f list, h, m, p) îïðåäåëÿåò hi,j , êîòîðûå ëåãêî èñêëþ÷èòü. Äàííàÿ ïðîöåäóðà óïðîùàåò ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðóþ òðåáóåòñÿ ðåøèòü.Âåñü ïàêåò ïðîöåäóð äîñòóïåí â èíòåðíåòå è ïîçâîëÿåò ðàáîòàòü íå òîëüêî ñ ðÿäàìè Ëîðàíà, íî ñ ðÿäàìè Ïþèç¼. Ïóñòü çàäàí ðÿäy=∞Xc(k)tk ,(À.7)k=−pãäå p ëèáî öåëîå, ëèáî åäèíèöà, äåë¼ííàÿ íà öåëîå.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñóììèðîâàíèå èä¼ò ñ øàãîì p. Êîíñòàíòû c(k) èçâåñòíû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû (6.5) èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà Ëîðàíà. Ïðè ýòîì èçâåñòíîñòü c(k) íå ïðåäïîëàãàåò, ÷òî îíè äîëæíû áûòü çàäàíû äëÿ êîððåêòíîéðàáîòû ïðîöåäóð. Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.5) â âèäå óíêöèèîò y è yt :F (yt , y) ≡m j<=(m−k)(p+1)/pXXk=0hjk y j ytk = 0,h0m = 1.(À.8)j=0 òî÷êå ñèíãóëÿðíîñòè ytm ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè êàê m(p + 1), ïî277ýòîìó óíêöèÿ F (yt , y) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäàF (yt , y) =∞XKs ts .(À.9)s=−m(p+1)Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (6.5) ïðåâðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íóþ ïåðåîïðåäåë¼ííóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ks = 0 íà hij . Íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòüòîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî (Nmax ) ÷ëåíîâ ðÿäà (À.7), áîëüøåå, ÷åì ÷èñëî íåèçâåñòíûõ êîýèöèåíòîâ hij êàê ìèíèìóì íà êîëè÷åñòâî ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â êîýèöèåíòû Ks.àáîòà ãëàâíîé ïðîöåäóðû equlaurlist(a, m, p, ove, c) äàííîãî ïàêåòà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ïî çàäàííûì m è p óðàâíåíèÿ (6.5) ñ êîýèöèåíòàìèhij = a[i, j] è ïðåîáðàçîâàíèè åãî â ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ks = 0 íàa[i, j], ÷èñëî óðàâíåíèé êîòîðîé ïðåâûøàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ íà çíà÷åíèåâõîäíîãî ïàðàìåòðà ove.
Êîýèöèåíòû ðÿäà Ëîðàíà (èëè Ïþèç¼) çàäàþòñÿçíà÷åíèÿìè îïåðàòîðà (s).Äàííàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèå(6.5) ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà, ÷òî ðåàëèçîâàíî äëÿ ðÿäîâ Ëîðàíà â âèäå ïðîöåäóðû equalaur(a, m, p, N max). Îäíàêî ñëàáûì ìåñòîì ïîäîáíîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ïðåäïîëàãàåò âû÷èñëåíèå ëèøíèõ ÷ëåíîâ ðÿäà Ëîðàíà, òî÷íåå,äëÿ íåêîòîðûõ ñëàãàåìûõ óðàâíåíèÿ (6.5) ïðîöåäóðà âû÷èñëÿåò áîëüøå ÷ëåíîâðÿäà Ëîðàíà, ÷åì äëÿ äðóãèõ, â ðåçóëüòàòå ðàñõîäóåòñÿ ëèøíÿÿ îïåðàòèâíàÿïàìÿòü êîìïüþòåðà è óâåëè÷èâàåòñÿ âðåìÿ âû÷èñëåíèé.
Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ y â âèäå ðÿäà â y n , ìû ïîëó÷àåì â n ðàç áîëüøå êîýèöèåíòîâ, ÷åìòðåáóåòñÿ.Ñóùåñòâóþò íåñêîëüêî ðåøåíèé äàííîé ïðîáëåìû. åøåíèå äëÿ ñëó÷àÿðÿäîâ Ëîðàíà, îñíîâàííîå íà α-ìåòîäå òåñòà Ïåíëåâå [175, 177℄, áûëî ðåàëèçîâàíî . Êîíòîì íà ÿçûêå AMP [417℄. Ïðåäëàãàåìàÿ íàìè Maple ðåàëèçàöèÿ èñïîëüçóåò ÿâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðÿäà Ëîðàíà èëè Ïþèç¼ è âû÷èñëÿåò òîëüêî íåîáõîäèìûå ÷ëåíû ðÿäà (À.9).
àññìîòðèì ðàáîòó ïðîöåäóðûequlaurlist(a, m, p, ove, c) áîëåå ïîäðîáíî. Ìû ïîëàãàåì, ÷òî a(0, m) = 1, à278îñòàëüíûå a(i, j) íåèçâåñòíû. Ïðîöåäóðà equlaurlist(a, m, p, ove, c) äåëàåò ñëåäóþùåå:1) Ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû quvar(m, p) âû÷èñëÿåò òðåáóåìîå ÷èñëî Nmaxóðàâíåíèé: N max := quvar(m, p) + ove;2) Ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû equalist(a, m, p) ñòðîèò ñïèñîê, ñîîòâåòñòâóþùèé óðàâíåíèþ (6.5).3) Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñëåäóþùèõ ïðîöåäóð ïîëàãàåò íåñóùåñòâóþùèå ÷ëåíû ðÿäà Ëîðàíà (Ïüþç¼) ðàâíûìè 0:∀k = −m(p + 1).. − p − q : c(k) = 0;(À.10)ãäå q = 1 â ñëó÷àå ðÿäà Ëîðàíà è q = p â ñëó÷àå ðÿäà Ïþèç¼.4) Ñòðîèò è âûäà¼ò â êà÷åñòâå ðåçóëüòàòà ñïèñîê óðàâíåíèé Ks = 0(laurlist). Äëÿ çàäàííîãî s âûðàæåíèå Ks ñòðîèòñÿ ïðîöåäóðîé oneequlaur.Äàííàÿ ïðîöåäóðà èñïîëüçóåò ïðîöåäóðû ydegree, dydegree è monomlaur,ñòðîÿùèå s-òûé êîýèöèåíò ðÿäà Ëîðàíà äëÿ ñòåïåíè óíêöèè y , ñòåïåíè å¼ïðîèçâîäíîé è ïðîèçâîëüíîãî ìîíîìà Cy k ytn , ñîîòâåòñòâåííî.Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé ïî a[i, j] è íåëèíåéíîé ïî ïàðàìåòðàì, îò êîòîðûõ çàâèñÿò êîýèöèåíòû ðÿäà.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âû÷åòîâ ñòåïåíåé óíêöèè, çàäàííîé â âèäå ðÿäà Ëîðàíà, â ñòàòüå [219℄ èñïîëüçîâàëàñü ïðîöåäóðà ydegree.Ñ ïîìîùüþ äàííîãî ïàêåòà ïðîöåäóð áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìåòîä ÊîíòàÌþçåòòû ìîæåò áûòü ýåêòèâíî èñïîëüçîâàí ñîâìåñòíî ñ äðóãèìè ìåòîäàìè,ïîçâîëÿÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïîëó÷àåìóþ ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè ñèñòåìó íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
È ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèé â âèäåðÿäà, è ïðè ïîèñêå èõ àíàëèòè÷åñêîãî âèäà èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè è ðåøàþòñÿ òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû, ÷òî ïîçâîëÿåòàâòîìàòèçèðîâàòü àëãîðèòì ìåòîäàìè êîìïüþòåðíîé àëãåáðû.279Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Friedmann A.A. Uberdie Krummung des Raumes // Z. Phys. 1922 Vol. 10, No.
1 P. 377386. (Ïåðåâîä íà àíãëèéñêèé: Friedman A. On theCurvature of Spae // General Relativity and Gravitation 1999 Vol. 31,No. 12 P. 19912000)2. Ôðèäìàí A.A. Èçáðàííûå òðóäû. // Ïîä. ðåä. Ë.Ñ. Ïîëàêà. - Ì. : Íàóêà,1966, 462 ñ.3. Bernui A., Mota B., Rebouas M.J., Tavakol R. Mapping large-saleanisotropy in the WMAP data // Astron.
Astrophys. 2007. Vol. 464. P. 479485. [arXiv:astro-ph/0511666℄4. Mukhanov V.F. Physial foundations of osmology. Cambridge, UK: Univ.Pr. 2005. 421 p.5. îðáóíîâ Ä.Ñ., óáàêîâ Â.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ ðàííåé Âñåëåííîé: âåäåíèå â òåîðèþ ðàííåé Âñåëåííîé: Òåîðèÿ ãîðÿ÷åãî Áîëüøîãî âçðûâà. Ì.:ÓÑÑ, 2008. 552 ñ.6.
îðáóíîâ Ä.Ñ., óáàêîâ Â.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ ðàííåé Âñåëåííîé: Êîñìîëîãè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ. Èíëÿöèîííàÿ òåîðèÿ. Ì.: ÊÀÑÀÍÄ, 2010.568 ñ.7. Âàéíáåðã Ñ. Êîñìîëîãèÿ. Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåäàêöèåé è ñ ïðåäèñëîâèåìÀðåüåâîé È.ß., Ñàíþêà. Â. È.Ì.: ÓÑÑ: Êíèæíûé äîì ËÈÁÎÊÎÌ“ ,”2013. 608 ñ.8. Ratra B., Peebles P.J.E. Cosmologial Consequenes of a RollingHomogeneous Salar Field // Phys. Rev. D 37 (1988) 3406.9.
Starobinsky A.A. Spetrum of relit gravitational radiation and the early stateof the universe. // JETP Lett. 1979. Vol. 30. P. 682685.10. Starobinsky A.A. A new type of isotropi osmologial models withoutsingularity. // Phys. Lett. B 1980. Vol. 91. P. 99102.11. Guth A.H. The Inationary Universe: A Possible Solution to the Horizon and280Flatness Problems. // Physial Review D 1981. Vol.
23. P. 347356.12. Mukhanov V.F., Chibisov G.V., Quantum Flutuation and NonsingularUniverse // JETP Lett. 1981. Vol. 33. P. 532535.13. Linde A.D. A New Inationary Universe Senario: A Possible Solution of theHorizon, Flatness, Homogeneity, Isotropy and Primordial Monopole Problems.// Phys.
Lett. B 1982. Vol. 108. P. 389393.14. Albreht A., Steinhardt P.J. Cosmology for Grand Unied Theories withRadiatively Indued Symmetry Breaking. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 12201223.15. Linde A.D. Chaoti Ination. // Phys. Lett. B 1983. Vol. 129.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
